概率与期望

概率与期望 随机事件的概率与概率的基本性质 典例精析 题型一 频率与概率 【例1】某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品 进行了抽样检测，检查结果如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 所示. 抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 m优等品频率 n (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少,(结果保留到小数点后三位) 【变式训练1】某篮球运动员在最近几场比赛中罚球的结果如下. 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 进球次数m 6 8 9 7 7 12 m进球频率 n (1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少, 题型二 随机事件间的关系 【例2】从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”. 【变式训练2】抽查10件产品，设事件A:至少有两件次品，则A的对立事件为( ) A.至多两件次品 B.至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品 题型三 概率概念的应用 【例3】 甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀，统计后， 得到如下列联表. 优秀 非优秀 总计 甲 10 乙 30 总计 105 2已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为. 7 (1)请完成上面列联表; 2(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”(参考数据P(K,6.635) ,0.05); (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10人按2到11进行编号，然后两次掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号.试求抽到6号或10号的概率. 2n【变式训练3】袋内有35个球，每个球上都记有从1~35中的一个号码，设号码为n的球的重量为3,5n，20克，这些球以等可能性从袋里取出(不受重量、号码的影响). (1)如果取出1球，试求其重量比号码数大5的概率; (2)如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率. 古典概型 典例精析 题型一 古典概率模型的计算问题 【例1】一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位:辆)， 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类10辆. (1)求z的值; (2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2, 9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 【变式训练1】已知?ABC的三边是10以内(不包含10)的三个连续的正整数，求任取一个?ABC是锐角三角形的概率. 题型二 有放回抽样与不放回抽样 【例2】 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品. (1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率. 【变式训练2】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求: (1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4的概率; (2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率. 题型三 古典概型问题的综合应用 【例3】 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球;乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球. 3(1)若n,3，求取到的4个球全是红球的概率; (2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求4n. 【变式训练3】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙二人一次各抽取一题. (1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少,(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少, 几何概型 典例精析 题型一 长度问题 【例1】如图，?AOB,60?，OA,2，OB,5，在线段OB上任取一点C， 试求: (1)?AOC为钝角三角形的概率;(2)?AOC为锐角三角形的概率. 【变式训练1】点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 . 题型二 面积问题 【例2】 两个CB对讲机(CB即CitizenBand民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3:00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3:00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大, 【变式训练2】如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣.现在向该正方形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率. 题型三 体积问题 【例3】 在线段[0,1]上任意投三个点，设O至三点的三线段长为x、y、z，研究方法表明:x，y，z能构成三角形只要点(x，y，z)落在棱长为1的正方体T的内部由?ADC，?ADB，?BDC，?AOC，?AOB，?BOC所围成的区域G中(如图)，则x，y，z能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大, 【变式训练3】已知正方体ABCD—ABCD内有一个内切球O，则在正方体ABCD—ABCD内任11111111取点M，点M在球O内的概率是( ) ππππA. B. C. D. 48612 12.7 条件概率与事件的独立性 典例精析 题型一 条件概率的求法 【例1】一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求: (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 【变式训练1】设某种动物从出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 . 题型二 相互独立事件的概率 111【例2】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译543出密码互不影响. (1)求恰有二人破译出密码的概率; (2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大, 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由. 【变式训练2】甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球，求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率. 题型三 综合问题 【例3】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 . 方案一:三门课程中至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者在方案一和方案二下考试通过的概率; (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 2【变式训练3】甲，乙，丙三人分别独立地进行某项体能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲，乙，5 33丙三人都能通过测试的概率是，甲，乙，丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过的概率比丙大. 2040 (1)求乙，丙两人各自通过测试的概率分别是多少, (2)测试结束后，最容易出现几人通过的情况, 离散型随机变量及其分布列典例精析 题型一 离散型随机变量的分布列 【例1】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求:(1)2X，1的分布列;(2)|X,1|的分布列. 【变式训练1】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过渡区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都11是，同样也假定D受A、B、C感染的概率都为，在这种假定之下，B、C、D中受A感染的人数X就是23 一个随机变量，写出X分布列，并求均值. 题型二 两点分布 1,针尖向上,,【例2】在掷一枚图钉的随机试验中，令ξ,如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量,0,针尖向下,, ξ的分布列. 0,失败,,【变式训练2】 若离散型随机变量ξ,的分布列为: ,1,成功, ξ 0 1 2P 9c,c 3,8c (1)求出c; (2)ξ是否服从两点分布,若是，成功概率是多少, 题型三 超几何分布 【例3】 有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数 X 的分布列. 【变式训练3】一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X,4)的值为( ) 1272721A. B. C. D. 2205522025 独立重复试验与二项分布典例精析 题型一 相互独立事件同时发生的概率 【例1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床 1加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为4 12，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为. 129 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 12【变式训练1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. 23(1)求乙至多击中目标2次的概率; (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 题型二 独立重复试验 2【例2】(2010天津)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响. 3 (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率. 1【变式训练2】袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是.从A中有放回3 地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止. (1)求恰好摸5次停止的概率; (2)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求P(ξ?2). 题型三 二项分布 【例3】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯 1的事件是相互独立的，并且概率为. 3 (1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列; (2)设Y为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 【变式训练3】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5 1位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.3 求随机变量ξ的分布列. 12.10 离散型随机变量的期望与方差 典例精析 题型一 期望与方差的性质的应用 【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n,1,2,3,4).现从袋 中任取一球，ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、期望和方差; 题型二 期望与方差在风险决策中的应用 【例2】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ 和η的分布列如下: ξ 0 1 2 613 P 101010 η 0 1 2 532 P 101010 试对这两名工人的技术水平进行比较. 【变式训练3】(2010北京市东城区)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率1为. 27 (1)求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率; (2)抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ). 正态分布典例精析 题型一 研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 1【例1】 某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体位于区间[,4，,2]22π 的概率. 2【变式训练1】设X~N(1,2)，试求: (1)P(,1,X?3); (2)P(X?5). 题型二 利用正态总体密度函数估计某区间的概率 2【例2】 已知某地区数学考试的成绩X~N(60,8)(单位:分)，此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人, 【变式训练2】某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.