[论文]一线三等角解决中考压轴
题
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一线三等角解决中考压轴题
数学模型是把某种事物的主要特征、主要关系系统地抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。多年的中考
试题
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，揭示了一个重要的几何基本模型——一线三等角模型，以此为例可进行初中几何教学中渗透模型思想的尝试。
“一线三等角”就是指三个等角的顶点在同一条直线上，解题思路是:一线三等角，其他等角容易找，从而容易证明三角形相似，若有一对应边相等三角形就全等了。只要有一线三等角的模型，一定存在其他两对相等的角，从而找到解决问题的突破口，或用全等、或用相似，最终轻松解决问题。
一线三垂直索本求源于我们浙教版八年级上册第47页第二题:如图AB?BD于点B，CD?BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP?PC，则?ABP??PDC，请说明理由。
解:??APC=90?，P为BD上一点
??APB+?CPD=180?-90?(平角的意义)
而在RT?ABP与RT?PDC中，?A+?APB=180?-?D=90?，?C+?CPD=180?-?D=90?
??A=?CPD，?C=?APD
在?ABP与?PDC中:
{?A=?CPD
AP=PC
?C=?APD
??ABP??PDC
点评:此题当?B=?D=?APC 并不需要他们都满足90度，同理可证?A=?CPD，?C=?APD 这样?ABP??PDC 若有一对应边相等?ABP??PDC 这就是三垂直的基本数学模型是一线三等角的特殊情形，应用也非常广泛。还有类似的一线三等角的数学模型如下图:
下面选取中考题为例。
(05年温州中考填空题压轴)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=。
解析:观察发现，由一线三垂直得?ABC??BDE，所以DE=BC故S1+S2=AC2+BC2= AC2+BC2=AB2=1，同理S3+S4=3。则S1+S2+S3+S4=1+3=4。
点评:在在长方形与正方形的图形中容易出现一线三垂直的情况。
(2012年宁波选择压轴题)勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，?BAC=90?，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【】
A.90B.100C.110D.121
解析:如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，由一线三垂直得正方形BFGC周围的三角形互相全等所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。
点评:在弦图中，通过延长添加辅助线构造三垂直，而且这种情况大多是全等型。
(2013年杭州压轴题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件?EPF=45?，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1。(1)求证:?APE=?CFP;(2)设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，y=S1S2。
?求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值;
?当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值。
解析:(1)由PF为正方形ABCD的对角线得三等角?PCF=?EPF=?EAP=45?，从而?APE=?CFP
(2)?由三等角模型得?APE??CPF，则APCF=AEPC。
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=2AB=42，又?P为对称中心，则AP=CP=22，?AE=AP?PCCF=22?22x=8x。如图，过点P作PH?AB于点H，PG?BC于点G，P为AC中点，则PH?BC，且PH=12BC=2，同理PG=2.S?APE=12PH?AE=12×2×8x=8x，
?阴影部分关于直线AC轴对称，??APE与?APN也关于直线AC对称，
则S四边形AEPN=2S?APE=16x;而S2=2S?PFC=2×PG?CF2=2x，
?S1=S正方形ABCD,S四边形AEPN,S2=16,16x,2x，
?y=S1S2=16-16x-2x2x=-8x2+8x-1.?E在AB上运动，F在BC上运动，且?EPF=45?，
?2?x?4.令1x=a，则y=-8a2+8a-1，当a=-8-2×8=12，即x=2时，y取得最大值。
而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4,2,1=1。
?y关于x的函数解析式为:y=-8x2+8x-1(2?x?4)，y的最大值为1。
?图中两块阴影部分关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分自身关于直线BD对称，则EB=BF，即AE=FC，?8x=x，解得x=22，代入x=22，得y=22-2。
点评:在对称图形以及在对称和旋转变换中存在很多角相等，进而运用知识就会发现三等角模型。
总之，在面对一些比较复杂的几何问题和在直角坐标系的函数综合问题的时候，我们需要多观察图形，在复杂的图形中去寻找我们熟悉的几何模型，这样做常有助于快速找到解题的突破口，从而快速解决问题。
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