转动惯量的计算方法

转动惯量的计算方法 阿 坝 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报第 23 卷 第 3 期 年 9 月 2006 JOURNAL OF ABA TEACHERS COLLEGE Vo1.23 No.3 Sep. 2006 转动惯量的计算方法 蒋自国 ( 阿坝师范高等专科学校 数学系, 四川 汶川 623000) 【摘 要】应用微元法给出了在三维欧氏空间中质量曲线和质量立体对任意一条直线的转动惯量的计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 , 并给出了对坐 标轴的转动惯量的简化计算公式。 【关键词】转动惯量; 质量曲线; 质量立体; 微元法 【中图分类号】 O172.1 【文献标识码】A 【文章编号】1008- 4142( 2006) 03- 0116- 02 The Computing Method of Moment of Iner tia J IANG Zi- g uo (Mathematics Department of Aba T eachers C ollege, Wenchuan Sichuan 623000, C hina) 【Abs tra ct】Via an infinitesimal method, the author offers a computing formula for the moment of inertia of mass curves and mass cubes against any straight line in Euclidean space. A simplified computing formula of moment of inertia of the coordinate axes is given as well in this paper. 【Ke y words 】moment of inertia; mass curve; mass cube; infinitesimal method 1、引言 转动惯量是物理学及工程力学中经常遇见的问题, 在数学分析教材中仅给出了三维空间中的质量物体 V 对三个 坐标轴( X 轴, Y 轴, Z 轴) 的转动惯量的计算方法。而对于三维空间中对于一般直线甚至连平行于坐标轴的直线的转 动惯量都没有给出计算方法。本文根据数学分析和解析几何的相关知识, 应用微元法给出空间中的质量曲线 S 和质量 立体 V 对任意直线 l 的转动惯量的计算方法。 2、主要结果 2.1 质量曲线的转动惯量 !!""!!3 设三维欧氏空间 中有质量曲线 : , 其中1 定理 RSx=!(t) , a#t#bx=(x ,x ,x ), !(t)=(! (t), ! (t), ! (t) ), 该质量曲1 2 3 1 2 3 0 0 0 x- x - x - x xx3 22 22 33 线在任意一点处的线密度为连续 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 , 中任一直线 的方程是: , 则质ρ( !(t), !(t), !(t) )Rl = = 123XXX 2 2 3量曲线 S 对于直线 l 的转动惯量 2 2 2 0 00 00 0 !(t)- x! (t)- x ! (t)- x! (t)- x! (t)- x! (t)- x 1 2 21 3 22 3 33 3 1 1b + + 2 X X X X X X 1 2 2 33 1(t), (t), (t) ) (1) ρ( !!!J= !′(t) dt%1 123$k 3 a& k = 1 2X% k k = 1 0 0 0 其中为直线 上一定点。(x,x,x)l 1 2 3 证明: 应用微元法, 在曲线 S 上任取一质点 P( (t), (t), (t) ), 即 t?[a,b], 质点 P((t), (t), (t))的质量微元 !!!!!!’ 1231233 2 是 ρ( !(t), !(t), !(t) ) !′(t) dt, 它到直线 l 的距离% 123k & k = 1 2 2 2 0 00 00 0(t)- x(t)- x ! ! (t)- x(t)- x (t)- x(t)- x !! ! ! 11 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 + + X X XXX X 1 22 3 3 1d= 3 2X% k & k = 1 于是, 由力学知识知道, 质量曲线对于直线 l 的转动惯量 2 2 2 0 00 00 0 (t)- x(t)- x (t)- x(t)- x (t)- x(t)- x !! ! ! ! ! 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 13 + + b 2 XXXXXX 1 22 33 1J= ρ( !(t), !(t), !(t) ) !′(t) dt "1123! k 3 ak = 1 # 2X "k k = 1 证毕。 在三维空间中, 当直线 l 为 x 轴( 或 y 轴, 或 z 轴) 时, 有: x=f(t) , t?[a, b], 其线密度是连续函数 ρ(f(t),g(t),h(t)), 则该质量曲线对于 x 推论 1 在三维欧式空间中, 质量曲线 S: y=g(t)$ z=h(t) 轴( 或 y 轴, 或 z 轴) 的转动惯量 b 2 2 2 2 2 [g (t)+h (t)]"(f(t),g(t),h(t))f′(t)+g′(t)+h′(t) dt( 2) J= & x !a b 2 2 2 2 2 [h (t)+f (t)]"(f(t),g(t),h(t))f′(t)+g′(t)+h′(t) dt( 3) ( 或 J= & y !a b 2 2 2 2 2 [f (t)+g (t)]"(f(t),g(t),h(t))f′(t)+g′(t)+h′(t) dt( 4) 或 J=& z !a 2 2 证明: 对于 x 轴, 在曲线 S 上任取一点 P(f(t), g(t), h(t)), 则点 P(f(t),g(t),h(t))到直线 l 的距离 d= g (t)+h (t) , 由上面的& 证明可知, 该质量曲线对于 x 轴的转动惯量 b 2 2 2 2 2 [g (t)+h (t)](f(t),g(t),h(t))f′(t)+g′(t)+h′(t) dt"J= & x !a 同理可证, 对于 y 轴、z 轴的转动惯量为( 3) 、( 4) 式, 证毕。 用上面的方法, 易证 x=(t) !, ρ( , 其线密度为 !推论 2 在三维欧氏空间中, 若质量曲线是坐标平面( 如 xoy 面) 上的曲线 S: , ,t?[ab]$ y=(t) !(t),#(t)), 则该曲线对于该坐标平面上的直线 ax+by+c=0 的转动惯量 2b 2 2 (a(t)+b#(t)+c)! ((t),#(t))′(t)+#′(t) dt( 5) "!!J=& 1 !22aa+b 2.2 质量立体的转动惯量 3 定理 设三位欧氏空间 中有界闭体 上任意一点, , 的密度函数是连续函数 , 空间中任一直线 2 RV (xyz)ρ(x, y, z)l x- xy- yz- z0 0 0 的方程是: = = , 则闭体 V 对直线 l 的转动惯量X Y Z 2 2 2 y- yz- zx- xy- y z- z x- x 0 00 00 0+ + Y Z Z X X Y ρ(x,y,z)dxdydz (6) J= 1’ 222X+Y+Z v 其中, (x,y,z)为直线上 l 的一个点。 000 证明: 在质量闭体 V 上任取一质点 P(x,x,x), 质点 P(x,x,x)的质量微元是 ρ(x,x,x)dv, 质点 P 到直线 l 的距离 123123123 2 2 2 y- yz- zx- xy- y z- z x- x 0 00 00 0+ + Y Z Z X X Y d= 222& X+Y+Z 于是, 由力学知识知道, 质量曲线对于直线 l 的转动惯量 2 2 2 y- yz- zx- xy- yz- zx- x 0 00 00 0+ + Y Z Z X X Y ρ(x,y,z)dxdydz J= 1 222’X+Y+Z v 证毕。3 y, z)的密度函数是连续函数 ρ(x, y, z), 则闭体 V 对于 x 轴 推论: 设三位欧氏空间 R中有界闭体 V 上任意一点(x, ( 或 y 轴, 或 z 轴) 的转动惯量 22J= (y+z)ρ(x,y,z)dxdydz( 7) x ’v ( 下转第 128 页) 128 2006 年 阿坝师范高等专科学校学报 争, 就是信息资源对社会的破环, 谈不上创造价值。信息资源 [5] 刘平.信息资源的价值选择问题 [J].武汉理工大学学 如何创造价值, 这是我们人类怎样利用信息资源的问题。我们 报,2003,(10):102—104. 正确运用信息资源, 它就能成为改造自然, 改造社会, 推进人 [6] 林德金, 等.政策研究方法论[M] . 延吉: 延边大学出 类社会进程的有力武器。同样我们不正当利用, 它就会成为社 版社,1989. 会发展的阻力。 [7] 龚昌明, 汤珊红.信息资源开发的战略思考[J].中国信 五、结束语 息导报,2002,(1):38- 39. 信息资源从产生之日起, 就开始在人类社会的发展中起 [8] 周权.信息不对称对市场经济的影响 [J].中国信息导 着举足轻重的作用。在当今信息时代里, 信息资源无处不在, 报,2002,(1):20- 22 . 无时不在, 如何让信息资源产生的价值极大化、极优化, 仍将 [9] 王文举. 信息学概论 [ M] . 北京: 中国商业出版社, 是我们长期思索的问题。 1995. [10] ( 法) 伊维斯?科里尔?世界信息概论[ M] .北京: 中国 对外翻译出版公司,1999. [11] 江泽民.江泽民主席在第十六届世界计算机大会的 【参 考 文 献】讲话 [N ].经济日报,[N ]2000- 8- 21- 1. [1] 林德金.信息经济学导论[M].长沙: 湖南人民出版社, [12] 宋金玲, 霍国庆.信息资源的基本理论问题研究 [J]. 1988. 图书情报工作,2002,(11):17- 20. [2] 周文骏.图书馆学情报学词典[ M] .北京: 书目文献出 [13] 王芳.信息产业对中国经济发展的作用机理研究 [J]. 版社,1991. 图书情报工作,2002,(4):96- 99. [3] 李胜利, 周全喜.信息资源价值转化的哲学思考 [J].人 [14] 陈能华, 刘灿姣.我国西部地区信息资源建设定量分 文与管理论从,1998,(8):92- - 94 . 析 [J].中国图书馆学报,2003,(5):31- 34 . [4] 施强.信息资源价值的定量分析[J].丽水师范专科学 校学报,2003,(12):123- - 125 . 均匀物体 V( 设 ρ(x,y,z)?1) 关于 z 轴的转动惯量。 ( 上接 117 页) ’x=rsin"cos# ) 22 )( 或 ,( 8) )J= (z+x)ρ(x,y,z)dxdydz y$( x,y,z) 2 !( 解: 设 , 则 , 立体 V 变为 "y=rsin"sin# =rsin )v $(r,,#) " )) *z=rcos" 22或 )( 9) J= (x+y)ρ(x,y,z)dxdydz z% ! V′: 0+#+2%, 0+"+ , 0+r+ 于是质量物体对 z 2 , $v 4 3、应用举例 轴的转动惯量在计算转动惯量时, 可以直接应用公式( 1) , ( 5) , ( 6) 进行计算。当应用公式( 1) , ( 5) , ( 6) 计算比较复杂 22J= (x+y)dxdydzz !时, 可以通过坐标平移或旋转变换, 将其化成公式( 2) - - v ( 4) , ( 7) - - ( 9) 进行计算。 & 4 22& $3 222 例 在 中的 平面上质量曲线 : ( 1 Rxoy Sy=2xx?= d# d rsin?rsindr """% % % 00022 [- 1, 1]) 的线密度 ρ( x, y) =x+y, 求质量曲线 S 对于直线 & 4 2l: y=x 的转动惯量。 $4% 3 4 =2% sin ? r dr= (4 ""2 - 5)d $%% 解: 由公式( 1) 得, 质量曲线对于直线 l 的转动惯量 00 15 1 2 【参考文献】 (x- 2x) 2 2 ( J=x +4x )1+4d x $l# 吕 林 根 , 等. 解 析 几 何[M]. 北 京. 高 等 教 育 出 版 - 12 [1] 社, 1987. 1 5 54 $ x dx= 刘玉琏, 等. 数学分析讲义( 上、下册) [M]. 北京. = 5$ % - 1 2 [2] 高等教育出版社, 2003. 222222例 2、求由曲面: x+y+z=2, x+y=z, (z>0)所围成的