[宝典]三角函数的对称轴

[宝典]三角函数的对称轴[宝典]三角函数的对称轴 y=sinx对称轴为x=k?+ ?/2 (k为整数)，对称中心为(k?，0)(k为整数)。y=cosx对称轴为x=k?(k为整数)，对称中心为(k?+ ?/2，0)(k为整数)。 y=tanx对称中心为(k?，0)(k为整数)，无对称轴。这是要记忆的。对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ)，令ωx+Φ = k?+ ?/2 解出x即可求出对称轴，令ωx+Φ = k? 解出的x就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。(若函数是y=Asin(ωx+Φ)+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ) ...

[宝典]三角函数的对称轴 y=sinx对称轴为x=k?+ ?/2 (k为整数)，对称中心为(k?，0)(k为整数)。y=cosx对称轴为x=k?(k为整数)，对称中心为(k?+ ?/2，0)(k为整数)。 y=tanx对称中心为(k?，0)(k为整数)，无对称轴。这是要记忆的。对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ)，令ωx+Φ = k?+ ?/2 解出x即可求出对称轴，令ωx+Φ = k? 解出的x就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。(若函数是y=Asin(ωx+Φ)+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ) 余弦型，正切型函数类似。以f(x),sin(2x,π,6)为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12 那么函数的对称中心就是(kπ/2+π/12,0) 三角函数y=Asin(ωx+φ)中的对称轴 ,正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+(k?Z)，它的对称轴总是经过它图象的最高点,2 或者最低点。由于三角函数y=是由正弦函数y=sinx复合而成的，所以令Asin(,,x，,) ,,,k，,,2,x，,=k+，就能得到y=的对称轴方程x=(k?Z)。通,Asin(,,x，,)2, ,,,k，,过类比可以得到三角函数y=的对称轴方程x=(k?Z)。下面通Acos(,,x，,), 过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。 1(解析式问题例1(设函数=()，图像的一条对称轴是直线f(x)sin(2x，,) ,,,,,0f(x) ,x,,，求的值。 8 ,,,,,分析:正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+，令2x+=k+，结合条件,,,,,022 求解。 ,,x,sin(2，，,),,1解析:?f(x)是函数y=的图像的对称轴，?，88 ,,,3?，k?Z，而，则。，,k，,,,,,,,,,0,424 点评:由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，所以把对称轴的方程代入到函数解析式，函数此时可能取得最大值或最小值。易错点就在于很多同学误认为由于 ,正弦函数y=sinx的周期是2k，所以会错误的令=2k+。,,x，,,,2 2( 参数问题 ,例2(如果函数y,sin2x，acos2x的图象关于直线x,,对称，则a的值为( )8 A( B(, C(1 D(,122 分析:由于本题是选择题，所以解法多种多样，可以带入验证;也可以根据对称轴的通式求解，还可以根据最值求解。 12解法一:y,sin2x，acos2x=sin(2x，)，其中cos=，1，a,,21，a a=， sin,21，a ,,由函数的图象关于x=,对称知，函数y,sin2x，acos2x在x=,处取得最大值或最88小值， ,,2?sin(,)，acos(,),?1，a， 44 221，a即(1,a)=?，解得a,,1，所以应选择答案:D。2 ,,x，,点评:过函数y=Asin()图象最值点与y轴平行(或重合)的直线都是函数图象的对称轴。 ,，如若不然，x,,解法二:显然a?0就是函数y,sin2x的一条对称轴，这是不可8 能的，当a?0时，y,sin2x，acos2x a1221，a(cos2x，sin2x),1，acos(2x,,)=，221，a1，a ,a1sin1,,cos,sin,,,其中，，即tan=， 22cos,a1，a1，a 2,,函数y,cos(2x,)的图象的对称轴方程的通式为2xk,k，(k?Z)，1，a, ,,,k,,,k,,?xk,，令xk,,，则=,，?=,k,，，，,2282284 ,,?tan,tan(,k,),,1， ,4 1即=,1，?a=,1为所求，所以应选择答案:D。 a 点评:根据余弦型函数的对称轴问题，结合对应的正切值的值加以分析求解，也是一种特殊的方法。 ,解法三:?f(x),sin2x，acos2x的图象关于直线x,,对称， 8 ,,,,,,,,,,?，令x=,，得，，，f,，x,f,,xf,,f0,,,,,,8884,,,,,, ,,,,,,?sin，acos=sin0，acos0，得a,,1，所以应选择答案:D。,,,,,,22,,,, 点评:这种解法比较巧妙，紧扣住对称性的定义，采用特殊值法代入。是不可多得的一种快捷方便的解答方法。 3(单调区间问题 ,例3(在下列区间中函数y,sin(x，)的单调增区间是( ) 4 ,,,,A(,，, B(,0，, C(,,，0, D(,，,,,2442 ,分析:像这类题型，常规解法都是运用y,Asin(x，)的单调增区间的一般结论，, 由一般到特殊求解，既快又准确，本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法。 ,,,,sin(x，,,解析:函数y,)的对称轴方程是:xk=k，,=k，(k?Z)，4244 ,,,3照选择支，分别取k,,1、0、1，得一个递增或递减区间分别是,,，,或,，444,5,，对照选择支思考即知应选择答案:B。 4 点评:一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得。 4(函数性质问题 f(x),sin,x例4(设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称 ,轴上的距离的最小值，则的最小正周期是( ) f(x)4 ,,A(2π B(π C( D(24 1分析:根据正弦(或余弦)函数的图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于4周期的性质加以转化三角函数的相关性质，从而得到正确解答。解析:设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称f(x),sin,x 1,轴上的距离的最小值，而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于周期，?44 ,最小正周期为T=×4=π，即选择答案:B。 4 点评:三角函数的对称性与其他相应的性质是紧密相关，特别和三角函数的周期性问题、单调性问题、最值问题能息息相关，要注意加以相互转化。函数y=的对称轴是函数的一条重要性质，要准确的理解函数图像实质Asin(,,x，,) ,,2kk上有无数条对称轴，它们也是有周期性的，它们的周期不是T=，而是T=，可以理,,解为对称轴的周期是函数周期的一半。只有准确的理解对称轴的特点，才能灵活的应用对称轴解题。

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