平方差的几何意义
探索平方差公式的几何意义
陕西省咸阳市武功县贞元中学(邮编:712200) 许雨玲
22平方差公式(a+b)(a-b)=a-b的应用十分广泛，能够灵活运用该公式进行计算是整式乘法学习的重要内容之一。学习中要善于观察，多分析，掌握公式的结构特征，真正理解公式，才能在解
题
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中运用自如，避免出现错误。下面我们从几何意义方面对该公式全新的认识。
22首先认识公式的特征:(a+b)(a-b)=a-b 公式的左边是两数和与这两数差的积的形式，公式右边恰好是这两数的平方差，我们要弄清来源自然易记。若要用几何图形来表示，如图(1)所示，阴影部
22分面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即为a-b 公式的右边。下一步关键是如何将阴影部分拼揍成一个
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的图形，且让它的面积为(a+b)(a-b)即为公式的右边，再利用图形拼揍前后面积相等得到平方差公式。
拼法一:将图(1)沿虚线把长方形?剪下来，恰好拼到图(2)中所示长方形?的位置，得到一个新长方形:长为(a+b)，宽为(a-b) ，
22 即它的面积为(a+b)(a-b)。从而验证(a+b)(a-b)=a-b。
图1
a-b ? ? b 图2
a a+b
拼法二:将图(3)沿虚线剪下来，阴影部分正好分成两个全等的直角梯形，按图(4)所示的方法拼成一个等腰梯形，上底为2b,下底
为2a ,高为 a-b，所以此等腰梯形的面积 1,2(2a-2b)(a-b)，为化简后
22(a+b)(a-b),从而可得(a+b)(a-b)=a-b
a b b 图4 ? ? ? 图3 ? a a
a-b b
拼法三:将图(3)沿虚线剪下来恰好拼成一个长方形如图(5)所示，长为 (a+b)，宽为(a-b)，所以长方形的面积为 (a+b)(a-b)，
22即可得:(a+b)(a-b)=a-b a+b 图6
? ? 图5 a-b ? a-b ?
a+b
拼法四:将图(3)沿虚线剪下来恰好有拼成一个平行四边形如图(6)所示，底边长为(a+b)，高为(a-b)，则平行四边形的面积为(a+b)
22(a-b) ，又一次验证:(a+b)(a-b)=a-b
如果我们把图(1)中的小正方形移到大正方形的内部(不一定在
22中间)时，当然阴影部分的面积仍是a-b ，如图(7)所示，还能将阴影部分拼成一个规则的图形吗,我们不妨试一试:
拼法五:将图(7)沿虚线剪下来，得到四个小长方形????，这是恰好可拼成如图(8)所示的长方形，长为(a+b)，宽为(a-b)，则长方形的面积为(a+b)(a-b)，再一次验证了平方差公式。
? ? 图7 ? a-b ? ? 图8 ? ? b
a+b ?
a
通过以上五种拼法，均可得到平方差公式，让我们进一步认识平
方差公式的特点，利用数形结合的思想在拼图时将阴影部分拼成一个
规则图形，同时让拼后的图形面积必须表示为(a+b)(a-b)，从中我
们认识到几何图形的多样性，便于思考问题时思路开阔，方法灵活。
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