多元函数的极值及其应用
2012 年 5 月(上)
科技创新与应用科 教 纵 横
多元函数的极值及其应用
苏兴花
(山东现代职业学院,山东 济南
250104
)
多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛,相关的理论逐渐
地完善起来,多元函数极值问题的应用也越来越广泛 (
然而在数学
分析的教材中,与一元函数比较起来,多元函数极值的理论及应用
却比较少,没有详细的讨论,例如二元函数极值的讨论中,当判别式
时,无法判别二元函数的极值是否存在 (
鉴于这种状况与实际需要
的矛盾,
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
出几种较为简便的判别多元函数极值的方法,使得多
元函数的极值问题的解决方法简单多样化,运用起来更加灵活与方
便。
1
多元函数极值
1.1
极值的定义
、
性质和判定定理
二元函数的极值
定义
1
设二元函数
f(x,y)
在点
P(a,b)
的邻域
G
有定义,在
P
处给
自变量的增量 ?P=(h,k),相应有函数增量 ( 若 ,则称
P(a,b)是函数 f(x,y)的极大点(极小点)(极大 点(极小点)的函数值
f(a,b)称为函数 f(x,y)的极大值(极小值)(极大值 与极小值统称为函数的极值(
定义
2 方程组 的解(xy 平面上的某些点)称为函 数
f(x,y)的稳定点(
定理
1 若函数 f(x,y)在点 P(a,b)存在两个偏导数,且 P(a,b)是函
数 f(x,y)的极值点,则 .
定理
2 设函数 f(x,y)有稳定点 P(a,b),且在 P(a,b)的邻域 G 存在
二阶连续偏导数
(令
1)若 ?<0,则 P(a,b)是函数 f(x,y)的极值点,
(i)A>0(或 C>0),P(a,b)是函数 f(x,y)的极小点;
(ii)A<0(或 C<0),P(a,b)是函数 f(x,y)的极大点(
2)若 ?>0,P(a,b)不是函数 f(x,y)的极值点( 1.2 多元函数极值推广
1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广 定理 设
f(P)是 R
n
中的实函数,且
P f(P)在点
0
取到极值,则
f(P)
在点
P
0
的任何方向导数均为零
(
1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广 定理
1 设 n 元函数 f(x)=f(x 1
,x
2
,...,x
n
)在某区域上具有二阶连续偏
导数,并且区域内一点 P(a
1
,a
2
,...,a
n
)是 f(x)的稳定点(其中 为实对称矩阵,其元素 且不全为零 (i,j=
1,2,...,n)即 A?0(
1) 若 A 为正定矩阵,f(P)为极小值;
2) 若 A 为负定矩阵,f(P)为极大值;
3) 若 A 既不正定,也不负定,则 f(P)不是极值(
的正 注意:若二次齐次多项式为零,即 A=0 时,此时不能用 A
定与负定来判断
f(P)是否为极值,或判断 f(P)是极大值或极小值,需
根据二次齐次多项式后边的高次项去判定(
定理
2 设二元函数 f(x,y)在点 P 0
(x
0
,y
0
)的某邻域内具有三阶连续 偏导数,且
P
0
是稳定点,又 ,即
?=0 时,则当 时,
f 在点 P
0
无极值
(
例
2
判别函数 是否存在极值
(
解 解方程组 得稳定点
P
0
(
0
,
0
)
(
因为函数
f(x,y)
在
R
2
上可微,所以
f(x,y)
只可能在
(0,0)
点取极值,
且容易验证
B
2
-AC=0
,用二阶偏导数判别法得不到结论, 但又知 ,所以由定理
2
知函数
f(x,y)=xy
2
在
(0,0)
点不取极值
(
以上介绍了多元函数极值的相关定义 、
性质及定理,并给出一
些较为有价值的定理,解决了几类在数学分析教材中无法解决的问
题,下面我们将给出一些实际例子来验证定理及推论在判别多元函
数极值问题中的作用
(
2 多元函数极值的应用
多元函数极值在实际问题中的应用 例
3 考试中心组织非英语专业等级考试,租用学校教室做考
场,已知每个大教室可容纳考生 50 名,需 2 名教师监考,租金 70 元;每个小教室可容纳考生 30 名,需 2 名教师监考,租金 40 元,本
次考试考生共
1800 名,可提供监考教师 114 名,问怎样安排大小考
场才能既满足要求又最省租金, 解 设用小教室 x
1
个,大教室
x
2
个,则线性规划模型为
min
{40x
1
+70x
2
}
使得 其中
化为标准形
使得 其中
求得全部基本允许点:
而
可知规划最优点为 (即用 30 个小教室,18 个大
教室最优
(
例
3 这道题是最优化问题,主要解决了如何合理配置资源才能 达到不浪费资源,取得最优效果的问题
。
这篇文章介绍了多元函数极值的判别与求解方法及其应用,将 线性规划和高等代数中有关极值问题的理论与数学分析中的理论 统一到一起,对极值的判别作了比较全面地概括和总结,便于今后 更灵活地掌握极值在不同情况下的判别方法;文章的应用部分尤其 是极值的最优化应用部分,充分体现出极值在现实生活中的应用价 值
(现在,全世界都面临着资源严重短缺的问题,如何使能源的分配 和使用更加合理已经成为人们亟待解决的问题,而数学作为解决这 些问题的工具必将发挥其巨大的作用。
参考文献
[1]华东师范大学数学系(数学分析[M](高等教育出版社,2001( [2]苏淑真(实对称矩阵在求多元函数极值中的应用 [J](西安欧亚学 院,中国期刊网
(
[4]郝一凡(最优化与决策 [M](辽宁大学出版社,1999( 摘 要:文章首先从极值的相关定义、性质及定理出发,结合线性规划所定义的多元函数条件
极值的相关理论,研究并讨论了多
元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题 (其次,从二元函数极值的定义、性质定理出发,对多元函 数极值运用线性代数的理论加以探讨,并且用实际例子验证了上述推论及定理在判别多元函
数极值问题中的实用性与灵活性(
文章最后又给出了多元函数极值在实际问题中的应用,以此说明研究极值问题的重要性与必
要性。
关键词
:
多元函数;极值;正定矩阵;稳定点
:f : f :a : h , b : k :: f : a ,b:
f 0 f0 Á
Á
( , ) 0 ( , ) 0 Á
Â
f x y
f x y
ÁÁ
( , ) 0, ( , ) 0
ÁÂ
f a b f a b
ÁÁÂ
( , ), , , , ,
ÁÁÁÂÂÂ
A f a b B f a b C f a b B AC
ÁÁÁÂÁ
ÂÁÂÂÂ
ÁÂ
Á
Á
ÁÁÁÁ
a a a
a a a
A
a a a
Á
ÁÂÂÁ
ÁÂ
a a f P x x
ÁÁÁÁÁÁ
, , , 0 ÁÁÁÂÂÂ
f x y f x y f x y
ÁÁÁÁ
ÂÂÂÂ
ÃÃÃÃ
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( ) ( ) ( ) ( ) 0
f f f f
P P P P x x y x y y
Á
f x, y xy Á
, 0
, 2 0
f
x y y
x
f
x y xy
y
Á
2 0
f
y x
ÁÂ
ÁÂ
30 50 1800 2 3 114
x x
x x
ÁÂ
x 0, x0
ÁÂÃÄ
min 40 x 70 x 0 x 0x
ÁÂÃ
ÁÂÄ
30 50 1800 2 3 114
x x x
x x x
0 1, 2 ,3, 4 Á
x i
ÁÂÃ
30 ,18 , 0 ,0 0 ,38 ,100 , 0 0 ,36 ,0 , 6
ÁÁÁ
X X X
Á
f X40 30 70 18 2460
Á
f X40 0 70 38 2660
Á
f X40 0 70 36 2520.
Á
30 ,18 ,0 , 0
Á
X
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谣言:吃太咸了会得病,
导语:“人体每日摄入食盐不应过多,否则易患多种疾病。”这是真的吗,
吃太咸了会得病,
一、 网友评论:
1、 网友:冰冰 23 岁行政助理
我就是一个”重口味“的人,但身体很健康啊~
我就是一个特别爱吃咸的人,什么咸菜、咸烧饼都是我的最爱。大家都说吃太咸对身体不好,可我一点没这么觉得。前几天我还到医院去体检,各项指标都很正常。吃咸不会得病的~
2、 网友:小帅 34岁 销售
邻居家大爷常年吃太咸,结果得了心血管病。
邻居家有个大爷经常吃咸的东西,大家都劝他不要吃这么咸,可他就是不听。后来他被检查出了心血管疾病,我想这和常年吃咸有很到关系。
世界卫生组织建议每人每天钠盐摄入量不超过5克
二、 专家解答:
1、 世界卫生组织建议每人每天钠盐摄入量不超过5克。
世界卫生组织(WHO)建议每人每天钠盐摄入量不超过5克,而我国现在每人每日食盐约12克、美国提倡的人均2.3克/天宽松了许多。
2、 高盐饮食会导致高血压。
营养专家原表示,高盐饮食是高血压的三大原因之一,高盐饮食是我国高血压的最重要的危险因素。古人就知道“味过于咸,大骨气劳,短肌,心气抑”,即多食咸会影响血液和血液循环,伤及骨骼,并使心功能受到抑制。盐摄入平均每增加2克,收缩压和舒张压就分别增
加2.0mmHg和1.2mmHg。
“有的人以为‘不吃盐没力气’,这是没有道理的。”专家表示,人对钠盐的依赖,只是长期以来味觉适应了高盐。除此之外,吃盐还包括酱料、酱油、零食里的盐,因此不放盐放酱油的做法,也同样会摄取盐分。
我们正常人钠的摄入量和排出量时刻处在一个比较平衡的状态,而且钠的排出主要通过我们的肾脏。如果在日常生活中摄入过多的盐分,钠的摄入量就会增加,这就给肾脏排除钠的功能增加负担。如果摄入钠的量过多的话,为了保证肾脏的正常功能,也为了保持钠在血液中的浓度不变,就需要多喝水,不过水喝太多的话就会使得血液中的水分有所增加,这就形成了“水钠潴留”的状态。这种状态就好比一个装满水的气球,水越多的话,气球产生压力就会越大,久而久之就会导致高血压的出现。这就是吃得太咸会引发高血压出现的原因,主要是钠在作怪。与此同时,如果血容量过大,加重心脏负荷,再加上自身的血管狭窄的话,就有引发冠心病的可能。
吃太咸还可能给身体带来多种疾病
3、吃太咸还可能给身体带来多种疾病。
肝肾疾病。摄入过多盐会超过肝肾代谢的承受力,加重心血管压力,血压越高,肝肾血流量越少,肝肾功能损害越大,易导致慢性疾病。
呼吸道炎症。高浓度食盐不仅抑制呼吸道细胞活性,降低其抗病能力,还会减少唾液,使口腔内溶菌酶减少,难以抵抗病毒感染。
胃癌。食盐中的高渗透液会破坏胃黏膜,一些腌菜、盐渍食品中所含亚硝酸盐在胃酸和细菌作用下会转变为亚硝胺,易致胃癌。
皮肤老化。体内钠离子增加会导致面部细胞失水,皱纹增多。
肥胖。英国通过对1600多名青少年进行研究发现,吃盐越多,甜饮料喝得越多,很容易带来肥胖问题。
骨质疏松。食盐主要成分是钠,人体每排泄1000毫克钠,大约会耗损26毫克钙。吃盐越多,钙越少。
吃黄瓜鸡蛋1周掉10斤
饭后吃啥排出体内致癌物
这样吃萝卜一冬不生病
几种零食一辈子都不要吃
吃火锅时少点5类蔬菜
防肝癌注意两吃两不吃