全国高中数学联赛省级预赛模拟试题_3下载_Word模板_17

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式 1．三角函数的积化和差公式 sinα?cosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)], cosα?sinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)], cosα?cosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)], sinα?sinβ= [cos(α+β)-cos(α-β)]. 2．球的体积公式 V球= πR3（R为球的半径）。一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设在xOy平面上，0 表示的图形面积为 A． B． C．1 D． 2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD= ，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。则四面体ABCD的体积等于 A． B． C． D． 3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为 A．90 B．100 C．110 D．120 4．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则 A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形 5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为 A．8 B．9 C．10 D．11 6．设00，且a2008+b2008=a2006+b2006。则a2+b2的最大值是 A．1 B．2 C．2006 D．2008 8．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP= AB+ AC。则ΔABP的面积与ΔABC的面积之比等于 A． B． C． D． 9．已知a,b,c,d是偶数，且00，向量m=(0,a),n=(1,0)，经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直互与经过定点B(0,a)以n+2+λm为方向向量的直线相交于点P，其中，λ∈R。则点P的轨迹方程为_________. 三、解答题（共74分） 17.（12分）甲乙两位同学各有5张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片；否则，乙赢得甲一张卡片，规定投掷硬币的次数达9次或在此之前某人已赢得所有卡片时，游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ取各值时的概率。 18.（12分）设∠A，∠B，∠C是ΔABC的三个内角。若向量，且m?n= . (1)求证：tanA?tanB= ； (2)求的最大值。 19. （12分）如图2，ΔABC的内切圆⊙I分别切BC，CA于点D，E，直线BI交DE于点G。求证：AG BG. 20．（12分）设f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间[2，3]上，f(x)=-2(x-3)2+4。矩形ABCD的两个顶点A，B在x轴上，C，D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图象上。求矩形ABCI面积的最大值。 21.（12分）如图3所示，已知椭圆长轴端点A，B，弦EF与AB交于点D，O为椭圆中心，且|OD|=1，2DE+DF=0，。（1）求椭圆长轴长的取值范围；（2）若D为椭圆的焦点，求椭圆的方程。 22．（14分）已知数列{xn}中，x1=a, an+1= . （1）设a=tanθ ，若，求θ的取值范围；（2）定义在（-1，1）内的函数f(x)，对任意x,y∈(-1,1)，有f(x)-f(y)= ，若，试求数列{f(xn)}的通项公式。答案：第Ⅰ卷 1．B． M∩Nd xOy平面上的图形关于x轴对称，由此，M∩N的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以2即可。由题意知M∩N的图形在第一象限的面积为 2．C．过点D作DF CB，过点A作AE BC，联结CE，ED，AF，BF，将棱锥补成棱柱。故所求棱锥面积为 CE?CDsin∠ECD?h= 3．C．符合要求的取球情况共有四种：红红白黄黄，红红黄黄黄，红白白白黄，红白白黄黄。故不同的取法数为 4．A．左边=sinA?cosA+sinA?cosB+sinB?cosA+sinB?cosB = (sin2A+sin2B)+sin(A+B) =sin(A+B)?cos(A-B)+sin(A+B), 右边=2sin(A+B). 所以，已知等式可变形为sin(A+B)[cos(A-B)-1]=0. 又因为sin(A+B)>0，所以cos(A-B)=1. 故∠A=∠B。另一方面，∠A=∠B=300，∠C=1200也符合已知条件。所以，ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形。 5．A．设g(x)的各项系数和为s，则 f(g(1))=3s2-s+4=188. 解得s=8或（舍去）。 6．B． ? ? 当时，取得最小值(a+b)2. 7．B．因为a2008+b2008≥a2006b2+b2006a2, 又(a2006+b2006)(a2+b2)=a2008+b2008+a2006b2+b2006a2≤2(a2008+b2008), 且a2008+b2008=a2006+b2006, 所以a2+b2≤2. 8．C．如图4所示，延长AP到E，使得AP= AE。联结BE，作ED//BA交AC延长线于点D。由，得AC=CD。故四边形ABED是平行四边形。所以又，则 9．D．设a,b,c,d分别为b-m,b,b+m, 又，则 ① 因a,b,c,d为偶数，且01，故1

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