考研必备概率论与数理统计公式大全

考研必备概率论与数理统计公式大全 概率论与数理统计公式大全 一 随机事件和概率 m!n 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 P,m(m,n)!(1)排列 组合公式 m!n 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 C,mn!(m,n)! 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种(2)加法方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 和乘法原乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 理 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列(有序) (3)一些对立事件(至少有一个) 常见排列 顺序问题 (4)随机如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 试验和随在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 机事件 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质: ?每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ?任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 (5)基本 ,这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 事件、样本 ,基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 空间和事 ,,一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A，件 ,„表示事件，它们是的子集。 B，C， ,为必然事件，Ø为不可能事件。 不可能事件(Ø)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理，必然事件(Ω)的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ?关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生):A,B (6)事件A,BB,A如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B:A=B。 的关系与:A、B中至少有一个发生的事件:AB，或者A+B。 运算 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表 AB示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。 1 ::A、B同时发生:AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ,A-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的 事件。互斥未必对立。 ?运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A?(B?C)=(A?B)?C 分配率:(AB)?C=(A?C)?(B?C) (A?B)?C=(AC)?(BC) ,, iiA,A::i1i1,, 德摩根率:， A:B,A:BA:B,A:B ,AA设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足 下列三个条件: 1? 0?P(A)?1， 2? P(Ω) =1 (7)概率A1A23? 对于两两互不相容的事件，，„有 的公理化,,,,ii,,PA,P(A)定义 :,,,i1i1,,,, 常称为可列(完全)可加性。 A则称P(A)为事件的概率。 1? ， ,,,,,,,？,12n 1PPP,,,,？,,2? ()()()。 12nn A设任一事件，它是由组成的，则有 ,,,？,(8)古典12m 概型 ,,P(A)=(,):(,):？:(,) =P(,)，P(,)，？，P(,) 12m12m A所包含的基本事件数m,, 基本事件总数n 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间 中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概(9)几何型。对任一事件A， 概型 L(A)P(A),。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。 L(,) (10)加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 公式 当P(AB),0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) (11)减法当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) , 公式 B当A=Ω时，P()=1- P(B) 2 P(AB)为事件A发生条件下，事件定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(A) (12)条件P(AB)B发生的条件概率，记为。 P(B/A),概率 P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) ,B 乘法公式: P(AB),P(A)P(B/A)(13)乘法更一般地，对事件A，A，„A，若P(AA„A)>0，则有 12n12n-1公式 P(A1A2An),P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An,1)„„„„。 ?两个事件的独立性 P(AB),P(A)P(B)ABAB设事件、满足，则称事件、是相互独立的。 P(A),0AB若事件、相互独立，且，则有 P(AB)P(A)P(B)P(B|A),,,P(B)P(A)P(A) ABBAABAB若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。 (14)独立,必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。 性 Ø与任何事件都互斥。 ?多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 B1,B2,？,Bn设事件满足 B1,B2,？,BnP(Bi),0(i,1,2,？,n)1?两两互不相容，， n(15)全概A,Bi:公式 ,1i2?， 则有 P(A),P(B1)P(A|B1)，P(B2)P(A|B2)，？，P(Bn)P(A|Bn)。 BnB2AB1设事件，，„，及满足 P(Bi)i,BnnB2B11? ，，„，两两互不相容，>0，1，2，„，， n A,Bi:P(A),0,1i2? ，， 则 (16)贝叶P(B)P(A/B)iiP(B/A)，i=1，2，„n。 ,in斯公式 P(B)P(A/B),jj,1j 此公式即为贝叶斯公式。 i,1i,1n22P(B)P(B/A)，(，，„，)，通常叫先验概率。，(，，„，ii n)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由 果朔因”的推断。 3 n次试验，且满足 我们作了 AA, 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生; nA, 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样; AA, 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否 是互不影响的。 n这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。 (17)伯努 利概型 p1,p,qPn(k)nAA用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示 k(0,k,n)A重伯努利试验中出现次的概率， kkn,kP(k),pqnk,0,1,2,？,nCn，。 第二章 随机变量及其分布 X(1)离散设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,„)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 型随机变 P(X=xk)=pk，k=1,2,„， 量的分布 X则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形律 式给出: Xx,x,？,x,？12k|P(X,xk)p1,p2,？,pk,？。 显然分布律应满足下列条件: , p,1k,pk,0k,1,2,？,k1(1)，， (2)。 F(x)f(x)(2)连续xX设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有 x型随机变F(x),f(x)dx,,,量的分布， 密度 f(x)XX则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质: f(x),01? 。 ，,f(x)dx,1,,,2? 。 (3)离散P(X,x),P(x,X,x，dx),f(x)dx 与连续型 随机变量f(x)dxP(X,xk),pk积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离的关系 散型随机变量理论中所起的作用相类似。 4 (4)分布设为随机变量，是任意实数，则函数 Xx 函数 F(x),P(X,x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布P(a,X,b),F(b),F(a)(a,b] 函数表示随机变量落入区间(– ?，x]内的概率。 F(x) 分布函数具有如下性质: 1? ; 0,F(x),1,,,,x,，, 2? 是单调不减的函数，即时，有 ; x1,x2F(x)F(x1),F(x2) F(,,),limF(x),0F(，,),limF(x),13? ， ; x,,,x,，, 4? ，即是右连续的; F(x，0),F(x)F(x) 5? 。 P(X,x),F(x),F(x,0) F(x),p对于离散型随机变量，; ,kx,xk x 对于连续型随机变量， 。 F(x),f(x)dx,,, (5)八大0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 分布 二项分布 AA在p重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生n XX的次数是随机变量，设为，则可能取值为。 0,1,2,？,n kkn,k， 其中P(X,k),P(k),Cpqnn ， q,1,p,0,p,1,k,0,1,2,？,n Xp则称随机变量服从参数为n，的二项分布。记为 。 X~B(n,p) k1,kn,1k,0.1当时，，，这就是(0-1)分P(X,k),pq 布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。 5 泊松分布 设随机变量的分布律为 X k,,,,,0，，， ()PX,k,ek,0,1,2？!k ,则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或XX~,(,) ,者P()。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ，n??)。 超几何分布 knk,k,0,1,2,l？C,CMNM, P(X,k),,nl,min(M,n)CN 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 k,1，其中p?0，q=1-p。 P(X,k),qp,k,1,2,3,？ 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 均匀分布 f(x)X设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b] 1上为常数，即 b,a 1,a?x?b ,,f(x),b,a, 其他， ,0,, X则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 0， xb。 x,x12当a?x 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布，记为 2X~N(0,1)x，其密度函数记为 ,12,()x,e 2,，， ,,,x,，, 分布函数为 2tx,12。 ,x,edt(),2,,,,(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 1Φ(-x),1-Φ(x)且Φ(0),。 2,X,2X如果N(0,1)~，则~。 N(,,,),,,x,x,,,,,21P(xXx),,,,,,。 ,,,,12,,,,,, 7 (6)分位下分位表:; P(X,,),,,数 上分位表:。 P(X,,),,, (7)函数离散型 X已知的分布列为 分布 x,x,？,x,？12nX ， P(X,xi)p1,p2,？,pn,？ 的分布列(互不相等)如下: y,g(x)Y,g(X)ii g(x),g(x),？,g(x),？12nY， P(Y,y)ip1,p2,？,pn,？若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。 pg(xi)g(xi)i连续型 先利用X的概率密度f(x)写出Y的分布函数F(y),P(g(X)?XY y)，再利用变上下限积分的求导公式求出f(y)。 Y 第三章 二维随机变量及其分布 (1)联合离散型 如果二维随机向量(X，Y)的所有可能取值为至多可列,分布 个有序对(x,y)，则称为离散型随机量。 , 设=(X，Y)的所有可能取值为(x,y)(i,j,1,2,？)，,ij 且事件{=(x,y)}的概率为p,称 ,ij,ij P{(X,Y),(x,y)},p(i,j,1,2,？) ijij 为=(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分, 布有时也用下面的概率分布表来表示: Y y y „ y „ 12j X x p p „ p „ 111121j x p p „ p „ 221222j ？？？？？ x p „ „ ii1p ij ？？？？？ 这里p具有下面两个性质: ij (1)p?0(i,j=1,2,„); ij (2)p,1. ,,ijij 8 连续型 对于二维随机向量，如果存在非负函数,,(X,Y) ，使对任意一个其邻边f(x,y)(,,,x,，,,,,,y,，,) 分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|ax时，有F(x,y)?F(x,y);当y>y时，有F(x,y) ?F(x,y); 21212121 (3)F(x,y)分别对x和y是右连续的，即 F(x,y),F(x，0,y),F(x,y),F(x,y，0); (4) F(,,,,,),F(,,,y),F(x,,,),0,F(，,,，,),1. (5)对于x,x，y,y， 1212 F(x，y),F(x，y),F(x，y)，F(x，y),0. 22211211(4)离散P(X,x，Y,y),P(x,X,x，dx，y,Y,y，dy),f(x，y)dxdy 型与连续 型的关系 9 (5)边缘离散型 X的边缘分布为 分布 ; P,P(X,x),p(i,j,1,2,？),i,iijj Y的边缘分布为 。 P,P(Y,y),p(i,j,1,2,？),,jjiji 连续型 X的边缘分布密度为 ，, f(x),f(x,y)dy;X,,, Y的边缘分布密度为 ，, f(y),f(x,y)dx.Y,,, (6)条件离散型 在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为 i 分布 pij P(Yy|Xx),,,;jipi, 在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为 j pijPXxYy (,|,),,ijp,j 连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x,y)f(x|y); ,f(y)Y 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(x,y)f(y|x) ,f(x)X (7)独立一般型 F(X,Y)=F(x)F(y) XY 性 离散型 p,pp iji,,j 有零不独立 连续型 f(x,y)=f(x)f(y) XY 直接判断，充要条件: ?可分离变量 ?正概率密度区间为矩形 22，，,,,,,,,,,x,2(x,)(y,)y,1二维正态分1122,,,,,,,,，,,,,2,,,,,,1,2(1,),,,,1122，，布 ,f(x,y)e,2,,,,,2112 ,,0 随机变量的若X,X,„X,X,„X相互独立， h,g为连续函数，则: 12mm+1n 函数 h(X，X,„X)和g(X,„X)相互独立。 12mm+1n 特例:若X与Y独立，则:h(X)和g(Y)独立。 例如:若X与Y独立，则:3X+1和5Y-2独立。 10 (8)二维设随机向量(X，Y)的分布密度函数为 均匀分布 1,(x,y),D,SD, f(x,y),, ,0,其他,,其中S为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布，记为(X，Y),D U(D)。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D 1 1 x O 图3.1 y 1 D2 2 x O 1 图3.2 y d D 3 c a b x O 图3.3 11 (9)二维设随机向量(X，Y)的分布密度函数为 正态分布 22，，,,,,,,,,,x,2(x,)(y,)y,11122,,,,,,,,，,,,,2,,,,,,2(1,,)11122,,,,，，,f(x,y)e, 2,,,,,2112 其中是5个参数，则称(X，Y)服从二维正态分,,,,,0,,,0,|,|,112,12 布， 22记为(X，Y),N( ,,,,,,,,).12,12 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 22即X,N( ,,,),Y~N(,,).112,2 22但是若X,N(，(X，Y)未必是二维正态分布。 ,,,),Y~N(,,)112,2 (10)函数Z=X+Y 根据定义计算: F(z),P(Z,z),P(X，Y,z)Z分布 ，, 对于连续型，f(z), f(x,z,x)dxZ,,, 22两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。 ,，,,,，,1212 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 222， ,,C,,,C,ii,,iiii Z=max,min(若X,X？X相互独立，其分布函数分别为12nX,X,„X) 12n F(x)，F(x)？F(x)，则Z=max,min(X,X,„X)的分布12nxxx12n 函数为: F(x),F(x),F(x)？F(x) maxxxx12n F(x),1,[1,F(x)],[1,F(x)]？[1,F(x)] minxxx12n 12 2相互独立，且服从标准正态分设n个随机变量X,X,？,X分布 ,12n 布，可以证明它们的平方和 n2 W,X,i,1i 的分布密度为 nu,1,,122ueu,0,,n,n,, f(u)2,,2,,,2,,, ,0,u,0., 22我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W,，,(n),其中 n1,，,n,,,x2 ,,xedx.,,,02,, 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。 2分布满足可加性:设 , 2 Y,,(n),ii则 k2 Z,Y~,(n，n，？，n).,i12k,i1 t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 2 X~N(0,1),Y~,(n),可以证明函数 XT, Y/n的概率密度为 n，1,,n，1,,,,22,,t2,,,,()1ft,， (,,,t,，,). ,,nn,,,,n,,,,2,, 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T,t(n)。 t(n),,t(n) 1,,, 13 F分布 22设，且X与Y独立，可以证明X~,(n),Y~,(n)12 X/n1的概率密度函数为 F,Y/n2 ,n，n,,12nn，n112,,,,,n122,1,,,,nn2,,112,,,,,,y1，y,y,0,,,,f(y), ,nnnn,,,,12,,,,22,,,,,,,22,,,,,,0,y,0, 我们称随机变量F服从第一个自由度为n，第二个自由度为n12 的F分布，记为F,f(n, n). 12 1F(n,n) ,,112,F(n,n),21 第四章 随机变量的数字特征 (1)离散型 连续型 一维期望 设X是离散型随机变量，其分布设X是连续型随机变量，其概率密 随机期望就是平均值 度为f(x)， 律为P(),p，X,xkk变量，,的数k=1,2,„,n， E(X),xf(x)dx,,,字特n 征 (要求绝对收敛) E(X),xp,kk,1k (要求绝对收敛) 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) ，,n E(Y),g(x)p E(Y),g(x)f(x)dx,kk,,1k,, 方差 ，,222D(X)=E[X-E(X)]， D(X),[x,E(X)]f(x)dx D(X),[x,E(X)]p,,kk,,k标准差 ,(X),D(X)， 14 矩 ?对于正整数k，称随机变量X?对于正整数k，称随机变量X的 的k次幂的数学期望为X的kk次幂的数学期望为X的k阶原点 阶原点矩，记为v,即 ,即 矩，记为vkk kk，,kkν=E(X)= , xpk,iiν=E(X)= xf(x)dx,k,,,i k=1,2, „. k=1,2, „. ?对于正整数k，称随机变量X?对于正整数k，称随机变量X与 与E(X)差的k次幂的数学期E(X)差的k次幂的数学期望为X 望为X的k阶中心矩，记为，的k阶中心矩，记为，即 ,,kk 即 k(()),,EX,EXk k(()),,EX,EX.k .，,k= (x,E(X))f(x)dx,,k,,=， (x,E(X))pii,k=1,2, „. i k=1,2, „. 2切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ，则对于 任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 2,,,P(X,,), 2, 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 P(X,,,,) 的一种估计，它在理论上有重要意义。 (2)(1) E(C)=C 期望(2) E(CX)=CE(X) 的性nn (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E(CX),CE(X)质 ,,iiii,,11ii (4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件:X和Y独立; 充要条件:X和Y不相关。 (3)(1) D(C)=0;E(C)=C 2方差(2) D(aX)=aD(X); E(aX)=aE(X) 2的性(3) D(aX+b)= aD(X); E(aX+b)=aE(X)+b 22质 (4) D(X)=E(X)-E(X) (5) D(X?Y)=D(X)+D(Y)，充分条件:X和Y独立; 充要条件:X和Y不相关。 D(X?Y)=D(X)+D(Y) ?2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 (4)期望 方差 常见B(1,p)0-1分布 p(1,p) p 分布 15 的期二项分布 np(1,p)B(n,p)np 望和 方差 泊松分布 P(,),, 1,p1 几何分布 G(p)2pp nMMN,nnM,,,,超几何分布 H(n,M,N)1, ,,,,NNNN,1,,,, 2a，bb,a()均匀分布 U(a,b) 212 11指数分布 e(,) 2,, 22 ,正态分布 N(,,,) , 2n 2n ,分布 n(n>2) t分布 0 n,2(5)期望 ，,n E(X),xp二维 E(X),xf(x)dx,,iiX,,1i,,随机 变量，,n E(Y),yp 的数 E(Y),yf(y)dy,,jjY,,1j,,字特 征 函数的期望 , , E[G(X,Y)]E[G(X,Y)] ，,，, G(x,y)pijij,,ij G(x,y)f(x,y)dxdy,,,,,, 方差 ，,22 D(X),[x,E(X)]f(x)dx D(X),[x,E(X)]pX,ii,,,,i 2，, D(Y),[x,E(Y)]pjj,,2j D(Y),[y,E(Y)]f(y)dyY,,, 16 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方,11 差或相关矩，记为，即 ,或cov(X,Y)XY ,,,,E[(X,E(X))(Y,E(Y))].XY11 与记号相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为,,XYXX 与。 ,YY 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D(X)>0, D(Y)>0，则称 ,XY D(X)D(Y) 为X与Y的相关系数，记作(有时可简记为)。 ,,XY ||?1，当||=1时，称X与Y完全相关: ,,P(X,aY，b),1 ,正相关，当,1时(a,0)，,完全相关 ,,负相关，当,,1时(a,0)，, 而当时，称X与Y不相关。 ,,0 以下五个命题是等价的: ?; ,,0XY ?cov(X,Y)=0; ?E(XY)=E(X)E(Y); ?D(X+Y)=D(X)+D(Y); ?D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 ,,,,XXXY,, ,,,,YXYY,, 混合矩 kl对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的E(XY) ,k+l阶混合原点矩，记为;k+l阶混合中心矩记为: kl klu,E[(X,E(X))(Y,E(Y))]. kl (6)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X); 协方(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); 差的(iii) cov(X+X, Y)=cov(X,Y)+cov(X,Y); 1212 性质 (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 17 (7)(i) 若随机变量X与Y相互独立，则;反之不真。 ,,0XY独立 和不22(ii) 若(X，Y),N()， ,,,,,,,,,1212相关 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 第五章 大数定律和中心极限定理 (1)大数定律 ，X，„相互独立，均具有有限方差，且被同一切比雪设随机变量X12 常数C所界:D(X) 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ，当试验次数n很大时，事件A发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 ,,,,, limP,p,,,0.,,n,,n,, 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大设X，X，„，X，„是相互独立同分布的随机变量序列，且E12n 数定律 (X)=μ，则对于任意的正数ε有 n n,,1,,limPX,,,,,1. ,i,,n,,ni,1,, 18 (2)中心极限定，X，„相互独立，服从同一分布，且具有列维,设随机变量X12 理 相同的数学期望和方差:林德伯 格定理 22，则随机变量 E(X),,,D(X),,,0(k,1,2,？),kk X,N(,),nn ,Xn,,k,1k Y,nn, 的分布函数F(x)对任意的实数x，有 n n,,,2X,n,tk,,,x1,,,1k2 limF(x),limP,x,edt.,,n,,,,,,,nn,,n2,, ,,,, 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗设随机变量为具有参数n, p(0