二阶线性微分方程解的结构[宝典]

二阶线性微分方程解的结构[宝典]二阶线性微分方程解的结构[宝典] 第六节二阶线性微分方程解的结构内容分布图示 ? 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的性质 ? 定理1 ? 函数的线性相关与线性无关 ? 定理2 ? 定理3 ? 定理4 ? 定理5 ? 例1 ? 解线性微分方程的降阶法 ? 例2 ? 常数变易法 ? 例3 ? 线性微分方程的解法小结 ? 例4 ? 内容小结 ? 课堂练习 ? 习题12—6 ? 返回内容要点: 一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是 2dydy，P(x)，Q(x)y...

二阶线性微分方程解的结构[宝典] 第六节二阶线性微分方程解的结构内容分布图示 ? 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的性质 ? 定理1 ? 函数的线性相关与线性无关 ? 定理2 ? 定理3 ? 定理4 ? 定理5 ? 例1 ? 解线性微分方程的降阶法 ? 例2 ? 常数变易法 ? 例3 ? 线性微分方程的解法小结 ? 例4 ? 内容小结 ? 课堂练习 ? 习题12—6 ? 返回内容要点: 一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是 2dydy，P(x)，Q(x)y,f(x)， (6.1) 2dxdx 其中、及是自变量的已知函数，函数称为方程(6.1)的自由项. 当P(x)Q(x)f(x)f(x)x 时, 方程(6.1)成为 f(x),0 2dydy，P(x)，Q(x)y,0， (6.2) 2dxdx 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程. 定理1 如果函数与是方程(6.2)的两个解, 则 y(x)y(x)12 (6.3) y,Cy(x)，Cy(x)1122 也是方程(6.2)的解，其中C,C是任意常数. 12 y(x)y(x)定理2 如果与是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则 12 y,Cy(x)，Cy(x) 1122 C,C就是方程(6.2)的通解，其中是任意常数. 12 ,定理3 设是方程(6.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则yY , (6.4) y,Y，y 就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解. ,,定理4 设与分别是方程 yy12 ,,, y，P(x)y，Q(x)y,f(x)1 ,,,与 y，P(x)y，Q(x)y,f(x)2 ,,的特解，则是方程 y，y12 ,,, (6.5) y，P(x)y，Q(x)y,f(x)，f(x)12 的特解. 定理5 设是方程 y，iy12 ,,, (6.6) y，P(x)y，Q(x)y,f(x)，if(x)12 为实值函数，为纯虚数. 则与分别是方程的解，其中P(x),Q(x),f(x),f(x)yyi1212 ,,, y，P(x)y，Q(x)y,f(x)1 ,,,与 y，P(x)y，Q(x)y,f(x)2 的解. 二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法 . 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法;另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法. 对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换, 就可将其y,yzdx,1,降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式，，,P(x)dx1,,，yyCCedx. ,,112,2y,,，，1 三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解. 设有二阶非齐次线性方程 2dydy，P(x)，Q(x)y,f(x), (6.10) 2dxdx 其中在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程 P(x),Q(x),f(x) 2dydy ，P(x)，Q(x)y,02dxdx 的通解已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.y,Cy，Cy1122 设非齐次方程(6.10)具有形如 * (6.11) y,uy，uy1122 的特解, 其中是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待u,u(x),u,u(x)1122 定函数. 例题选讲: x2xx,xx2x,x例1 已知是某二阶非齐次线性微分方程的y,xe，e,y,xe,e,y,xe，e,e123 三个特解: (1)求此方程的通解; (2)写出此微分方程; ,(3)求此微分方程满足的特解. y(0),7,y(0),6 降阶法 2dy2dysinx，，y,0例2(讲义例1)已知是方程的一个解, 试求方程的通解.y,12xdxdxx 常数变易法 2dy1dy,,x例3(讲义例2)求方程的通解. 2xdxdx x1,,,例4(讲义例3)求方程的通解. y，y,y,x,11,x1,x 课堂练习 1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的? 22xxaxbx (1)e,xe;(2)e,e(a,b). 2.给出n阶线性微分方程的n个解, 问能否写出这个微分方程及其通解? 1xx,,,,,,y,2y，y,03.已知是齐次方程的解, 求非齐次方程的通y(x),ey,2y，y,e1x 解.

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