【doc】晶格Ising模型动力学模拟

【doc】晶格Ising模型动力学模拟 晶格Ising模型动力学模拟 第19卷第2期 2001年6月 徐州师范大学(自然科学版) J.ofXuzhouNormalUni.(NaturalSciences) VD【.19,No.2 Jon.,2001 晶格Ising模型动力学模拟 陶玉荣,胡经国 (扬州大学理学皖物理系,江苏扬蛐225009) 摘要:应用Monte-Carlo方法研究了不同边界条件下二维晶格Isi模型的热力学行为,利用有限尺寸标度理论得 到其相应的相变温度,并模拟观测了不同边界条件下二维晶格Ising模型的动力学过程.结果表明:不同边界下有限 Ising系统帽变温度有较大差别,且其系统趋于平衡态的畴长速度也不同,但在热力学极限下其差异将消失. 美麓词:Monte-Carlo方法;Ising模型;边界条件;有限尺寸标度理论 中田分类号:048文献标识码:A文章鳊号:1007—6573(2001)02—0033—04 0引言 人们已经用Monte—Carlo方法对晶格Ising模型作了广泛的研究",但是,以前的研究一方面采用 了周期性边界条件以减少点阵边界影响,另一方面仅给出相图或相变温度,未给出其相变过程的物理现 象.为了能够更全面地了解晶格Ising模型的相图性质,研究不同于完全周期性边界条件下的晶格Ising 模型相图规律及其相应相变过程的物理图像是非常有意义的.为此本文讨论了自由边界,半自由边界, 螺旋边界等条件下的晶格模型【.为便于比较和讨论,我们同时给出了周期性边界条件下的结果. 1模型与Monte—Carl0方法 Ising模型是为阐明物质的铁磁性而提出的筒化模型,其有效哈密顿量为 一 H 一一, (1) ,<)对最近邻对求和,尼,一,v为交换积分. 式中nSi一土1,为自旋量 我们考虑L×L的具有自由边界,半自由边界,螺旋边界以及周期性边界条件的平方点阵,利用了 Metroplis算法,即对LXL的平方点阵上的格点依次进行扫描,每个格点上的自旋以概率P翻转到新 的状态 : loxp(一zhE),>..:一J'北)叽(2)【1,?E?0. 式中4E为当自旋翻转到崭的状态时所引起的能量变化.开始时自旋分布是任意的,为了更接近实际状 态,我们选取初始自旋分布是随机5O%的自旋向上,剩下的自旋向下,并将开始的8000MCS(MCS为 Monte—CarloStep之缩写)舍去,然后对以后的1Z000个状态中随机地选取400个状态进行统计平均, 根据文[6]中的方法,求磁化强度M,比热C等: M=?<,(3) E一一l~Jo<S,S,),(4) C丽1((E>一(E>),(5) 式中N为总格点数,<…)表示Monte—Carlo平均. 收囊日期|2001—03-16 作者筒:一玉泉(1973一).女,江苏宝应人,助理 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 师 徐州师范太学(自然科学版)第l9卷 由于在实际计算中只可能对有限大小晶格进行模拟,为了求得热力学极限下的相 变温度,我们利用 了有限尺寸标度理论,在=时, ^=BL—,(6) 式中B为比例常数,,y为二维Ising模型的临界指数. Monte—Carlo方法所产生的误差,我们利用文[3]中方法来估算. 2结果与讨论 利用上述方法,对点阵L×L不同温度下进 行扫描,分别得到自由边界,半自由边界,螺旋边 界以及周期性边界条件下的磁化强度,比热c 等随温度变化的曲线,根据文[8]的方法得到相变 温度(工).为了利用(6)式求出热力学极限下的 相变温度,我们分别计算了20×20,30×30,40× 40,50×50,60×6O,7O×7O,80×8O以及9O×9O 的晶格的相变温度,得到图1的结果.图1表明, 在小尺寸情况下,系统的相变温度强烈地依赖于 边界条件的选取;但在大尺寸情况下,这种依赖消 失.特别是在热力学极限下,根据(6)式推知,不同 边界条件下得到的相变温度均接近严格解一 0.44.为了更好地了解不同边界对系统的影响,我 们模拟观测了其相应的处于相变区附近系统的动 力学弛豫过程.如图2所示,发现不管系统初始自 (a)韧始自旋位形分布随机选取50向上.5O向下 AmongtheOFrLa】distrihufic~sofn—eonfiguration? 5Ouowardsand50downwardsrandomiy 图l相变点的有限尺寸标度理论 &:自由边界b一半自由边界c-螺旋边界 d:周期性边界卢12000Mcs Fig.1Thefinite-sizescalartheory thephasetransitionpoint lfreeboundaryblBemJfreeboundary c:helixboundaryd{periodkboundarv (b)韧始自靛位形分布全挪选取向上 Alltheoriginaldistributionsof soin—configurationtupwards 图2蛄界点附近的驰豫行为(晶格60×60图中字母意义同图1) Fig.2Therelaxationbehavioraroundthecriticalpoint(1attices60×6O.themeaningotlettersditto) 旋位形如何,在不同边界条件下,只要.时间"足够长,不同初始自旋位形分布最终都将达到相同的平衡 状态;同时发现不同边界条件对晶格Ising模型在热力学极限下的相变温度影响不大,但是,它们进入平 衡态的弛豫行为不同,螺旋边界和周期性边界条件相当,其弛豫过程短,涨落小,而自由边界及半自由边 界条件下的弛豫过程长,涨落大.因此我们可以用图中a,d两种代表情况予以讨论.图3和图4分别表 示出了自由边界,周期性边界条件下系统在不同温度下的自旋位形分布,即磁畴生长情况.结果显示,不 同边界条件下均有下列结论 第2期陶玉荣等:晶格Imng模型动力学模拟 …一…一…++一 一…++++十一…一++一 一…,一++t一+… 一一一+一--一十一 一…一一…++十一 一一++一一++一__++十一…一 ++一一…一…十 .+++一一r++一…十+ 十一+……+++一… +…一+一…++t+一十+十+ +…一…+}一+++ …川一,+}}+十+一十 ++一++十一一+卜一一 ……+一一一…+一一 一 ?……一一… 一 …一…r一+一…一+ …一 一,一+一一+一 一+一+一一一一… …一…——一一…… }},一 … }}++}'++一一一 一 十++一_++4-一十+一一一+ +}一……一+… +…一一+一一一一 ++…,…一+一 +一}一一一+一一+一一+++一 …一…一…一 +++++ 一一…++___一十?++++ 一…一一++十一十十+++ 一一十++u+t一++++ (&)寺0?249,善00566 (b)寿0-449,M0?299 ")一0?649,0l8? 图3自由边界条件下系统的自旋位形分布 f=6000MCS晶格;32×32 Fg.3Thedistributionsn-~onf[gurat[oufm systemin/teeboundarycondition (a)行J=o."4,M=O09l8 (b0—444,M0?28g ++,++++一一+++++} +++++t++++++一'+++ +++++++'+}十…十++十 一 +十+++…+十十+十…十 ++十+}?+++十+一+十一… 十+++++十一++++… 十++十++十…十川+十… 十一+++…++…一 +十一十}}+}f++}十一 ++卅r++++++…++++ +十++十一+++…,+++ +++++一十十++-F+++++++ +++一十+++…一+ +++++十一+++++++… …+++++…}++十+… ++…+++++十++十+++++ +十++++++十…+++十十 +++++++++++++++++++ ++++十+-+++++…十+++ +++++十+t+十++十{+}十++ t+++一+++++一+… ?+++一++++++++++++ …'+十++…十++++++十 ++十++4++++++十++++++ ++++}+++++++十++++++ +++++++十+++++++…{ +++十++++++++十+++ …++++++++++十… }'+++++++十++++}十+++ +++…++++++…十+++ ++++十'++++++…{++} ++++++++++}t十++ (c寺一0?644t0887 图4周期性边界条件下系统的自旋位形分布 =6000MCS晶格32×32 Fg.4Thedistdbutb?sofspin-con{igurationf( systemJnperiodicboundarycondition {++i 活 毫蔓羔 +一一十一一 拦 !++}{!'+十一一i一十'+r};i i一十}一一一十十一一;++L}+一一一+ 十一十+一一+一}++十+一;+一一+!一一一} {!一十;十十一}+十;l+l—l+l++一十 !十}i!十十一一十!!一一一一一}+ +!i一'一i一一一i一一+}++十 一{一一一一十一一十{一++一}一!++;i 一一+i一'+一一+{一一十一+++;一一十十十}+ {十一一十,十一十+!一+}一+一j一十++; {一.+一一一一一一十一十一++++ii+++++ +{一一十一一i一一十++{+一+一一一i'++ !一一十+i+++++i++r一一}一一一一一 十j十一十一;+!++l+十++十一一一一一 一一=+一一一一}一}一一ll一+一一一一一l+ 一一十一}一一一i{+一一l1+一一十一十十一一一一 一一i!{十{+!一!一十'++一一一 一一十!十一一十++}十一十一一一:+一+十+!一一 二+}一一十一一一!一一一一一+!++一++十一一 ++i一:一一十+一ll++!一+{ll一十+一一;一一十一一一一一一一+一;+++一一一+ 一i+:一lt一}一}一j++!}一一 十+十; 焉※ #?+.#! 羔藏※澎一 十'!}+j十一!十一一;+十一f?十+派聋警曼壬毫若※ +++十+{+++十十ti+!+++}+ +++++++++i{+{{++}+十+ +++{+++十;++十一:+++}{+ }++++-+一十{;{一++{++++ _.十十+i++++++十++}{+#+十一 i一一++{++++十+{+++l+十j ++++++{+十十{ii+++;+十 十+}}+il+++十+}+++';+++} ++++++十一+十}+r{+十{++} {++十f十十十十十十十十十j+十!{+}+ it'++{++r+++;f};+}++ }十'+十++++'一+}++++++;+i; 一十十+{+++++l+i+!t}{ }++++十i!十f;十一一l;l ++十一一+—if十+++++i+1十.+++++十十一+++++++{++i{{+++T+ 一十一+{+十+{+++:-+_{i十+}++++;十{十j+1+;++ }+++'+;++十}++++十}}十;{一 ;+++++++j++!{'i++'十} ++++{十++{+'t+!i1j+;++i+++++.!+1十十{+f}十一一十十十+0+十+一十+++f++++十一}++ 一j一十++;十++十+++l++{;+ 一L++{++++十+++}{i?++一+{+一++++一一i;i}十+十十十!{+!i++0十+}{十 ++++十一++++十一++++++}+?++{+++一}十'+;;{++;+!}! 榇州师范大学(自然科学版)第19卷 1)71》时,系统处于完全无序状态,向上自旋与向下自旋的比值近于1,即—l; 2)71《时,系统出现了相分离现象,但由于系统尺寸小,涨落现象亦明显,M近于1; 3)71?时,系统开始出现同种状态的"凝结"现象,但这种凝结并不完善,即一种状态中掺有少量 的另一种自旋状态. 3结语 Monte—Carlo方法是研究临界和相变现象的一种有效手段,它和有限尺寸标度理论相结台能给出鞍 准确的相变温度.同时,许多在实验上无法直接观察到的现象,借助于Monte—Carlo方法在计算机上得 以实现.因此,它不但能解出模型的解,而且还可以给出相变前后物质状态的具体图像,即磁畴生长情况 以及其涨落现象. 参考文献: [1]DombC.GreenMS.PhaseTransitionsandCriticalPhenomena(Sb)[C].NewYork}Acad emic,1978.16. 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DynamicSimulationofIsingModel TAOYu—tong,,Jing—guo (DepartmentDfPhysics.YangzhouUniversity,Yangzhou225009) Abstract:ByuseoftheMonte— Carlomethod,astudyismadeonthesquarelattices1singmodelfor differentboundaryconditions.Combinedwiththefinite— sizescalartheory,therelevanttransition temperaturesallobtainedandthedynamicprcKessesofthesquarelatticeslsingmodelindifferent boundaryconditionsnearthecriticalpointareobservedsimulatedly.Itshowsthatthephasetransition temperaturesofthefiniteIsingsystemsindifferentboundaryconditionsaredifferent,andthes peeds gettingequilibriumofthesystemsaredifferentaswell,butthedifferencevanishesatthedyna miclimit. Keywords:Monte—Carlomehtod;lsingmodel;boundarycondition;finite— sizescalartheory