空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

空间向量与立体几何知识总结(高考必备!) 辅导科目:数学 授课教师: 全国章 年级: 高二 上课时间: 教材版本:人教版 总课时: 已上课时: 课时 学生签名: 课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 名 称 教 学 目 标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 ,,,, 空间直角坐标系中的坐标:如图给定空间直角坐标系和向量～设,单位正交基底,aijk,,为坐标向量～则存在z,,,,,唯一的有序实数组～使～有序实数组叫作向量在a(,,)aaa(,,)aaaaaiajak,，，123123123, 空间直角坐标系中的坐标～记作(在空间直角坐标系中～Oxyz,aaaa,(,,)Oxyz,A(x,y,z)123,,,,,, A对空间任一点～存在唯一的有序实数组～使～有序实数组(,,)xyzOAxiyjzk,，，kA叫作向量在空间直角坐标系中的坐标～记作～叫横坐标～x(,,)xyzOxyz,Axyz(,,)yOj叫纵坐标～叫竖坐标( yzi x二、空间向量的直角坐标运算律 ,, ,1,若～～ aaaa,(,,)bbbb,(,,)123123,, 则～ abababab，,，，，(,,)112233,,, ～～ abababab,,,,,(,,),,,,,aaaaR,,(,,)()112233123,, ～ ababababR//,,(),,,,,,,,,112233,,,, ,2,若～～则( Axyz(,,)Bxyz(,,)ABxxyyzz,,,,(,,)111222212121 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ,,ba,11,,,,,,,,baR()abba//,,,,3, ,,,22 ,ba,,33, 三、空间向量直角坐标的数量积 a,ba,ba,ba,b1、设是空间两个非零向量～我们把数量叫作向量的数量积～记作～即,|a||b|cos,a,b, 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 |a||b|cos,a,b, 2、模长公式 ,,,222||aaaxxx,,,，， 123 Axyz(,,)Bxyz(,,)3、两点间的距离公式:若～～ 111222,,,,,,,,2222则～ ||()()()ABABxxyyzz,,,，,，,212121 222dxxyyzz,,，,，,()()()或( AB,212121 1 ,,,,,,,,,,ab,,,( 注:?是两个非零向量,, 4、夹角:cosab,,ababab,,,,0(, ||||ab,,,,,22?。 ||aaaa,,, 5、 空间向量数量积的性质: ,,,,,,,,,,,,2?(?(?( abab,,,,0aeaae,,,,||cos,||aaa,, 6、运算律 ?, ?, ? a,b,b,a(,a),b,,(b,a)a,(b，c),a,b，a,c 四、直线的方向向量及平面的法向量 ll1、直线的方向向量:我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量 ee 2、平面的法向量:如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α～则称这个向量垂直于平面α～记作～如果nn,, ～那么向量叫做平面α的法向量。 n,,n l,,l注:?若～则称直线为平面的法线, , ?平面的法向量就是法线的方向向量。 ?给定平面的法向量及平面上一点的坐标～可以确定一个平面。 3、在空间求平面的法向量的方法: ,1,直接法:找一条与平面垂直的直线～求该直线的方向向量。 ,2,待定系数法:建立空间直接坐标系 , ?设平面的法向量为 nxyz,(,,),, ?在平面内找两个不共线的向量和 axyz,(,,)bxyz,(,,)111222A B ,,,na,,0,?建立方程组: ,,,nb,,0,,E ?解方程组～取其中的一组解即可。 C D 五、证明 1、证明两直线平行 ,,,,,,,, ABCD,,b,a//b,已知两直线和, ,则存在唯一的实数使 aA,B,a,C,D,b 2、证明直线和平面平行 ,,,,,,,,,,,,ABCDCE,，,,,1,已知直线且三点不共线～则?存在有序实数对使 aa,,,A,B,a,C,D,E,,,,,,, ,2,已知直线和平面,的法向量n,则a? ,,AB,na,,,A,B,a, 3、证明两个平面平行 已知两个不重合平面,法向量分别为,则,? ,,,m,n,,m//n4、证明两直线垂直 a,b,AB,CD,0已知直线。～则 a,bA,B,a,C,D,b 5、证明直线和平面垂直 ,,,,,, aABm,,,//,a,m已知直线～且A、B,面的法向量为,则 a和平面, 6、证明两个平面垂直 ,,,,,, mn,,,,,,mn,,,已知两个平面,两个平面的法向量分别为,则 六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角 2 ,,,,,,,, ABCD,cos,,,,,,,,,,a,bABaCDb,,,,,, 已知两异面直线～～则异面直线所成的角为: ABCD 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA?平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评:选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF?PB于点F。 (1)证明:PA//平面EDB; (2)证明:PB?平面EFD; (3)求二面角C—PB—D的大小。 点评:(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量( 3 (2)证明线面平行的方法: ?证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ?证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线; ?利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量( (3)证明面面平行的方法: ?转化为线线平行、线面平行处理; ?证明这两个平面的法向量是共线向量( (4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直( (5)证明线面垂直的方法: ?证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量; ?证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直( (6)证明面面垂直的方法: ?转化为线线垂直、线面垂直处理; ?证明两个平面的法向量互相垂直( 【用空间向量求空间角】 例3.正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求: (1)异面直线AE与CF所成角的余弦值; (2)二面角C—AE—F的余弦值的大小。 点评:(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。 (2)直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或 (3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是AC的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD111的中点，求: (1)异面直线AM与PQ所成角的余弦值; (2)M到直线PQ的距离; (3)M到平面ABP的距离。 1 4 本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。 (1)平面的法向量的求法:设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。 (2)线面角的求法:设是平面的一个法向量，是平面的斜线l的一个方向向量，则直线与平面所成nAB AB,n,,则sin,角为 AB,n (3)二面角的求法:?AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为 。 ?设分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。 (4)异面直线间距离的求法:是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则。 5 (5)点面距离的求法:设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。 (6)线面距、面面距均可转化为点面距离再用(5)中方法求解。 练习: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12,ABC23M1.若等边的边长为，平面内一点满足，则_________ CMCBCA,，MAMB,,63 2(在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。 3.(本小题满分12分) ,,如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为 1EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD 2 (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小; ,(II) 证明平面AMD平面CDE; (III)求二面角A-CD-E的余弦值。 6 PAC,ABC,ABC4((本题满分15分)如图，平面平面， AC是以为斜边的等腰直角三角形，分别为， PAEFO,, ACAC,16PAPC,,10，的中点，，( PB GOCFG//BOE (I)设是的中点，证明:平面; ,ABOBOEOAOB (II)证明:在内存在一点，使平面，并求点到，的距离( MFM,M PABCD,PDABCD,底面5.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上. AECPDB,平面(?)求证:平面; PDAB,2(?)当且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小. 7 课 后 评 价 一、学生对于本次课的评价 ? 特别满意 ? 满意 ? 一般 ? 差 二、教师评定 本节课教学 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 完成情况:照常完成? 提前完成? 延后完成? 学生的接受程度:完全能接受? 部分能接受? 不能接受? 学生的课堂表现:很积极? 比较积极? 一般? 不积极? 学生上次的作业完成情况:数量 % 完成质量 分 存在问题 配合需求:家 长: 学习管理师: 8 知识漏点及后期计划: 学习管理师: 学科组长审核: 教学主任审核: • • • • • • • • • • • • • • • • • • 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 • 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。 顶 7 收藏 7 • 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。 顶 11 收藏 9 • 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚 9 睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 • 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 • 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3 • 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。 顶 4 收藏 5 • 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5 • 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3 • 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1 • 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0 • 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。 顶 2 收藏 1 • 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠 • 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰 10 碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦，决定从那里启程。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 人生如一本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。 11