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§1.2 集合之间的关系与运算
1．2.1 集合之间的关系
课时目标
1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系．
1．子集
(1)子集：如果集合A中的__________元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作______或______读作“__________”或“________”．
(2)空集是任意一个集合的________．?____A.
(3)真子集：如果集合A是集合B的______，并且B中至少有一个元素________A，那么 集合A叫做集合B的真子集，记作______或______，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
(4)如果A?B，B?C，则A____C；如果A
B，B
C，则A____C.
2．集合的相等
如果A?B，又B?A，则A____B；反之如果A＝B，则______，且______．
3．集合关系与其特征性质之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．如果______，则x∈A?x∈B.于是x具有性质p(x)?x具有性质q(x)，即p(x)?q(x)．反之如果p(x)?q(x)，则A一定是B的子集．如果“p(x)?q(x)”且“q(x)?p(x)”则有“p(x)____q(x)”．
一、选择题
1．集合P＝{x|y＝
}，集合Q＝{y|y＝
}，则P与Q的关系是( )
A．P＝Q B．P
Q
C．P
Q D．P∩Q＝?
2．满足条件{1,2}
M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是( )
A．3 B．6 C．7 D．8
3．对于集合A、B，“A?B不成立”的含义是( )
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B中的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
4．下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?
A，则A≠?.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列正确
表
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示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈N＋}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈N＋}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈N＋}之间的关系是( )
A．S
P
M B．S＝P
M
C．S
P＝M D．P＝M
S
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知M＝{x|x≥2
，x∈R}，给定下列关系：
①π∈M；②{π}
M；③π
M；④{π}∈M.其中正确的有________．
8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}；
②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1
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1．B [∵P＝{x|y＝
}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}
∴P
Q.]
2．C [M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]
3．C
4．B [只有④正确．]
5．B [由N＝{－1,0}，知N
M，故选B.]
6．C [运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．]
7．①②
解析 ①、②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“
”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．
8．②
解析 ①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
9．④
解析 只有④中M和N的元素相等．
10．解 A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，
(1)当Δ＝1－4a<0，即a>
时，B＝?，B?A成立；
(2)当Δ＝1－4a＝0，即a＝
时，B＝{－
}，B?A不成立；
(3)当Δ＝1－4a>0，即a<
时，若B?A成立，
则B＝{－3,2}
∴a＝－3×2＝－6.
综上：a的取值范围为a>
或a＝－6.
11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线
y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．(1)5 (2){a1，a2，a5，a7，a8}
解析 ∵k＝
，
(1)∵{a1，a3}，∴k＝21－1＋23－1＝1＋4＝5，
(2)k＝211＝1＋2＋16＋64＋128
＝21－1＋22－1＋25－1＋27－1＋28－1，
∴{a1，a2，a5，a7，a8}．
13．解 (1)当a＝0时，A＝?，满足A?B.
(2)当a>0时，A＝{x|
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