第20讲奇数与偶数

第20讲奇数与偶数 一、知识提要 在整数中能被2整除的数叫做偶数，通常用表示;不能被2整除的数叫2k 做奇数，通常用(或)表示。其中是整数. 21k，21k,k 奇数和偶数有以下基本性质: 性质1 奇数?偶数( 性质2 奇数?奇数=偶数，偶数?偶数=偶数，奇数?偶数=奇数( 性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数( 性质4 奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数;任意有限个偶数之和为偶数( 性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数( 性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数;如果若干个整数的 乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数( 性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同;如果两个整数的 和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶( 性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同( 性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数. 【性质的证明】 性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明( 性质7的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它 们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数(同理两个整数的和(或差)是 奇数时，这两个数一定是一奇一偶( 性质8的证明 设两个整数为X，y(因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y 同奇偶( 223性质9的证明 若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x=(2k+1)=4k+4k+1=4k(k+1)+1( 因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数(于 2222是，x除以8余1(若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y=(2t)=4t 2 所以，y是4的倍数( 二、典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 例1 在1，2，3，„，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后 运算的结果是奇数还是偶数, 解 由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同 1+2+3+„+1998=999×1999 的奇偶性是相同的，即为奇数( 例2 设1，2，3，„，9的任一排列为a，a，„，a.求证:(a-1)(a-2)„(a-9)是一个偶129129 数( 证法1 因为 (a-1)+(a-2)+(a-3)+„+(a-9) 1239 ,(a+a+„+a)-(1+2+„+9) 129 =0 是偶数，所以，(a-1)，(a-2)，„，(a-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便129 得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a-1)(a-2)„(a-9)129 是偶数( 证法2 由于1，2，„，9中只有4个偶数，所以a，a，a，a，a中至少有一个是奇数，13579 于是，a-1，a-3，a-5，a-7，a-9至少有一个是偶数，从而(a-1)(a-2)„(a-9)是13579129 偶数( 例3 有n个数x，x，„，x，它们中的每一个数或者为1，或者为-1(如果 12n xx+xx+„+xx+xx=0，求证:n是4的倍数( 1223n-1nn1 证: 我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数( 由于x，x，„，x。的绝对值都是1，所以，xx，xx，„，xx的绝对值也都是12n1223n1 1，即它们或者为+1，或者为-1(设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个， 从而n=2k( 下面我们来考虑(xx)?(xx)„(xx)(一方面，有(xx)?(xx)„(xx),(-1)k，1223n11223n1 另一方面，有(xx)?(xx)„(xx)=(xx„x)=1( 1223n112n2 所以(-1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数( 222zx，y,zx的整数、、中不能都是奇数. 例4 求证:满足方程y 222zxy证明 (反证法)若、、都是奇数，可知,,也都是奇数. zxy 222y所以+是偶数，而是奇数，故等式不成立.由此导出矛盾，故原命题成立. zx 22xy,,2002例5 求证:方程没有整数解. 22xyxyxy,,,，,,，2002()()21001证明 由. 因为与的奇偶性相同.如果与同为偶数，则右边一定()xy，()xy,()xy，()xy, 能被4整除，而右边不是4的倍数，故矛盾; 如果与同为奇数，则左边一定是奇数不能被2整除，而右边是偶数可()xy，()xy, 22xy,,2002以被2整除，故矛盾.所以，方程没有整数解. 例6 设a，b是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789( 求证:a-b是4的倍数( 证 由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数(又由已知条件 11111(a-b)=ab+2468，? ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111× (a-b)是4的倍数，故a-b是4的倍数. 例7 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分(证 明:不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数( 证 我们证明每一个学生的得分都是偶数( 设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没有答(于是此人的得 分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，这是一个偶数(所以，不论有多少人参赛，全体学生的 得分总和一定是偶数( 例8 证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形. 证 将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1,62)(每一块4×1骨牌 不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个 白格(一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格( 于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个(事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形( n盏亮着的拉线开关灯，规定每次须拉动个拉线开关。试问:能否把所有例9 设有n,1 的灯都关闭,试证明你的结论或给出一种关灯的方法. n解:当为奇数时，由于每盏灯拉动奇数次能关闭，因此要把所有灯关闭，总拉动开关次数 应是奇数个奇数的和是奇数，但是偶数，按规定只能拉动任意的偶数次开关，故n,1 无论如何不能把全部亮的灯都关上. nnn当为偶数时，把盏灯编号为:1，2，3，4，…，. 第一次1号灯不动，拉动其余个开关; n,1 第二次2号灯不动，拉动其余个开关; n,1 …… nn第次号灯不动，拉动其余个开关. n,1 这样每盏灯拉动次，是奇数次，可用这种方法把全部亮着的灯关闭. n,1 三、习题精练 1(设有101个自然数，记为a，a，„，a01(已知a+2a+3a+„+100a+101a=s是偶数，121123100101求证:a+a+a+„+a+a是偶数( 1359,101 2(设x，x，„，x都是+1或者-1(求证:x+2x+3x+„+1998x?0( 12199812319983(设x，x，„，x(n,4)为1或-1，并且xxxx+xxxx+„+xxxx=0(求证:n是4的12n12342345n123 倍数( 1n2，，n4(如果是正整数，那么的值是 ( ) ,,,n1(1)(1)，，8 A(一定是0; B(一定是偶数; C(一定是奇数; D(不确定. 222ac5(已知三个正整数、、的和为奇数，那么 ( ) abcab，,，2b A(一定是非零偶数; B(等于零; C(一定是奇数; D(可能是奇数，也可能是偶数。 acac(提示:、、的和为奇数，则、、三数中有一个奇数或三个数都是奇数两bb 种可能.) n6(自然数1，2，„，1989，1990之和是一个奇数，现将这1990个数中的任意()n,1990 个数添上负号，这时的1990个数之和的绝对值记为S，那么( ) A(S总是偶数; B(S总是奇数; C(当n为偶数时，S是偶数，当n为奇数时，S是奇数; D(S的奇偶性不确定. 7(在所有的四位数中，能同时被2，3，5，7，11整除的数的个数为( ) A(1; B(2; C(3; D(4. 8(有 个自然数能整除240. 611p，3p,,48是质数，且也是质数，则 . 9(若p 10(一个自然数被3除余2，被4除余3，被5除余4，则符合这个条件的最小自然数 是 . 11((1)任意重排某一自然数的所有数字，求证:所得数与原数之和不等于99„9(共n个9， n是奇数); 10(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证:如果这个和等于10，那么 原数能被10整除( 12((1)有n个整数，其和为零，其积为n(求证:n是4的倍数; (2)设n是4的倍数，求证:可以找到n个整数，其积为n，其和为零( aaaaan,,,,,naa13(设个整数,,„,适合等式，且n123n12 aaaa，，，，,0，求证:4|n. 123n 14(7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝 上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上, 15(能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1 个数，两个2之间夹着2个数，„，两个5之间夹着5个数, aba,a,为任意给定的三个整数,把它们按任意顺序排列后记为b,b,.求16.设331212 ()()()ababab,,,,,证:是偶数. 112233 17.在6张纸片上的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也分别写上整数1，2，3，4，5，6。计算每张纸片上正面与反面所写整数差的绝对值，得到六个数. 求证:所得的六个数中至少有两个是相同的. 18. 一个矩形科技展览厅被纵横垂直相交的墙隔成若干行、若干列的小矩形展览室.每相邻两室都有若干个方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干个门与厅外相通.试证:任何一个参观者选择任何路线，任意参观若干个展览室(可重复)之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数(重复经过的重复计算)之差总是偶数.