[精品]一些求曲率半径的非凡方法
一些求曲率半径的特殊方法
22xy1(先看椭圆曲线，要，,122AB
求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两
种方法: Φ
(1)将椭圆看成是半径R=A(设Ap Q x y
,B)的圆在平面上的投影，圆平面,
如图2-4-5
,和平面的夹角满足关系式(如图,
2-4-5)
BB ,,cos,RA
2v设一个质点以速率v在圆上做匀速圆周运动，则向心加速度，从上图,aA中可以看出，当顶点的投影在椭圆的长轴(x轴)上的P点时，其速率和加速度分别为:
2Bv ， v,vcos,,v,axxAA
当质点的投影在椭圆的短轴(y轴)上的Q点时，其速率和加速度分别为:
2v 。 v,va,acos,,Byy2A
因此椭圆曲线在P、Q的曲率半径分别为:
22vBx ,,,paAx
y 22vAyQ ,,,QB aByx A P
图2-4-6
(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把椭圆的参数方程(设A,B)
(如图2-4-6)
,,cosxAt,,,xAcos,, 可改写为 ,,,y,Bcos(wt,)y,Bsin,,,2,
即可进一步写出x，y二个方程的速度v和加速度a: ,,,,sin(,)vBt,,y,,2,,,v,,Atsin,x ,,2,,,cos(,)2aBwt,y,cosa,,Awt,x,2,
0那么在长轴端点P处( )的曲率半径:,t,0
222v,BB()p ,,,,p2aA,Ap
,在短轴端点Q处( )的曲率半径t,,2
222v,AA()Q,,,,Q2aBB,Q
y
vayv a na t v,x22(再看抛物线y=Ax，要求其任意一点的曲
x 率半径(如图2-4-7)因为抛物线可以写作参数方
图2-4-7
程
xvt,,0, ,12yat,,2,
0v,va,,,axox,A其中，这样就可以导出 和,,2vv,ata,aoyy,,
2222对任意一个t值: v= v，v,v，(at)xy0
vavx0, a=acos=a,N22vv，(at)0
所以这一点的曲率半径
322222vat(，)v 0,,,aavN0
32xaa22将t=代入，可得 ,,(1，x)/42vvv000
a2因为，所以抛物线y=Ax上任意一点的曲率半径2A,2v0
322 2,,(1，4Ax)/2A
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