高中数学选修4-5
知识点
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1．不等式的基本性质
1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系．
(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点A在点B的左边时，a
b．
(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)
(4)两个实数比较大小的步骤
①作差；②变形；③判断差的符号；④结论．
2．不等关系与不等式
(1)不等号有≠，>，<，≥，≤共5个．
(2)相等关系和不等关系
任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的．
(3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式．
(4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系．
3.不等式的基本性质
(1)对称性：a>b?bb，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b，c∈R?a＋c>b＋c；
(4)加法法则：a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd；
(7)乘方法则：a>b>0，n∈N且n≥2?an>bn；
(8)开方法则：a>b>0，n∈N且n≥2?
>
.
（9）倒数法则，即a>b>0?
<
.
2．基本不等式
1．重要不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)定理2：如果a，b>0，那么
(
≥
)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，
①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值，最大值为
.
②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值，最小值为2
.
3．基本不等式
≤
的几何解释
如图，AB是⊙O的直径，C是AB上任意一点，DE是过C点垂直AB的弦．若AC＝a，BC＝b，则AB＝a＋b，⊙O的半径R＝
，Rt△ACD∽Rt△DCB，CD2＝AC·BC＝ab，CD＝
，CD≤R?
≤
，当且仅当C点与O点重合时，CD＝R＝
，即
＝
.
4．几个常用的重要不等式
(1)如果a∈R，那么a2≥0，当且仅当a＝0时取等号；
(2)如果a，b>0，那么ab≤
，当且仅当a＝b时等号成立．
(3)如果a>0，那么a＋
≥2，当且仅当a＝1时等号成立．
(4)如果ab>0，那么
＋
≥2，当且仅当a＝b时等号成立．
3．三个正数的算术-几何平均不等式
1．如果a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．(定理3)如果a、b、c∈R＋，那么
(
≥
)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
3．如果a1，a2，…，an∈R＋，那么
≥
，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．即对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均．
二 绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
1．绝对值及其几何意义
(1)绝对值定义：|a|＝
(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|.
(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B分别对应实数x1，x2，则|AB|＝|x1－x2|．
2．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
推论1：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
推论2：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
1．|x|a型不等式的解法
设a>0，则(1)|x|a?x<－a或x>a；
(4)|x|≥a?x≤－a或x≥a．
2．|ax＋b|≤c(c>0)与|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
(2)|ax＋b|≥c?ax＋b≤－c或ax＋b≥c．
3．|x－a|＋|x－b|≤c与|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释．
(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号．
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键．
注：绝对值的几何意义
(1)|x|的几何意义是数轴上点x与原点O的距离；
(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之和；
(3)|x－a|－|x－b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之差．
2．绝对值不等式的几何意义
(1)|x|≤a(a>0)的几何意义是以点a和－a为端点的线段，|x|≤a的解集是[－a，a]．
(2)|x|>a(a>0)的几何意义是数轴除去以点a和－a为端点的线段后剩下的两条射线，|x|>a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)．
3．解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解．
例题：例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
例1： 解不等式
。
分析:由
，
，得
和
。
和
把实数集合分成三个区间，即
，
，
，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。
解:当x＜-2时，得
， 解得：
当-2≤x≤1时，得
， 解得：
当
时，得
， 解得：
综上，原不等式的解集为
。
例2：解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.
解：①当x>2时，原不等式可化为
解得x>2.
②当－3≤x≤2时，原不等式可化为
解得－
－
}．
第二讲 证明不等式的基本方法
一 比较法
比较法主要有1.作差比较法 2.作商比较法
1．作差比较法(简称比差法)
(1)作差比较法的证明依据是：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a0时，
>1?a>b；
＝1?a＝b；
<1?ab时，一定要注意b>0这个前提条件．若b<0，
<1?a>b，
＝1?a＝b，
>1?a
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