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]基本函数求导公式
基本初等函数求导公式
,,,1,(C),0,(x),,x (1) (2)
,,(sinx),cosx(cosx),,sinx (3) (4)
22,,(tanx),secx(cotx),,cscx (5) (6)
,,(secx),secxtanx(cscx),,cscxcotx (7) (8)
xxxx,,(a),alna(e)e, (9) (10)
11,,(logx),(lnx),axlnax (11) (12) ,
11,,(arcsinx),(arccosx),,221,x1,x (13) (14)
11,,(arctan)x,(arccot)x,,221,x1,x (15) (16)
函数的和、差、积、商的求导法则
u,u(x)v,v(x) 设,都可导,则
,,,,,(u,v),u,v(Cu),CuC (1) (2) (是常数)
,,,uuv,uv,,,,,(uv),uv,uv,,, (3) 2vv,, (4)
反函数求导法则
I,x,,(y),(y),0y,f(x)y 若函数在某区间内可导、单调且,则它的反函数在对应Ix区间内也可导,且
dy1,1dxdx,f(x),,dy,(y) 或
复合函数求导法则
y,f(u)u,,(x)f(u),(x)y,f[,(x)] 设,而且及都可导,则复合函数的导数为
dydydu, ,,,yfux()(),, dxdudx或
,. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出(
可以推出下表列出的公式:
1,(th)x,2chx ,,(sh)chxx,(ch)shxx,
111,,(arsh)x,(arch)x,,(arth)x,2221,x1,xx,1
一、一个方程的情形
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程
f(x,y) =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.
P(x,y) F(x,y)00隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数,
F(x,y),0F(x,y),0(x,y)F(x,y)y000000且,, ,则方程=0在点的某一邻域内恒能唯
y,f(x)y,f(x)00一确定一个单值连续且具有连续导数的函数,它满足条件,并有
Fdyx,,dxFy (2)
公式(2)就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。
y,f(x)将方程(1)所确定的函数代入,得恒等式
F(x,f(x)),0 ,
x其左端可以看作是的一个复合函数,求这个函数的全导数,由于恒等式两端求导后仍
然恒等,即得
,F,Fdy,,0,,x,ydx
FF(x,y),0F,0y00yy由于连续,且,所以存在(x,y)的一个邻域,在这个邻域内,于00
是得
Fdyx,,.dxFy
F(x,y)x如果的二阶偏导数也都连续,我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再
一次求导,即得
2,,,,FFdydy,,xx,,,,,,,,2,,,,xFyFdx,,dxyy,,,,
,,FF,FFFF,FFFxxyyzxxyyyyxx,,,,,,22,,FFFyyy,,
22FF,FFF,FF2xxyxyxyyyx,,.3Fy
22x,y,1,0例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导
y,1y,f(x)xx数、当=0时,的隐函数,并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。
22F,2x,F,2yF(0,1),0,F(0,1),2,0F(x,y),x,y,1xyy解 设,则,.因此
22x,y,1,0由定理1可知,方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导
y,1y,f(x)x数、当=0时,的隐函数。
下面求这函数的一阶和二阶导数
Fdydyxx,,,0,dxFdxyyx,0 =, ;
xy,x,()222,y,xyy,xy1dy,,,,,,,,22332yyyydx =
2dy,,12dx 。 x,0
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数,那末一个三元方程
x,y,zF ()=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
x,y,zx,y,zFF与定理1一样,我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0
(x,y)z所确定的二元函数=的存在,以及这个函数的性质。这就是下面的定理。
P(x,y,z)x,y,z000F隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏
F(x,y,z),0F(x,y,z),0(x,y,z)x,y,z000z000000F导数,且,,则方程()=0在点的
z,f(x,y)某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件z,f(x,y)000,并有
FF,zyx,z,,FF,y,xzz =,=. (4) 这个定理我们不证.与定理1类似,仅就公式(4)作如下推导.
x,yf(x,y)F由于 (, )?0,
yx将上式两端分别对和求导,应用复合函数求导法则得
,z,z
FFFF,yy,xxzz +=0, +=0。
F(x,y,z),0(x,y,z)FFz000000zz因为连续,且,所以存在点的一个邻域,在这个邻域内?0,于是得
FF,zyx,z,,FF,y,xzz =,=。
2,z.2222x,y,z,4z,0,x例2 设,求
222Fx,y,zFx,y,z,4zxxF2z,4z解 设() =,则=2, =.应用公式(4),得
,zx
,x2,z =。
x再一次对求偏导数,得
,z(2,z),x2,x,z,22(2,z),x
x,,,z,x(2),,22,z,x(2),z2,,,,.23,z,z(2)(2)
二、方程组的情形
下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数,例如,考虑方程组
F(x,y,u,v),0,,
,G(x,y,u,z),0., (5) 这时,在四个变量中,一般只能有两个变量独立变化,因此方程组(5)就有可能确定两个二
GF元函数。在这种情形下,我们可以由函数、的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在,以及它们的性质。我们有下面的定理。
P(x,y,u,v)F(x,y,u,v)G(x,y,u,v)00000隐函数存在定理3 设函数、在点的某一邻
F(x,y,u,v),0G(x,y,u,v),000000000域内具有对各个变量的连续偏导数,又,,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):
,F,F
,u,v
,(F,G),G,G
,(u,v),u,vJ, =
P(x,y,u,v)F(x,y,u,v),0G(x,y,u,v),000000在点不等于零,则方程组,在点(x,y,u,v)0000的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u,u(x,y),v,v(x,u)u,u(x,y),v,v(x,y)000000,它满足条件,并有
FFxv
GGxv,FFuv1,(F,G),u
GGJ,(x,v)uv,x ,,,,
FFux
GGux,FFuv1,(F,G),v
GGJ,(u,x)uv,x (6),,,,
FFyv
GGyv,FFuv1,(F,G),u
GG,yJ,(y,v)vv ,,,,
FFuy
GGuy.FFuv,(F,G),v1
GG,y,(u,y)uvJ ,,,,
这个定理我们不证.
,u,v,u,vxu,yv,0,yu,xv,1,y,y,x,x例3 设,求,,和.
解 此
题
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可直接利用公式(6),但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后
一种方法来做。
x将所给方程的两边对求导并移项,得
,u,v,x,y,,u,,,x,x,,u,v,y,x,,v.,x,x,
x,y22J,,x,y,0yx在的条件下,
,u,y
,vx,uxu,yv,,,,22x,y,xx,y
yx
x,u
y,v,vyu,xv.,,22x,y,xx,y
yx
22yJ,x,y,0 将所给方程的两边对求导,用同样方法在的条件下可得
,uxv,yu,vxu,yv,,,,.2222,y,yx,yx,y