高中数学复习资料

高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 复习资料 高中数学易错、易混、易忘 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分类汇编 【易错点 42】向量与解析几何的交汇 例 42、 (03 年新课程高考)已知常数 a>0，向量 c=(0，a) ，i=(1，0) ，经过 原点 O 以 c+λ i 为方向向量的直线与经过定点 A(0，a)以 i,2λ c 为方向向量 的直线相交于点 P，其中λ ?R.试问:是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF| 为定值.若存在，求出 E、F 的坐标;若不存在，说明理由. 【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的 概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义 来解答，使思维陷入僵局。 解析:根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两 定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值.?i=(1，0) ，c=(0，a) ， ?c+λ i=(λ ，a) ，i,2λ c=(1，,2λ a)因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为 和 得 a 2 ( ) 2 a 2 2 .消去参数λ ，得点 P ( x , y ) 的坐标满足方程 ? 因为 所以得: (i)当 a 2 .整理 x 2 ) 2 1 8 时，方程?是圆方 程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F; (ii)当 点E(1 2 2 2 时，方程?表示椭圆，焦 2 2 a 2 ) 和 2 1 2 2 a 2 (iii)当 为合乎题意的两个定点; a 2 时， 方程?也表示椭圆，焦点 2 1 2 )) 和 2 a 2 1 2 )) 为合乎题意的两 个定点. 【 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭 圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的 基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的 主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方 面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如:线段的比值、长度、 夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的 意识。 【练 42】 (1) (2005 全国卷 1)已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上， 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、 两 与 共 B 线。 (?)求椭圆的离心率; (?)设 M 为点， 椭圆上任意一点，且 ，证明 2 2 为定值。 答案: (1) e 6 3 (2) (2) (02 年新课程高考天津卷)已知两点 M(-1，0) ，N(1，0) ，且点 P 使 1 ， PM ? N , N M ? P 成公差小于零的等差数列(1)点 P 的轨迹是什么 N P 曲线,(2)若点 P 坐标为( x o , y o ) 为 PM 与 P N 的夹角，求 tan ;答案: ，记 ?点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3 为半径的右半圆?=|y 0 | (3) (2001 高考江西、山西、天津)设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点 的直线交于 A、B 两点，则 等于( )A. 3 4 B., 3 4 C.3 D.,3 答案:B 【易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。 例 43、已知椭圆 C: PM x 2 y 2 上动点 P 4 2 到定点 其中 的距离 的最小值为 1.(1)请确定 M 点的坐标(2)试问是否存在经过 M 点的直 线 l ,使 l 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件 (O 为原点),若存 在,求出 l 的方程,若不存在请说是理由。 【思维分析】此题解题关键是由条件 知 从而将条件 转化点的坐标运算再结合韦达定理解答。 解析:设 ，由 x 2 y 2 得 y 2 4 2 2 2 故 2 PM 2 2 2 由于 且 故当 时， P M 的最小值为 此时 ，当 2 时，取得最小值为 解得 不合 题意舍去。 是满足题意此时 M 的坐标为(1，0) 。 (2)由题意知 综上所知当 条件 等价于 ，当 l 的斜率不存在时，l 与 C 的交点为 ，此时 ，设 l 的方程为 ，代入椭 圆方程整理得 ，由于点 M 在椭圆内部故 恒 成立，由 知 即 ，据韦 2 达定理得 x1 4k 2 2 2 ， x1 x 2 2 2 2k 2 2 2 代入上式得 2 2 2 得 k 不合题意。 综上知这样的直 线不存在。 【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转 化向量的坐标 运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起 关系式。此题 解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。 【练 43】已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点 F2 为圆心，过 另 为此平面上一定点， 且 一焦点 F1 的圆被右准线截的两段弧长之比 (1)求椭圆的方程(2)若直线 与椭圆交于如图两 (1) 。求函数 的值域答案: 4 2 点 A、B，令 (2) [易错点 44]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系. 例 44、函数 的导数为 。 [易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以 中间变量对自变量的导数，即 。 解析: xe 【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系， 适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中 要特别注意的是中间变量的系数。 [练习 44](2003 年江苏，21)已知 ，n 为正整数。设 ，证明 n ; n (1) 设 ，对任意 ，证明 解析:证明: (1) n n x , k 3 n kC n k x n x (2)对函数 求导数: n ， n 当 时， n 当 时 ， 是关于 x 的增函数因此，当 时， n n n n 。 即对任意 ， 【易错点 45】求曲线的切线方程。 例 45、 (2005 高考福建卷)已知函数 f 的图象 过点 P(0， 2) 且在点 M ， (,1， ,1) 处的切线方程为 (?) ( f ) 求函数 的解析式; 【思维分析】利用导数的几何意义解答。 解析: (?)由 f ( x ) 的图象经过 P(0，2) ，知 d=2，所以 f ( x ) 由在 处的切线方程是 ，知 即 即解得 故所求的解析式是 3 2 【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数，就是曲线 y=(x)在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率(由此，可以利用导数求曲线的切线方 程(具体求法分两步: (1)求出函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数，即曲线 y=f(x)在 点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率;(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得 切线方程为 特别地，如果曲线 y=f(x)在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 4 处的切线平行于 y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为 0 。 利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习 时要注意到这一点. 【练 45】 (2005 福建卷)已知函数 (1) 处的切线方程为 x+2y+5=0. (?)求函数 y=f(x)的解析式;答案: 2 2 的图象在点 M(,1，f(x)) (2) 2005 高考湖南卷) ， P t ， 是函数 f ( x 与 ( 设 点 ( 0) 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线.(?)用 t 表示 a， b，c;答案: 故 ， ， 【易错点 46】利用导数求解函数的单调区间及值域。 例 46、( 2005 全国卷 III)已知函数 单调区间和值域; (?)设 ，函数 ， ，，若对于任意 ，，总存 1 1 在 ，使得 成立，求 a 的取值范围。 1 【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识， 同时要培养自已的求导及解不等式的运算能力第(?)问要注意将问题进 行等价转化即转化为函数 在区间 ，上的值域是函数 的值域 1 的子集，从而转化为求解函数 在区间 ， 上的值域。 1 解析(?) 7 2 2 2 ， ，(? )求 的 1 2 2 2 2 ， 令 解 得 1 1 2 或 ,在 ， 所以 f ( x ) 为单调递减函数; ， f 在 2 7 1 2 1 所以 f ( x ) 为单调递增函数;又 ，即 f ( x ) 的值域为 [-4， 所以 -3]， 2 2 1 1 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ) ，f ( x ) 的单调递增区间为 ( ,1) ，f ( x ) 2 2 的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以). (?)? 又 ，当 时， ， 5 因此，当 时， g ( x ) 为减函数，从而当 时，有 (1), g (0)] . 又 ，即当 时，有 g ( x ) ， 任给 ，有 ，存在 [0,1] 使得 ， 则 2 或 又 ，所以 a 的取值范围是 2 3 。 【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出 用现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面:?运导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容(另 一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最 小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而 进一步地解决实际问题(用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多， 因此，导数在函数中的应用作为 2006 年高考命题重点应引起高度注意(单调区 间的求解过程，已知 f ( x ) (1)分析 的定义域; (2)求导数 (3)解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间(4)解不 等式 ，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函 数单调区间的合并主要依据是函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 单调递增，在 ( b , c ) 单调递增， 又 知函数在 处连续，因此 f ( x ) 在 ( a , c ) 单调递增。同理减区间的合并也是 如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合 并为以个区间。 【练 46】 (1) (2005 高考北京卷)已知函数 f(x)=,x3，3x2，9x，a, (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[,2，2]上的最大值为 20，求它在 该区间上的最小值(答案: (1) (,?，,1)(3，，?) ， (2),7 (2) (2005 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器, 先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90?角,再焊接而成(如 图),问 该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 答案:当 x=10 时,V 有最大值 V(10)=1960 【易错点 47】 二项式 展开式的通项中， a 与 b 的顺序颠倒而容易出错。 因 n 6 例 、 3 2 n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162，则 x 的一次 项为 。 2 3 【易错点分析】本题中若 x 与 的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。 2 x 1 解析:椐题意有: 即 则 r 3 x 2 3 r 由 2r 3 3 3 【知识点归类点拨】二项式 与 的展开式相同，但通项公式不同， n n 对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分。 【练 】 (潍坊高三质量检测) n 展开式中第 5 项与第 12 项系数的绝 对值相等，则展开式的常数项为 4 11 。 11 解析:据题意有 ，即 4 11 4 11 r r 4 令 0, 得: 故展开式中常 4 数项为: 【易错点 48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易 混淆，导致出错。 例 为 、 在 5 的展开式中， x5 的系数为 ，二项式系数 。 【易错点分析】在通项公式 中， C 5r 是二项式系数， 是项 的系数。 解析:令 ，得 ，则项 x 5 的二项式系数为 ，项的系数为 。 2 2 【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性 7 的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中 r 的取值或取值范围， 须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。 【练 48】 (2005 高考山东卷) 如果 3 n 的展开式中各项系数之和为 128， (B) (C)21 则展开式中 (D) 1 x 3 的系数是( ) (A)7 答案:当 时 3 1 1 2 n n 即 3 1 x 2 ) 7 ,根据 二项式通项公 式得 r 2 3 r r r 5 3 r 5 3 1 时对应 x3 ,即 6 6 1 x 3 1 x 3 21 x 3 .故 1 x 3 项系数为 21 . 【易错点 49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求 法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。 例 、已知 n 的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比 为 10:1 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。 【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数最大;当 n 为偶数时，中间两项的二项式 系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利 用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。 解析:由题意知，第五项系数为 ，第三项的系数为 ，则有 4 4 4 2 2 10 1 ，设展开式中的第 r 项，第 r+1 项，第 r+2 项的系数绝对 值 分 别 为 ， 若 第 r+1 项 的 系 数 绝 对 值 最 大 ， 则 ，解得: 系数最大值为 1 x 6 1 x 11 由 知第 五项的二项式系数最大，此时 n 【知识点归类点拨】在 的展开式中，系数最大的项是中间项，但当 a， b 8 的系数不为 1 时， 最大系数值的位置不一定在中间， 可通过解不等式组 来确定之。 【练 49】 (2000 年上海)在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数 11 为 。 (结果用数值表示) r r 解析:展开式中第 r+1 项为 ，要使项的系数最小，则 r 为奇数， C 1r1 为最大，由此得 ，所以项的系数为 。 5 且使 5 【易错点 50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。 例 50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式, (1) 分成 1 本、2 本、3 本三组; (2) 分给甲、乙、丙三人，其中 1 人 1 本，1 人两本，1 人 3 本; (3) 平均分成三组，每组 2 本; (4) 分给甲、乙、丙三人，每人 2 本。 【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是 排列问题。 1 解析:(1)分三步: 先选一本有 C 6 种选法，再从余下的 5 本中选两本，有 C 52 种 选法，最后余下的三本全选有 C 33 种选法，有分步计数原理知，分配方式有: 1 2 3 (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)题的基础上，还考虑再分配问 1 题，分配方式共有 种。 (3)先分三步:则应是 种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六 本书为 A , B , C , D , E , F 若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该 种分法为(AB，CD，EF)则 中还有(AB，EF，CD)(CD，EF，AB) ， (CD， AB，EF)(EF，CD，AB)(EF，AB，CD)共 A33 种情况，而且这些情况仅是 AB， ， ， CD，EF 顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有 2 2 2 A3 2 3 种 (5) 在问题(3)的基础上，再分配即可，共有分配方式 2 2 A3 3 3 种。 【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型， 对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步 9 完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。 【练 50】 (2004 年全国 9)从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到三 个班担任班主任(每班一位班主任) ，要求这三位班主任中男、女教师都要有， 则不同的选派方法共有( ) A、 210 种 B、420 种 C、630 种 D、840 种 1 解析:首先选择 3 位教师的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 有:?一男两女;计 ;?两男一女: 。 1 计 其 次 派 出 3 位 教 师 的 方 案 是 A33 =6 。 故 不 同 的 选 派 方 案 共 有 3 1 2 2 1 种。 【易错点 51】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方 51、四个男同学和三个女同学站成一排。 (1) 三个女同学法 导致出错。 例 必须排在一起，有多少种不同的排法, (2) 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法, (3) 其中甲、乙两同学之间必须恰有 3 人，有多少种不 ) 甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法, (5) 同的排法, (4 女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法,(三个女生身高 互不相等) 【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等， 如果对题意理解不够充分，往往选择错误的方法。 解析: (1)3 个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有 A33 种排法;由 于 3 个同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一个整体，在 与男同学排 队，这时是五个元素的全排列，应有 A55 种排法。由乘法原理，有 种 不同排法。 (2)先将男生排好，共有 A 44 种排法;再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个空 中插入 3 个女生，有 A53 种方案。故符合条件的排法共有 种。 (3)甲、乙 2 人先排好，共有 A 22 种排法;再从余下的 5 人中选三人排在甲、乙 2 人中间，有 A53 种排法，这时把已排好的 5 人看作一个整体，与剩下的 2 人再 排，又有 A33 种排法;这样，总共有 种不同的排法。 (4)先排甲、乙、丙 3 人以外的其他四人，有 A 44 种排法，由于甲、乙要相邻， 故把甲、乙排好，有 A 22 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 10 先排好的 4 人的空当中，有 A52 种排法;这样，总共有 960 种不同的 排法。 (5)从七个位置中选出 4 个位置把男生排好，有 A 74 种排法;然后再在余下得个 空位置中排女生，由于女生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有 A 74 种 不同的排法。 【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是:?直接法: 位 置 分 析 法 用 加 法 原 理 ( 分 类 )元 素 分 析 法 用 乘 法 原 理 ( 分 步 )插 入 法 ( 不 相 邻 问 题 ) 捆 绑 法 ( 相 邻 问 题 ) ?间接法:即排除不符合要求的情形?一般先从 特殊元素和特殊位置入手。 【练 52】 (2004 年辽宁)有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安 排 2 人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不 同排法的种数( ) A、234 B、346 C、350 D、363 1 解析:把前后两排连在一起，去掉前排中间 3 个座位，共有 种，再加上 4 2 1 种不能算相邻的，共有 种。 ，事件 A 发 【易错点 53】二项式展开式的通项公式为 生 k 次的概 率 : 。 二 项 分 布 列 的 概 率 公 式 : 且 ，三者在形式上的相似，在应 用容易混淆而导致出错。 例 53、 (2004 年全国理)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规 则规定:每题回答正确得 100 分，回答不正确得—100 分。假设这名同学每题回 答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 (1) 求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望。 (2) 求这名同学总得分不为负分(即 )的概率。 【易错点分析】 对于满足二项分布的分布列的 概率计算公式中对于随机变量 以 及二项分布的条件的理解出错。 解析: (1) 的可能取值为—300，—100，100，300。 11 3 2 2 3 所以 的概率分布为 —300 0.008 —100 0.096 100 0.384 300 0.512 P 根据 的概率分布，可得 的期望 (2)这名同学总得分不为负分的概率为 。 【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其 概 率 就 是 独 立 重 复 实 验 n 次 其 中 发 生 k 次 的 概 率 Cn P k k 。但在解决实际问题时一定看清是否满足二项分布。 【练 53】 (2004 年重庆理 18)设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽 车在每 个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为 3 4 ，遇到红灯(禁止通行)的概率为 1 4 。 假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进， 表示停车时已经通过的路口 数，求: (1) 的概率分布列及期望 ; (2)停车时最多已通过 3 个路口的概率。 解析: (1)的所有可能值为 0，1，2，3，4。用 Ak 表示“汽车通过第 k 个路口 时不停” ‘则 3 4 且 A1 , A2 , A3 , A4 独立。故 , 16 4 4 64 3 1 4 3 4 从而 的分布列为 12 P 0 1 2 9 64 3 27 256 4 81 256 81 256 175 256 525 256 (2) 【易错点 54】正态总体 当 时， 1 2 。 的概率密度函数为 x 2 2 2 e ， e 2 ，叫作 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态总体 的概率密度 函数，两者在使用范围上是不同的。 例 54、 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 (单位:小时) 已知 ， ， 要使灯泡的平均寿命为 1000 小时的概率为 99.7 0 0 ，问灯泡的最低使用寿命 应控 制在 910 小时以上。 【易错点分析】由于 服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。 解析: 因为灯泡的使用寿命 ， 在 的 故 概率为 99.7 0 0 ，即 在 内取值的概率为 99.7 0 0 ，故灯泡的最低使用寿 命应控制在 910 小时以上。 【知识点归类点拨】在正态分布 中， 为总体的平均数， 为总体的 标准差，另外，正态分布 在 的概率为 68.3 0 0 ，在 解题时， 应当注意正态分布 在 内取值的概率为 99.7 0 0 。 各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。 【练 54】一总体符合 ，若 ，则该总体在(1，2)内的概 率为 。 解析:由题意可得 。 【易错点 55】对于数列的两个基本极限? ;? lim ，两个极 ;而后者为 。 限成立的条件不同，前者为 13 例 55、在等比数列 中， ，且 n 项和 S n ，满足 lim 范围是( A、 ) B、 、 、 1 a1 , 那么 a 1 的取值 【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式 s 容易忽视 这个条件。 解析:设公比为 q，由 lim ，求 a 1 的范围时， 知 又 所以 2 2 。 存 在 或 【知识点归类点拨】对于 ，公比的绝对值小于 不 存 在 或 1 的无穷等比数列前 n 项和在 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。 【练 55】 lim 3 3 1 3 ，求 a 的取值范围。 n 3 3 n n 1 n 解析: 【易错点 56】立体图形的截面问题。 例 56 、 2005 哈 师 大 附 中 、 东 北 师 大 附 中 高 三 第 二 次 联 考 ) 正 方 体 ( ABC D -- A1 B1 C 1 D1 ，E、F 分别是 A A1 、 C C 1 的中点，p 是 C C 1 上的动点(包括端 点) ，过 E、D、P 作正方体的截面 3 2 2 3 所以的概率分布为 根据的概率分布，可得的期望 (2)这名同学总得分不为负分的概率为 。 【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其 就是独立重复实验n次其中发生k次的概率 概率 CnP k k 。但在解决实际问题时一定看清是否满足二项分布。 34 14 【练53】(2004年重庆理18)设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为，遇到红灯(禁止通行)的概率为 。 假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求: (1)的概率分布列及期望;(2)停车时最多已通过3个路口的概率。 解析:(1)的所有可能值为0，1，2，3，4。用Ak表示“汽车通过第k个路口时不停”‘则 34 且A1,A2,A3,A4独立。故 3219 14 4 3 从而的分布列为 12 、R 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案:五边形。 【易错点 57】 例 57、 (93 全国考试)判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数 如果异面直线 a、b 所在的角为 为空间一定点，则 过点 P 与 a、b 所成的角都是 的直线有几条, A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 【易错点分析】对过点 P 与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象 不足， 不明确与两直线所的角与两异面直线所成的角的内 A 在约束关系。 l 解析:如图，过点 P 分别作 a、b 的平行线 、，则 、 a? 所成的角也为 50 ，即过点 P 与 、 成相等的角的直 B 0 „ p 线必与异面直线 a、b 成相等的角，由于过点 P 的直线 L b C 与 、 b 成相等的角故这样的直线 L 在 、 确定的平 面 的 射 影 在 其 角 平 分 线 上 ， 则 此 时 必 有 当 cos 30 cos 25 时，有 cos 30 cos 25 ，此时这样的直线存在且有 两条当 时，有 cos 30 cos 65 这样的直线不存在。故选 B 【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移， 同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平 移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线 是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线 的条数， 此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角 与平面内的直 线与平面外的直线在平面内的射影所成的角 的关系， 由公式 ( 其 中 是 直 线 与 平 面 所 成 的 角 ) 易 知 ， (最小角定理)故一般地，若异面直线 a、b 所成的角为 ， 时，这样的直线不 L 与 a、b 所成的角均为 ，据上式有如下结论:当 存在;当 条;当 2 时，这样的直线只有一条;当 时这样的直线有 3 条;当 2 2 时，这样的直线有两 2 2 时，这样的直线有四条。 【练 57】如果异面直线 a、b 所在的角为 为空间一定点，则过点 P 与 a、 16 b 所成的角都是 的直线有几条, A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 答案:C 【易错点 58】有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视 三个条件中的某一个。 例 58、如图， 矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别为 AB，PC 的中点。求证: P P M N // 平面 PAD [易错点分析]:在描述条件中，容易忽视 AE 面 面 PADE。 E N N C C M M B B E，连结 AE，EN，则有 EN // C D // AB // AM ， 解析:取 PD 中点 面 PAD D D A A AMEN 为平行四边形， 面 面 PAD [知识点归类点拨]判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线 平行来判定线面平行，这是所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内 的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。 【练习 58(2005 浙江)如图，在三棱锥 P—ABC 中， ， 点 O，D 分别为 AC，PC 的中点， 平面 ABC 求证:OD// 证明:分别为 AC、PC 的中点又 平面 P A B , 平 面 平 面 平 面 PAB P 平面 PAB D C A O B 【易错点 59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两 条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行” ，容易导致证明过程跨步 太大。 例 59、如图，在正方体 中，M、N、P 分别是 C 1C , B1C 1 , C 1 D1 的中 点， 求证:平面 MNP//平面 A1 B D 【易错点分析】本题容易证得 MN// A1 D ,MP//BD，而 此得出面 M N P // 面 A1 B D 解析:连结 B1 D1 分别是 D1C 1 , B1C 1 的中点， 直接由 又 PN 面 平 面 A1 BD 同理: M N // 平 面 A1 BD , 又 17 平 面 D M N // 平 面 A1 BD 。 【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的 直线与另一个平面平行的问题， “线面平行则面面平行” 必须注意这里的 即 ， “线 面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理 中的条件缺一不 59】正方体 中， (1)M，N 分别是棱 可。 【练 A1 B1 , A1 D1 的中点，E、F 分别是棱 B1C 1 , C 1 D1 的中点，求证: ?E、F、B、D 共面; ?平面 AMN//平面 EFDB?平面 AB1 D1 //平面 C 1 B D 证明: (1)?则 E、F、B、D 共面。 ?易证:MN//EF，设 平 面 AM N // 平 面 EFD B 为正方体， 平 面 ?连结 AC， 同 理 可 证 ， 于 是 得 平 面 C 1 BD , 同 理 可 证 平 面 面 AB1 D1 // 面 C 1 BD 【易错点 60】求异面直线所成的角，若所成角为 90 0 ，容易忽视用证 解析:如图当点P在线段CF上移动时，易由线面平行的性质定理知:直线DE平行于平面BB1CC1，则过DE的截面DEP与平面BB1CC1的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上故此时过P与DE平行的直线与直线BB1的交点在线段BB1上，故此时截面为四边形(实质上是平行四边形)，特别的当P点恰为点F时，此时截面为DEFB1也为平行四边形，当点P在线段C1F上时如图分别延长DE、DP交A1D1、D1C1于点H、G则据平面基本定理知点H、G既在平 截面DEP内也在平面A1B1C1D1内，故GH为两平面的交线，连结GH分别 交A1B1、 B1C1于点 K、N(注也有可能交在两 P F 直线的延 E 1 A1 B1 长线 别连KN、面为此时故选C 上)，再分结EK、PN即得截DEKNP为五边形。 H 【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种:一种是利有平面的基本定理:一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线(即交线)(注意该定理地应用如证明诸线共点的方法:先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线;诸点共线:即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上)据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。 【练56】(1)(2005高考全国卷二)正方体ABCD—A1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B1 C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是() 15 记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围: ;直线与平面所 成角的范围: ;二面角的平面角的取值范围: 。同时在 用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹 角的联系与区别。 【练 61】 (济南统考题)已知平行六面体 ABC D -- A1 B1 C 1 D1 中，底面 ABC D 是边 长为 1 的的正方形，侧棱 A A1 的长为 2，且侧棱 A A1 和 AB 与 A D 的夹角都等于 120 ， (1) 求对角线 A C 1 的长 (2) 求直线 B D1 与 A C 的夹角值。 答案: (1) 2 (2) 3 3 a rc c o s 示 采 用 向 量 方 法 ， 以 A A1 、 AB 、 A D 为 一 组 基 底 ， ( 提 求 得 3 3 故两异面直线所成的角的余弦值为 3 3 ) 【易错点 62】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者 容易混淆。 例 62、如图，在北纬 45 0 的纬线圈上有 B 两点，它们分别在东 经 70 0 与东经 160 0 的经度上，设地球的半径为 R，求 B 两点的球面距离。 【易错点分析】求 A、B 两点的距离，主要是求 B 两点的球心角的大小，正确描 述纬线角和经度角是关键。 解析:设北纬 45 0 圈的圆心为 ，地球中心为 O，则 20 0 0 2 2 连结 AO , AB ，则 1 3 1 6 。故 A、B 两点间的球面 距离为 。 3 1 【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是:经过这点的经线与地轴确定的平 面与本初子午线( 0 0 经线)和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的 纬度是:经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图: 图(1) :经度——P 点的经度，也是 AB 或 的度数。 图(2) :纬度——P 点的纬度，也是 PA或 的度数。 【练 62】 (2005 高考山东卷) 设地球的半径为 R ， 若甲地位于北纬 东经 ， 乙地位于南纬 东经 ，则甲、乙两地的球面距离为( ) (A) (D) 3R (B) 6 R (C) R R 东经120o A 北纬45o 与北纬 线交于 A 点 东经 与南 答案:D 如图所示东经 纬 线交于 C 点,设球心 为 B 点从而 即 以 B 点为圆心过 A、C、D 的 大圆上 A C D 即为所求. A C D B C 南纬75o D R. 【易错点 63】向量知识在立体几何方面的应用 例 63、如图, 在直四棱柱 ABCD,A1B1C1D1 中，AB ,AD,2，DC,2 3 ，AA1 , 3 ，AD?DC，AC? BD, 垂足未 E， (I)求证:BD?A1C; (II)求二面角 A 1,BD,C 1 的大小; (III)求异面直线 AD 与 BC 1 所成角的大小( 【易错点分析】本题主要考查学生运用向量法中的坐 标运算的方法来解决立体几何问题.学生在解题中一 方面不能根据条件建立恰当的空间坐标系，另一方面建系后学生不能正确找到 D1 点的坐标.或者没有运用向量知识解决问题的意识。 解析:解法一: (I)在直四棱柱 中, A1 C1 底面 ABC D , B1 是 A1C 在平面 ABC D 上的射影. D E A F 21 B C (II)连结 A1 E , C1 E , A1C1 . 与(I)同理可证 A1 EC 1 为二面角 的平面角. o 又 且 在 中 小为 90 o . (III)过 B 作 BF? AD 交 A C 于 F ,连结 F C 1 , 的角. 即 二 面 角 的 大 则 就是 A D 与 B C 1 所成 在 中, 15 5 . 15 5 15 5 , 即异面直线 A D 与 B C 1 所成角的大小为 a r c c o s 解法二: (I)同解法一. (II)如图,以 D 为坐标原点, D A , D C , D D1 所 A 在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间 直角坐标系, 连结 A1 E , C1 E , A1C 1 . 与(I)同理可证为二面角 的平面角. 1 1 Z D1 C1 D E C Y 由 A1 ( 2 , 0 , 3 ), C 1 (0 , 2 3 , 1 2 3 ), E ( 3 2 , 3 2 3 2 , 0 ), X A 得 EA 1 3 2 , , 3 2 3 , 3 ). B 3 4 9 4 即 二面角 的大 小为 90 o . (II)如图,由 D (0 , 0 , 0 ), A ( 2 , 0 , 0 ), C1 (0 , 2 3, 3 ) , B ( 3, 3, 3 , 0 ), 得 3 ). 15 , A D . B C1 6 15 15 5 . | A D || B C 1 | 异面直线 A D 与 B C 1 所成角的大小为 a r c c o s 15 5 . 22 解法三: (I)同解法一. (II)如图,建立空间直角坐标,坐标原点为 E. 连结 A1 E , C 1 E , A1C 1 与(I)同理可证为二面角 的平面角. 由 1 Z D1 A1 C1 B1 D E Y C 3 ), C 1 (0, 3, 3 ). A 得 X B 即 90 . o 二 面 角 的 大小 为 (III)如图,由 0), B ( 3 , 0, 0), C 1 (0, 3, 3 ). 得 3 , 3, 3 ). 15 5 A D . B C1 6 2 15 15 5 . | A D || B C 1 | 异面直线 A D 与 B C 1 所成角的大小为 a r c c o s . 【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、 合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二 是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用 于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算 来证明向量的垂直和平行问题;利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条 直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过 程进行思考:?要解决的问题可用什么向量知识来解决,需要用到哪些向量, ?所需要的向量是否已知,若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表 示,?所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最 易用哪个未知向量表示,这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系,? 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论, 【练 63】 (2005 高考淅江东)如图,在三棱锥 中 点 O 、 D 分别是 AC 、 PC 的中点, 1 D 时,求直线 PA 与 底面 ABC .(I) 求证 底面 PAB ; (II) 当 平面 PBC 所成角的大小;(III) 当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 的重心? A o B C ,、,分别为 A C 、 PC 的中点又 【答案】方法一: (，) 平面 平面 又平面 取 BC 中点,，连结 PE ,则 平面 PO E . 23 是 O D 与平面 PBC 所成的角. 作 于 F,连结 D F ,则 平面 PBC , 又 与平面 PBC 所成角的大小等于 在 O D F 中， z 210 30 与平面 PBC 所成的角为 a rc sin . P 平面 PBC ，是 O 在平面 PBC 内的射影 (III)由 II 知， 是 PC 的中点，若点 F 是 的重心，则 B 、 F 、 D 三点共线， 直线 OB 在平面 PBC 内的 射影为直线 ，即 反之，当 时，三棱锥 为正三棱锥， 在平面 PBC 内的射影为 的重心. o A 方法二平面 以 O 为原点，射线 OP 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系 如图)， 设 则 A ( 2 2 a , 0, 0 ) , B (0, D C B y 2 2 a , 0, 0) .设 则 P (0, 0, h ) ，又 2 2 为 的中点， , - 平面 P A B . 2 a , 0, 1 2 h) 2 2 , (II) 1 2 , 即 7 2 a 7 2 a ), 可求得平面 PBC 的法向量 n 1 7 ), 210 30 . 设 PA 与平面 PBC 所成的角为 则 所成的角为 a rc sin 210 30 与平面 PBC 的重心 2 6 a, 2 6 a, 1 3 2 6 a, 2 6 a, 1 3 h ). P B 又 平 面 2 2 2 2 2 即 反之，当 时，三棱椎 为正 三棱锥，在平面 PBC 内的射影为 的重心. 【易错点 64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽 视公式系数，导致出错。 例 64、 (2003 年天津理 12)棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中 心，以这些 24 线段为棱的八面体的体积为( 3 3 )A、 a 3 B、 a 3 C、 3 a a 4 D、 6 12 【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。 解析:如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而 八 面 体 a ，故选 2 2 2 2 C。 【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的 前提条件是这个面上的高易求。 【练 64】 (2004 全国 20)如图四棱锥 P—ABCD 中，底 面 ABCD 为 矩形，AB=8， 4 3 ，侧面 PAD 为 等 AD= 边三角形，并且与底面成二面角为 60 0 。求四棱锥 P —ABCD 的体积。 解析:如图，去 AD 的中点 E，连结 PE，则 。作 平面 ABCD，垂足 为 O，连结 OE。 根据三垂线定理的逆定理得 ，所以 为侧面 PAD 与底面所成二面 角的平面角。 由已知条件可 ， 所以 ， 四棱锥 P —ABCD 的体积 。 【易错点 65】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。 例 65、 (2005 年春季上海 19)如图，已知正三棱 P—ABC 的体积为 72 3 ，侧面与底面所成的二面角 小为 60 0 。 (1) 证明 ; (2) 求底面中心 O 到侧面的距离。 解析: (1)证明:取 BC 边的中点 D，连结 AD、PD，则 锥 的大 ，故 平 面 。 (2)解:如图，由(1)可知平面 平面 APD，则 是侧面与底面所成 二面角的平面角。 过点 O 做 ，E 为垂足，则 OE 就是 h，由题 意可知点 O 在 AD 上， 点 O 到侧面的距离，设 OE 为 0 2h 3 3 4 2 2 25 1 3 2 8 3 3 即底面中心 2 O 到侧面的距离为 3。 【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足， 转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出 该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。 【练 65】 如 底面是等腰直角三角形，?ACB=90?， 侧图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中， 棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点， 点 E 在平面 ABD 上的射影是?ABD 的垂心 G. (?)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 (结果用反 (?)求点 A1 到平面 AED 的距离. 解析:连结 BG，三角函数值表示) ; 则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即?EBG 是 A1B 与平面 ABD 所 成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， 分 别 是 C C 1 , A1 B 的 中 点 , 又 平 面 E F 为 矩 形 连 结 D E , G 是 的 重 心 在 直 角 三 角 形 E F D 中 EF 2 1 3 2 于 是 2 6 3 . 3. 与 平 面 A B D 所 成 的 角 是 arcsin (?)连结 A1D，有 1 1 又 平面 A1 AB , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h， 则 1 . 故 A1 到平面 AED 的距离为 2 6 3 . 【易错点 62】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。 例 62、 如图所示，在正三棱柱 ABC,A1B1C1 中，已知 AA1, A1C1,a，E 为 BB1 的中点，若截面 A1EC?侧面 AC1(求截面 A1EC 与底面 A1B1C1 所成 锐二面角度数( 26 解法 1 ?截面 A1EC?侧面 AC1,A1C(连结 AC1，在正 三棱 ABC,A1B1C1 中， ?截面 A1EC?侧面 AC1， 数就是所求二面角的度数(易得?A1AC1,45?，故所求二面角的 度数是 45?( 解法 2 如图 3 所示，延长 CE 与 C1B1 交于点 F，连结 AF，则截 面 A1EC?面 A1B1C,AF( ?EB1?面 A1B1C1，?过 B1 作 B1G?A1F 交 A1F 于点 G， 连接 EG，由三垂线定理知?EGB1 就是所求二面角的平面角( 即所求二面角的度数为 45?( 【知识点归类点拨】二面角平面角的作法:(1)垂面法:是指根据平面角的定 义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。 (2) 垂线法:是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作 两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角;(3)三垂线 法:是指利用三垂线定理或逆定理作出平面 65】如图，已知直三棱柱 ABC,A1B1C1，侧棱长为 2，底面?ABC 角; 【练 中， ?B=90?，AB=1，BC= 3 ，D 是侧棱 CC1 上一点，且 BD 与底面所成角为 30?. (1)求点 D 到 AB 所在直线的距离. (2)求二面角 A1,BD,B1 CC1?面 ABC， ?B=90?，?DB?AB， ?DB 的长是点 D 的度数. 解析:?? 到 AB 所在直线的距离， ?DBC 是 BD 与底面所成的角，即?DBC=30?， 27 ?BC= 3 ， ?BD= 3 cos 30 =2 . ?过 B1 作 B1E?BD 于 E，连 A1E，?BB1?AB，AB?BC，且 BB1?BC=B，?AB?平 面 BCC1B1，?A1B1?AB，?A1B1?平面 BCC1B1， ?B1E?BD，?A1E?BD，即? A1EB1 是面 A1BD 与面 BDC1B1 所成二面 角的平面角. ?CD=1 .?CC1=2， 为 CC1 的中点 ?D 即 1 2 BD=2， ? 连 B1D . ?BC= 3 ， 1 2 ?S?BDB1= 1 2 SBCC1B1 B1E? BD= 1 2 BC? 1 CC B1E?2= 1 2 3 ?2?B1E= 3 在 Rt?A1B1E 中， tan?A1EB1= A1 B 1 B1 E 6 【易错点 66】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位 置关系，也可以联立直线方程与双曲线方程通过判别式，两种方法往往会忽 66、过点(0，3)作直线 l，如果它与双曲线 视 一些特殊情形。 例 x 2 y 2 只有一个公共点，则 4 3 直线 l 的条数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 【易错点分析】在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲 线方程的解的情况，但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方 程是一次的。 解析:用数形结合的方法:过点(0，3)与双曲线只有一个公共点的直线分两 类。一类是平行于渐进线的，有两条;一类是与双曲线相切的有两条。如图所 示: y ( 0 x , 3 O 故选(D) ) 【知识点归类点拨】直线与双曲线的位置关系分为:相交、相离、相切三种。 其判定方法有两种: 一是将直线方程与 (II)连结A1E,C1E,A1C1. 与(I)同理可证为二面角的平面角. o 又 且 在中小为90o. (III)过B作BF?AD交AC于F,连结FC1, 的角. 即二面角的大 则就是AD与BC1所成 在中, 5 5 5 即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos 解法二:(I)同解法一. (II)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所 在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间 连结A1E,C1E,A1C1.与(I)同理可证为二面角 的平面角. 由A1(2,C1(0,E(0), 22 3 得EA 1 12 2 32 2 34 94 即二面角 的大 小为90o. ,由 (II)如图 0), 得 5 5 AD.BC1 异面直线AD 与BC1所成角的大小为arccos 22