山西省山大附中2013届高三数学上学期期中试卷 文 新人教A版

2012—2013学年度上学期期中考试 高三年级(文科)数学试卷 一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、已知集合 ，集合 ，则 (    ) A．(- )      B．(- ]      C．[- )      D．[- ] 2、设i为虚数单位，则复数 的共轭复数为（    ）  A．           B．       C．       D． 3、已知 是第二象限角，且sin( ，则tan2 的值为(    ) A．     B．     C．     D． 4、已知 是不同的直线, 是不同的平面,若① ② ③ ④ ,则其中能使 的充分条件的个数为(    ) A.0个            B.1个            C.2个            D.3个 5、如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（    ） ] A．       B．                 C．           D． 6、已知函数y＝sinax＋b（a＞0）的图象如图所示，则函数 的图象可能是(  ) 7、在平面直角坐标系中，若不等式组 （ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（    ） A. -5        B. 1        C. 2        D. 3 8、(改编)已知函数 ,若a、b、c互不相等，且 ，则 的取值范围是(    ) A. （1，2012）    B.（1，2013）        C.（2，2013）      D.[2，2013] 9、（改编）设函数 , ，若数列 是单调递减数列，则实数a的取值范围为(  ) A．(-∞，2)    B．(-∞， ]    C．     D．[ ,2) 10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果 ，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（    ） A．         B．     C．         D． 11、已知 是偶函数，且 在 上是增函数，如果 在 上恒成立，则实数 的取值范围是(    ) A．           B．             C．             D． 12、下列命题中，真命题的个数为(    )`. （1）在 中，若 ，则 ； （2）已知 ，则 在 上的投影为 ； （3）已知 ， ，则“ ”为假命题； （4）要得到函数 的图象，只需将 的图象向左平移 个单位． A．1              B．2              C．3              D．4 二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在题中横线上） 13、已知等比数列 的各项都是正数，且 成等差数列，则           14、一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为 的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为      ． 15、 ，且 ，且 恒成立，则实数 取值范围是      16、已知函数 ， （ 为常数），直线 与函数 的图像都相切，且 与函数 图像的切点的横坐标为 ，则 的值为        三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题10分）设 （1）若不等式 的解集为 ，求a的值； （2）若 ， ，求 的取值范围。 18. （本小题12分） 在 中，角 对的边分别为 ，且 （1）求 的值； （2）若 ，求 的面积 。 19.（本小题12分） 下列关于星星的图案构成一个数列 ， 对应图中星星的个数. （1）写出 的值及数列 的通项公式； （2）求出数列 的前n项和 ； （3）若 ，对于（2）中的 ，有 ，求数列 的前n项和 ； 20. （本小题12分）如图：在三棱锥D-ABC中，已知 是正三角形，AB 平面BCD， ，E为BC的中点，F在棱AC上，且 （1）求三棱锥D－ABC的表面积； （2）求证AC⊥平面DEF； （3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由． 21. （本小题12分） 已知     （1）求 的单调区间; （2）试问过点 可作多少条直线与曲线 相切？请说明理由。 22. （本小题12分） 已知函数 ，其中ｅ是自然数的底数， ． （1）当 时，解不等式 ； （2）当 时，求正整数ｋ的值，使方程 在［ｋ，ｋ＋１］上有解； （3）若 在［－１，１］上是单调增函数，求 的取值范围． 高三数学文科答案 答案：1--12BCCBC    CDCCB  DB 13、   14、   15、   16、 17、 解： （Ⅰ）f(x)＝ 其图象如下： 18、 解：（1）由正弦定理可设 ，所以 ， 所以 ．          （2）由余弦定理得 ， 即 ， 又 ，所以 ， 解得 或 （舍去）所以 ． 19、解：（1）知 ；　……………………………………3分 （2）得 ，  　……………………………………5分 则 ；………………7分 （3） ，    　………………8分 数列 的前n项和为   ………………9分 1 当 时， 　……10分 2 当n 时， ……11分 则 ；      　……………………………12分 20、解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD． ∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝ ． 设G为CD的中点，则CG＝ ，AG＝ ． ∴ ， ， ． 三棱锥D－ABC的表面积为 ． （2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC． ∵AF＝3FC，∴F为CH的中点． ∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC． ∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC． ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE． ∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC． ∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF． （3）存在这样的点N，当CN＝ 时，MN∥平面DEF． 连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝ CM． ∴当CF＝ CN时，MN∥OF．∴CN＝ 21（1）                                   …………1分 （ⅰ）当 时， 在 上单调递增          ………………3分 （ⅱ）当 时，若 则 ；若 则 在 上单调递减，在 上单调递增                                ……………………5分 （2）设切点为                       ………………6分 切线方程为： 切线过点（2，5） 即 ……（＊）                            ……………………8分 令 ，                           ………………9分 当 时， ；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增        ……………………10分 又 在 上有两个零点，即方程（＊）在 上有两个根 过点 可作两条直线与曲线 相切．            …………12分 22、 ⑴因为 ，所以不等式 即为 ， 又因为 ，所以不等式可化为 ， 所以不等式 的解集为 ．…………………………2分 ⑵当 时, 方程即为 ，由于 ，所以 不是方程的解， 所以原方程等价于 ，令 ， 因为 对于 恒成立， 所以 在 内是单调增函数，……………………………4分[ 又 ， ， ， 所以方程 有且只有1个实数根， 在区间 ， 所以整数 的值为 1．……………………………………………6分 ⑶ ， 1 当 时， ， 在 上恒成立，当且仅当 时 取等号，故 符合要求；………………………………………………………7分 ②当 时，令 ，因为 ， 所以 有两个不相等的实数根 ， ，不妨设 ， 因此 有极大值又有极小值． 若 ，因为 ，所以 在 内有极值点， 故 在 上不单调．………………………………………………………9分 若 ，可知 ， 因为 的图象开口向下，要使 在 上单调，因为 ， 必须满足 即 所以 .--------------------------11分 综上可知， 的取值范围是 ．………………………………………12分