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教案等差数列与等比数列
世纪金榜 圆您梦想
等差数列与等比数列
一、高考考点
1.等差数列或等比数列定义的应用:主要用于证明或判断有关数列为等差(或等比)数
列. 2.等差数列的通项公式,前几项和公式及其应用:求 3.等比数列的通项公式,前n项和
及其应用:求
;求
;解决关于
或
或
的问题.
;求 ;解决有关 的问题.
4.等差数列与等比数列的(小)综合问题. 5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作
用:解决有关问题时,提高洞察能力,简化解题过程. 6.数列与函数、方程、不等式以及解
析几何等知识相互结合的综合题目:以高中档试题出现,重点考察运用有关知识解决综合问
题的能力。
二、知识要点
(一)、等差数列
1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个
数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.
认知:,?N且d为常数)
此为判断或证明数列, ,为等差数列的主要依据. 2.公式 (1)通项公式:,m) )
认知:,
,为等差数列
=
为n的一次函数或 或
=n
+
为常数
=n
=
+bn(n
=kn+b (n
)
=
+(n,1)d:引申:
=
+(n,m)d (注意:n=m+(n
※
,为等差数列 , =d(n?N且d为常数)
※
, =d (n 2, n
(2)前n项和公式: 认知:,)
3.重要性质 (1),d=0
(2)设m,n,p,q(3)2m=p+q
2
=
,为递增数列
,为等差数列为n的二次函数且常数项为0或
d,0; , ,为递减数列 d,0; , ,为常数列
,则m+n=p+q +
+ = + ;
.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应
的各项依次成等差数列.
(4)
设
,
,
,
,
分别表示等差数列,
,的前n项和,次n项和,再次n
项和,?则
?依次成等差数列.
(二)等比数列
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1、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这
个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.
认知:(1),且q为非零常数)
(2),
※
,为等比数列 =q (n?N且q为非零常数)
※
=q(n?2,n?N
※
,为等比数列 (n?2,且 ?0 ) (n
,且 ?0)
=
=c
; 引申:
=
(注意:n=m+(n,m) )
)
2.公式 (1)通项公式: 认知:,
,为等比数列
(c,q均是不为0的常数,且n
(2)前n项和公式 认知:,
,为等比数列
=A
+B (其中n
,且A+B=0).
3(主要性质: (1)设m,n,p,q
,则有m+n=p+q
; (2)2m=p+q
即在等比数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成
等比数列. (3)设 ,
,
,
,
,??分别表示等比数列的前n项和,次n项和,再次n
项和,??,则
,??依次成等比数列。
(三)等差数列、等比数列的联系与个性
等差数列与等比数列定义中的一字之差,导致它们的主要性质具有惊人的相似之处,也
造就出它们之间密切联系的必然.然而,它们毕竟是两种不同的数列,各自又必然具有鲜明的
个性.因此,认知联系,了解个性,是我们分析和解决等差数列与等比数列综合问题的必要的
基础和准备.
1.联系(1)正数等比数列各项的(同底)对数值,依次组成等差数列.即,( i=1,2??,n,??)
引申:若,
,
,(
,
且
,为等比数列且
)为等差数列.
,则,
,亦为等
,为正项等比数列,且定义
差数列.
(2)取一个不等于1的正数为底数,则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.
即设a>0且a?1,则
,
,为等差数列
,
,为等比数列.(3),
,既是等差数列,又是等比数列
,
,
是非零常数列.
2.个性
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(1)倒数 等比数列各项的倒数仍成等比数列;
除常数列外,等差数列各项的倒数不再成等差数列(它们组成一个新数列,称为调和数列). (2)中项 任何两数的等差中项存在且唯一;
只有两个同号数才有等比中项,并且它们的等比中项是互为相反数的两个值.
(3)解题策略 解决等差数列基本策略:两式相减,消元化简; 解决等比数列基本策略:两式相除,消元降幂.
三、经典例题
例1.已知数列,
,共有k(定值)项,它的前几项和
,2n,n(n?k,n?N),现从这
; (2)求数列
2
※
k项中抽取一项(不抽首项和末项),余下的k,1项的算术平均值为79. (1)求
的项数k,并求抽取的是第几项.
分析:注意已知 解:(1)
当n?2时, 又
,2n,n,欲求
2
,立足于公式 ,
;
,4n,1,(n?k,n?N)。
,4t,1 ?
2
※
,3适合上式, ?
(2)设抽取的是数列, 由题意得1
0
即
??式成立?原
不等式成立.
点评:(1)证明(2),两次利用近亲繁殖,两次运用两式相减:?,?消去原来右边的
(,20n),?,?消去原来右边的,20,从而使得新递推式左边为0.这种战略眼光和胆略值
得我们学习.
(2)证明(3),分析转化,有目的地凑项,也是经常运用的解题策略,值得我们细细品
悟和借鉴.
例4(已知数列,
,是公比为q的等比数列,且
,
,
成等差数列.
,
(1) 求q的值; (2) 设,当n?2时,比较
与
,是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为
的大小,并说明理由. 与
的问题,解题或讨论时要注意q取特殊值及n取特殊值的细节之处.
, 又
, ?
?
,
?
分析:(2)仍是 解:(1)由题意得
?q,1或q,, .
(2)若q,1,则 ,2n, ,
?当n?2时, ?
>
;
, , , ,
若q,, ,则 ,2n,
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?当n?2时, , , ,
,
,即
>
; 当n,10时,
,
当n?11
由此可知,当2?n?9时,时,
<
.
于是综合上述讨论可知,对于n?2 (n?N), 若q,1,则
※
> ;
若q,, ,则当2?n?9时,
,
> ;
<
.
当n,10时, 四、高考真题
; 当n?11时,
1(设等比数列,的值为( )
,的公比为q,前n项和为 ,若 , , 成等差数列,则q
分析:从运用等比数列求和公式切入. 注意到当q,1时,
又
,?2
?这里q?1. 得
),
整理得
而当q?1时,由 2
(1,
由此解得q,,2, 故应填,2.
2(已知实数a,b,c成等差数列,a,1,b,1,c,4成等比数列,且a,b,c,15,求
a,b,c.
分析:注意到这里a,b,c成等差数列,且已知它们的和为15.故运用“对称设法”. 解:
设实数a,b,c所成等差数列的公差为d, 则a,b,d,c,b,d.
?由已知条件得
由(1)得b,5 代入(2)得36,(6,d)(9,d)
(d,3)(d,6),0
?d,,6或d,3 当d,,6时,得a,11,c,,1; 当d,3时,得a,2,c,8;
?所求a,b,c的值为a,11,b,5,c,,1或a,2,b,5,c,8. 3(数列,
,满足
,1,且
,
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记
(1)求(2)求数列{ 分析:欲求
的值;
}的通项公式及数列, ,可先求关于数列,
,的前n项和
.
,的递推式向,
,
,的递推式.因此,考虑以,
的递推式的转化切入.
解:(1)由 得? ?代入已知递推式得
由此解得 ?
又 , ,1, ?
?由?得
?所求 ,
(2)解法一(变形、转化)由?入手凑项得
又 ,
?数列, ,是首项为 ,公比为2的等比数列
? , ×2 即 (n?N)?
※
于是由?得 , ,
? , , , (n?N)
※
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解法二(列举――猜想――证明)由(1)得
,
注意到
由此猜出:数列,(以下证明从略).
4(设无穷等差数列,
,是首项为 ,公比为2的等比数列 由此可得 ,
,的前n项和为 .
(1)若首项 , ,公差d,1,求满足 的正整数k;
成立.
(2)求所有的无穷等差数列, ,,使对于一切正整数k都有
分析:(1)注意到这里要求的是项数k,故选用第二求和公式
(2)解决此类恒成立问题,从“特殊”入手切入.故这里也从k,1,2入手突破.
解:(1)当 , ,d,1时, ,
?由 得 ,
又k?0,故得k,4.
,的公差为d,则
在
中分别取k,1,2得
(2)设数列
,
解得
,0或
,1
,0,d,0,则
,0,
,0
,从而
(?)当
成立;
若
,0时,代入?解得d,0或d,6 若
,0,d,6,则 ,6(n,1),由 ,18, ,324, ,216知, ? ,故
所得数列不合题意.
(?)当
,1代入?解得d,0或d,2 若
,1,d,0,则
,1, ,n,从而
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成立;
若从而
,1,d,2,则
成立.
,2n,1,
,1,3,??,(2n,1),
于是综合以上讨论可知,共有3个满足条件的无穷等差数列: (?),(?),
,:
,0,即0,0,0,??;
,: ,1,即1,1,1,??;
,2n,1,即1,3,5,??,2n,1,??.
及d的值,而后再说明或论证这样的数列,
,是
(?), ,:
点评:对于(2),从k,1,2入手求出
否符合题意,循着“一般,特殊,一般”的辩证途径切入问题并引向纵深.
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