对数函数习题精解

3.3对数函数 例1  已知 ，求 的值。 解析  从已知条件中寻求 之间的关系，以确定 的值。 解：由已知，得 ， 整理，得 ，即 。 或 。但由 ，得 ， 不合题意，应舍去。故 ，即 。 点评  解题过程中一定要注意“对数的真数必须大于零”这一前提。 例2  设 ，且 。 （1）求证： ；（2）比较 的大小。 解析  本题主要考查指数式与对数式的互化，常用的方法是取对数，消参数。 解：设 ， ，则 ，且 。 （1）证明： （2）解： 点评  换底公式在对数证明题中应用很广泛，应熟练应用。 问题二  对数函数的图像性质及其应用 例3  （1）求函数 的定义域。 （2）求函数 的定义域。 解析  本题主要考查函数定义域的求解，要使解析式的各部分都有意义。 解：（1）要使函数有意义，当且仅当 ，即 ， 或 。 函数的定义域为 。 （2）要使函数有意义，当且仅当 ，解得 且 。 函数的定义域为 点评  这类问题通常应注意这几个方面：偶次根号下不为负；分式的分母不为零；对数的真数大于零。 例4  作函数 的图像。 解析  本题主要考查对数函数的图像与图像变换，关键先作出 的图像，向左平移1个单位长度，再把位于 轴下方的部分沿 轴翻折，然后把这个图像向上平移2个单位长度，即得到 的图像。 解：（1）作出 的图像，如图①； （2）将 的图像向左平移1个单位长度，得到函数 的图像，如图②； （3）把 位于 轴下方的部分作关于 轴的对称变换，得到 的图像，如图③； （4）把 的图像向上平移2个单位长度，得到 的图像，如图④。 点评  一般地， 的图像，是由 的图像向左或向右平移 个单位长度，再向上或向下平移 个单位长度得到的。 例5  比较下列各组数的大小。 （1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 ；（4） 与 。 解析  本题主要考查对数函数的单调性，关键要化为同底数或借助中间量比较，也可以借助图像比较。 解：（1）解法1：在同一坐标系内作出 与 的图像，如图，可知在 上，函数 的图像在函数 图像的上方，故 解法2： ， 。 是增函数， 即 解法3： 。 又 即 （2） （3） 函数 与函数 在 上都是增函数， （4）①当 ，即 时， 在 上是减函数， ； ②当 ，即 时， ； ③当 ，即 时， 在 上是增函数， 点评  比较两个（或多个）对数值的大小时，若底数相同，可直接用对数函数的单调性比较大小；若底数不同且不能利用对数的性质比较大小，可通过找中间变量（如1或0）或利用对数的换底公式间接实现大小的比较；若含参数，则要进行分类讨论，底数时参数时，按底数大于1或大于0小于1两种情况讨论。 例6  求下列函数的值域。 （1） ； （2） ； （3） 解析  本题主要考查对数函数的值域，关键抓住对数函数的单调性处理，可先求出真数的范围，然后结合函数的单调性求出值域。 解：（1）由 ，得 。设 ，则 ， 。 又当 时， 是增函数， ； 当 时， 是减函数， ； 故当 时，所求值域为 ；当 时，所求值域为 。 （2） 在 上是单调增函数， ， ，即值域为 。 （3） ，且 ， 。 当 时， ； 当 时， 。 故当 时，其值域为 ；当 时，其值域为 。 点评  由对数函数组成的复合函数，一般有两种：（1）形如 ；（2）形如 。第1种类型常采用换元法，令 ，根据定义域及对数函数的性质，先求出 的值域，再求出 的值域；第2种类型一般要先由真数 ，求出定义域，再根据定义域求 的值域，然后根据对数函数的性质确定复合函数的值域。 例7  解不等式： 。 解析  本题主要考查对数不等式的解法，常用的方法是根据对数函数性质把对数不等式转化为代数不等式求解。 解：原不等式等价于 ， ①当 时，又等价于 ， 解得 ； ②当 时，又等价于 ， 解得 。 当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 。 点评  当底数是字母时，需要分类讨论底数的取值范围。解对数不等式要注意解的过程中加以限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形。 例8  设 ，求不等式 的解集。 解析  本题主要考查指数、对数不等式的求解。因为 的 值可能在两段上都能取到，所以应分类讨论。 解：当 时， ，解得 ，此时不等式的解集为 ； 当 时，有 ，此不等式等价于 ，解得 ，此时不等式的解集为 。 综上，不等式 的解集为 。 例9  已知函数 是奇函数，求 的值。 解析  本题考查函数奇偶性的概念，对根式灵活变形的能力，以及对数函数的性质。 解：解法1： 是奇函数， 。 。又 解法2：函数 的定义域是 ，又是奇函数。 ，即 ，即 。 则 ， 即当 时， 是奇函数。 点评  解法2中利用 求出 后，必须验证这时 是否是奇函数。 例10  函数 在 上总有 ，求 的取值范围。 解析  本题主要考查对数函数的概念及单调性，由于底数 的取值不确定，一定要进行分类讨论。 解：依题意，得 ，对一切 都成立，当 时， ，即 ；当 时， ， ，即 ， 。 综上所述， 。 点评  借助图像，可帮助解题。 例11  （1）如果函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围。（2）如果函数 的值域为 ，求实数 的取值范围。 解析  本题主要考查对数函数定义域、值域的理解及不等式的求解。 解：（1）要使函数的定义域为 ，即是要求二次函数 恒成立（如图①所示），即当且仅当判别式 时成立，即 ， 。 （2）要使函数的值域为 ，此时不必考虑定义域对 的影响，只需考虑存在 使 均能取到，故二次函数 必须与 轴相切或相交，如图②，此时判别式 ，即 或 。 点评  这是两类典型的问题，问法不同，结论正好相反。仔细体会，注意区别。 例12  函数 的反函数是（    ） 解析  本题主要考查反函数的概念，根据指数与对数之间的关系，将对数式转化成指数式，将 用 表示出来，即可求出反函数。由题意，得 ， ， ， 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案   点评  应理解反函数的定义，在根据解析式求出 时，不要忘了 的互换。 问题三  对数函数综合问题 例13  已知二次函数 的二次项系数为负数，且对任意 恒有 成立，解不等式： 解析  本题是函数间综合问题。解本题的关键是去掉函数符号 。 解：对任意 恒有 ，二次函数 的对称轴是 。 又 又 的二次项系数为负数， 在 上单调递增， 不等式的解集为 。 例14  已知常数 ，变量 之间有关系： ，若 有最小值 ，求 的值。 解析  本题主要考查对数式的变形、运算及对数函数性质的应用。先根据 之间的关系式，用 将 表示出来，然后根据指数函数、二次函数的有关知识即可求得。 解： 当 时， 有最小值 ，无最大值。 要使 有最小值，则 。 从而 是 的最小值， 点评  这类题目的解题关键是根据 之间的关系式，应用对数的定义即运算法则表示出 关于 的函数关系式。 例15  已知函数 。问： 是否存在最值？若存在，试把它求出来。 解析  本题主要考查对数类型复合函数的最值问题，应先求出对数函数的定义域，再研究对数函数的单调性，根据不同情况的单调性研究最值。 解：由题意，可得 又函数可变化为 令 的图像的对称轴为 ， ①当 ，即 时， 在 上单调递减。 在 上单调递减。 在 上既无最大值，又无最小值。 ②当 ，即 时， 的最小值不存在。 综上所述，当 时， 的最大值与最小值都不存在；当 时， 的最大值是 ，最小值不存在。 3.4  幂函数 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 一  幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数（其中 是自变量， 为常数）。 注意：（1）幂函数的定义是形式定义，如 就不是幂函数。 （2）幂函数只研究 是有理数的情况。 知识点二  幂函数的图像与性质 1. 5种常见幂函数的性质： 幂函数 在第一象限内的特征：   定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 奇 偶 奇 非奇非偶 奇             （1） 图像过 ，下凸递增，如 。 （2） 图像过 ，上凸递增，如 。 （3） 图像过 ，下凸递减，且以两坐标轴为渐近线，如 。 2.如 按 ，这5种类型分类，列表如下： 函数 定义域 值域 图像                             结合以上特殊幂函数的图像得幂函数的性质： （1）所有的幂函数在 都有意义，并且图像都通过点 ； （2）如果 ，则幂函数的图像过原点，并且在区间 上为增函数； （3）如果 ，则幂函数图像在区间 上是减函数，在第一象限内，当 从右边趋向于原点时，图像在 轴右方无限地逼近 轴，当 趋向于 时，图像在 轴上方无限地逼近 轴； （4）当 为奇数时，幂函数为奇函数；当 为偶数时，幂函数为偶函数。 注意  幂函数的图像与性质类型较多，但不必死记硬背，主要掌握好几种具体的常见函数的图像与性质，以及分数指数幂的相关定义及性质，具体问题具体分析。 拓展点一  幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义。值域要在定义域范围内求解。 当 取不同的有理数时，幂函数 的定义域如下： （1）当 时，定义域为 ； （2）当 时，定义域为 ； （3）当 为负整数时，定义域为 ； （4）当 且 互质时)， ①若 为偶数时，定义域为 ； ②若 为奇数时，定义域为 。 （5）当 且 互质时)， ①若 为偶数时，定义域为 ， ②若 为奇数时，定义域为 。 拓展点二  幂函数的奇偶性 令 （其中 互质， ） 若 为奇数，则 的奇偶性取决于 是奇数还是偶数。即当 是奇数时，则 是奇函数；当 是偶数时，则 是偶函数。 若 为偶数，则 必是奇数，此时 既不是奇函数，也不是偶函数。 拓展点三  指数大小对于幂函数图像的影响 对于幂函数 （ 为常数）在第一象限的图像如图所示。 从图中观察我们得知，在 的右侧，曲线从上到下按 从大到小的顺序排列，而在 的左侧，排列顺序恰恰相反，其实这种规律具有一般性，比如 ，也具有这种排序规则。 注意  学习幂函数，掌握图像是关键， 在第一象限内的图像有3种形状，只要掌握了这3种形状，根据幂函数的奇偶性，就可以作出其在定义域内的图像，这时它的一切属性就变得直观、明了了。 问题一  幂函数的图像及性质 例1  函数 的定义域是全体实数，求实数 的取值范围。 解析  本题主要考查幂函数的定义域及不等式的恒成立问题。利用幂函数 的定义域为 求解。 解：函数的定义域为 。 对一切实数都成立。即 ，解得 。 点评  幂函数的性质不必死记，可结合图像掌握。 例2  比较下列各组数中两个数的大小。 （1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 。 解析  由题目可获取以下主要信息：题中给出的是3组幂值大小的比较。解答此题可借助幂函数的单调性或中间量进行比较。 解：（1）幂函数 在 上是单调递增的， 又 ， 。 （2） 幂函数 在 上是单调递减的， 又 ， 。 （3） 函数 为减函数， 又 ， ， 又 函数 在 上是增函数，且 ， ， 。 点评  本题是比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量。可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像进行判断。 继续阅读