威布尔模型的参数估计方法——极大似然法

威布尔模型的参数估计方法——极大似然法 威布尔模型的参数估计方法——极大似然 法 第2o卷第1期 2002年3月 湖北民族学院(自然科学版) JoumalofHubeiInstituteforNationalities(NaturalScienceEdition) V0】.2oVo.1 Mar.2o()2 威布尔模型的参数估计方法——极大似然法 牟来彦 (湖北民族学院计算机科学与技术系,湖北恩施445000) 摘要:利用概率论中极大似然法的理论来探讨威布尔模型的参数估计问题,并利用MATLAB的相关命令,函数 对它们进行了部分编程,主要讨论了三参数威布尔模型的极大似然函数,参数估计和MATLAB程序. 关键词-威布尔模型;失效数据;MATLAB 中图分类号:OTP3文献标识码-A文章编号:1008—8423(2002)01—0055—02 1威布尔参数模型 生存分析是目前统计学的热门之一,自70年代中期以来,得到迅速的发展,在理论及应用方面都受到了 人们的重视.它不仅能妥善地处理现实生活中常见的截尾数据问题,而且在解决实际问题的同时,揭示了一 些更为复杂的理论问题.参数模型在生存分析方法中占有重要地位,而威布尔参数模型就是其中的一种. 定义1称F(t):1一exp[一(,/)],(,>0)为二参数威布尔分布函数,其密度函数和失效率函数 分别为:(t)=(/j7)(t/r1)exp[一(t/r1)],r(t)=(/j7)(t/r1),由于取不同的值,威布尔密度函数 呈 不同的形状,因此称为形状参数,称为尺度参数. 定义2称F(t)=1一exp[一((t一),)/)],(,>0,),?0)为三参数威布尔分布函数,其密度函数 和失效率函数分别为: t)=(P/j7)[(t一),)/j7exp[一((t一),)/j7)],r(t)=p/j7)[(t一),)/j7, 称),位置参数,当),=0时,该模型退化为二参数威布尔模型. 2威布尔模型的参数估计 2.1参数估计方程 设数据列为(t,t,…,t),既含有失效的数据,也含有截尾的数据,设此数据列能用三参数威布尔模型 建模,令为待估的模型参数列(,,),),根据前面介绍的理论,则其对数似然函数为: ln[L(0I,)]=?[1n(/3)+(一1)ln(t一),)一flln(j7)一((,一),)/j7)]+?[一((,一),)j7)],(1) 其中F,c分别表失效数据集和截尾数据集,对(1)式分别求alnIL(It)]/ap,alnIL(It)]/a 玑 aln[L(ft)]/a),,并令它们等于0,得非线性方程组: f?(1/+ln(t一),)一ln(v)一((,一),)/j7)ln((t一),)/j7)]+?[一((,一),)/j7)((,一),)/j7)0l'?f.'?c {?[一j7+(j7)((,一),)/j7)]+?[(一j7)((,一),)j7)]=0l'?f?c 【?[一(一1)/(z一),)+(j7)((一),)/j7)]+?[(j7)((,一),)/0l?}IC 2.2求解参数估计方程 (2) 在MATLAB中,fsolve函数用于求解非线性方程组,fsolve函数的算法是非线性最小二乘法,该算法的优 收稿日期:2001—10—28. 作者简介:牟来彦(1965一),男(土家族),讲师,主要从事计算机系统结构研究 56湖北民族学院(自然科学版)第20卷 点在于如果系统没有根或者由于不够精确而得不到系统的根,它们可返回一个解,如果系统的Jacobian矩阵 奇异,则也可能收敛到一个点,但该点不是方程组的解. 除此之外,fsolve函数还可通过控制参数options的设置来选择其他的算法,当options(5)=0,则使用 Gauss—Newton算法,当option(5)=1,则采用Levenberg—Marquardt算法,当options(7)=0,则使用一种二 次和三次多项式插值的混合算法,当options(7)=0,则采用三次多项式插值算法.相应的MATLAB程序流程 为:第一步:编写M文件. functionF=fun(O) T=[t1,,2…,t];%失 S=[s,s,…,s];%;iE黼 F=[sum(U~+ln(,一7)一ln()一((一7)/'7^*ln((一7)/~/)+… sum(一(s一7)/~/)^*ln((s一),)/)); sum(C一)/+(/)*((t一7)/r/)^)+sum((/)*((s一7)/~/)^); sum((1一))/(t一7)+(/)*((t一y/r/)^(一1)+… sum((/)*(t一7)/~/)^(一1)) 第二步:求解 00=一0.5*ones(3,1);%赋初值 options=foptions; options(1)=1;%显示输出中间结果 0=fsolve(fun,0o,options) 注意:?当C=时,~Jx,t应的方程组适用于完整的数据列,相应的MATLAB程序也将随之变动,即删 除对.s的求和部分;?当7=0时,三参数威布尔模型退化为两参数威布尔模型,此时可直接调用weibfit函 数对参数,r/进行估计,函数weibfit的用法有3种格式: ()phat=weibfit(T);(ii)[phat,pci]=weibfit(T);(iii)[phat,pci]=weibfit(T,alpha), 其中T为给定的数据样本,phat为参数,r/估计的置信区间,alpht为置信度. 3结束语 威布尔模型的参数估计方法有很多种,极大似然法是其中的一种,科学计算软件也 层出不穷,随着数学 和计算机科学与技术的发展,象威布尔模型一样的数学模型就难求解了. 参考文献: [1]茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,1998. [2]黎子良,郑祖康.自下而上分析[M].浙江:浙江科学技术出版社,1993. [3]蒋仁言.威布尔模型族——特性,参数估计和应用[M].北京:科学出版社,1998. [4]薛定字.科学运算语言MATLAB5.3程序设计与应用[M].北京:清华大学出版 社,2O0O. [5]WalterGander.用Maple和MATEAB解决科学计算问题(第三版)[M].刘来福,何 青译.北京:高等教育出版社,施普林格出版社,1999 FailureModelsInvolvingWeibullModellingandMaximumLikelihoodEstimate MOULai——yan (HubeilnsitituteforNationalities,Enshi445000,China) Abstract:ThepaperdiscussestheparameterestimateofWeibullmodellingbyusingtheoryof maximunlikelihood estimateinadvancedmathematicalstatisticsandMATLABprogramdesignlanguage.Impor tanceisattachedto maximumlikelihoodfunction,survivalparameterestimateandapartofMATLABprograms . Keywords:Weibullmodelling;failuredata;MATLAB(责任编辑:时凌)