约束条件下Cauchy—Schwarz不等式的改进
约束条件下Cauchy—Schwarz不等式的改
进
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高等数学研究
STUDIESINCOLLEGEIATHEMATICS 约束条件下Cauchy—Schwarz不等式的改进
刘建忠许瑞华(江苏技术师范学院基础部江苏常州213001) 摘要设,z',g(z)均在[口,6]上可积且o<m,(z)M,J.g()dz—o,则Cauchy—Schwarz不等式
可改写为
或
[』:,cz,gcz,dz].~f:F(x)dx』:gZ(x)dx-m3(b—n,』:g.cz,dz, c训z(M--m)cz.
关键词积分)Cauchy—Schwarz不等式;非负二次型中图分类号0178 设(驯,g(z)均在[",6]上司积,则有着名的Cauchy—Schwarz不等式 [:厂zgzdz]<flf2(x)dx:gzdz, 并且当存在一组不全为零的数志,志z使得志厂(z)+志:g(z)一0时等号成立.下面我们利用初等方
法给出在一定附加条件下该不等式的一些改进.
引理1设厂(z)在[n,6]-n-IX且满足0<,(z)M,则有:
(6_..)1f.(x)dx(M+m)2/,…I
,,,,24Mm'(1f(z)dx)0
证明由于o<厂(z)M,从而(厂(z)一害)z,显然该不等式等价于 fl(x)+(M+)厂(z).两边取积分得:Iif.(z)dz+(6一n)(M+)fbf(z)dz,结 合平均值不等式24Mrn(b--a)flfz(x)dx厂.(z)如+(6一n)即得结论. 定理1设厂(z),g(z)均在[口,6]上可积且满足0<厂(z)M,Ig(z)dx一0,则有: (A[(z)g(z)如].(z).(z)如.
一
(6一n).(z)如,J~-f(z)一时等号成立. B[flf(x)g(x)dx].(M--m).蒯z蒯z. 证明注意到关于t,t.,t.的二次型 rb
J[l厂(z)十,2g(z)+,.].dx一
.r.r广广
,{Jf.(x)dx+,;l,g.(x)dx+(6一n),j+2tl,2If(x)g(x)dx+2tl,.I厂(z)dz0JJnJn
为非负二次型,从而其系数行列式 *收稿日期:O4—06—01
第8卷第4期刘建忠,许瑞华:约束条件下Cauchy—Schwarz不等式的改进39
fhfbfbIf.(x)dxIf(x)g(x)dxIf(x)dxJdJ"J口 广广6
l厂(z)g(z)dxlg(z)dx0 zo6一口
广6广6广广矗12广6广广612 (6一口)lf.(x)dxlg.(x)dx—Ilf(x)dxIlg.(z)dx一(6一口)Ilf(x)g(x)dxI0.J口J口LJ口一
J口LJ口一
由此得:
[cz]?czcz一czHz,
注意到,(z)m>0,于是
(z]?6_口).
结论(A)得证.
另由引理1知:
1
o[I:c别H别z一
I'b蒯zz?IJ…一,I6…一,
(6一口)If.(z)dx
J口
7ff2z(z)dzfg.(z)dz.(M+)J.J.…
于是结论(B)得证.
下面我们给出所得不等式的离散形式. 推论1设口,口z,…,;61,62,…,满足0<口M,(愚一1,2,…,),?一o,则k1
证明取[口,6]一[1,+1],
显然,(z),g(z)满足定理1的条件,经简单计算得 (M--m).
J.-厂c,gcz,dz一骞,J._尸cz,dz一骞J._g.cz,dz一骞 由定理1即得结论.
参考文献
[1]D.S.Mitrinovic着,张小萍等译.解析不等式I-M].北京:科学出版社,1987.
[2]匡继昌.常用不等式[M].长沙:湖南教育出版社,1989.
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