一、填空题：
（1）设
均为3维列向量，记矩阵
，
，
如果
，那么
2 .
【解】 由题设，有
=
，
于是有
（2）设行向量组
，
，
，
线性相关，且
，则a=
.
【解】 由题设，有
, 得
，但题设
，故
二、选择题：
（1）设矩阵A=
满足
，其中
是A的伴随矩阵，
为A的转置矩阵. 若
为三个相等的正数，则
为
(A)
. (B) 3. (C)
. (D)
.
【解】 由
及
，有
，其中
为
的代数余子式，且
或
而
，于是
，且
（2）设
是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为
，则
，
线性无关的充分必要条件是
(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.
【解】 实际上是考虑，当
线性无关时，向量组
，何时线性无关的问题。由结论知，当行列式
时，向量组
线性无关。
（3）设A为n（
）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,
分别为A,B的伴随矩阵，则
(A) 交换
的第1列与第2列得
. (B) 交换
的第1行与第2行得
.
(C) 交换
的第1列与第2列得
.(D) 交换
的第1行与第2行得
.
【解】 由题设，存在初等矩阵
（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得
，于是
，即
,可见应选(C).
注意：结论
.
（4）设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA，则B-C为
(A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A
【解】 由B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A,
可见，E-A与B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E.
从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A可逆，故 B-C=E. 应选(A).
三、
计算题
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（1）（本题满分9分）
已知二次型
的秩为2.
（
） 求a的值；
（
） 求正交变换
，把
化成标准形；
（
） 求方程
=0的解.
【解】 （
） 二次型对应矩阵为
，
由二次型的秩为2，知
，得a=0.
（
） 这里
， 可求出其特征值为
.
解
，得特征向量为：
，
解
，得特征向量为：
由于
已经正交，直接将
，
单位化，得：
令
，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：
=
（
） 由
=
0，得
（k为任意常数）.
从而所求解为：x=Qy=
，其中c为任意常数.
（2）（本题满分9分）
已知3阶矩阵A的第一行是
不全为零，矩阵
（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.
【解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且
（1）若k
, 则r(B)=2, 于是r(A)
, 显然r(A)
, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：
为任意常数.
(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而
1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：
为任意常数.
2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：
,不妨设
,则其通解为
为任意常数.
（3）（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
（
）
和
（
）
同解，求a,b, c的值.
【解】 法一、方程组（
）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（
）有无穷多解.因为方程组（
）与（
）同解，所以方程组（
）的系数矩阵的秩小于3.
对方程组（
）的系数矩阵施以初等行变换
，
从而a=2. 此时，方程组（
）的系数矩阵可化为
，
故
是方程组（
）的一个基础解系.
将
代入方程组（
）可得
或
当
时，对方程组（
）的系数矩阵施以初等行变换，有
，
显然此时方程组（
）与（
）同解.
当
时，对方程组（
）的系数矩阵施以初等行变换，有
，
显然此时方程组（
）与（
）的解不相同.
综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（
）与（
）同解.
法二、求a也可利用行列式
，得a=2.
本题也可这样考虑：
方程组
必存在无穷多解，化系数矩阵为阶梯形，可确定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再对两组数据进行讨论即可.
（4）（本题满分13分）
设
为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为
矩阵.
(
) 计算
，其中
；
（
）利用(
)的结果判断矩阵
是否为正定矩阵，并证明你的结论.
【解】 (
) 因
，有
=
=
=
.
（
）矩阵
是正定矩阵.
由(
)的结果可知，矩阵D合同于矩阵
又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.
因矩阵M为对称矩阵，故
为对称矩阵. 对
及任意的
，有
故
为正定矩阵.
【评注】 判定正定矩阵的典型方法有：（1）用顺序主子式全大于0；（2）用特征值全大于零；（3）用定义. 对于抽象矩阵，一般用后两个方法.
（5）（本题满分13分）
设A为三阶矩阵，
是线性无关的三维列向量，且满足
，
，
.
(
) 求矩阵B, 使得
；
（
）求矩阵A的特征值；
（
）求可逆矩阵P, 使得
为对角矩阵.
【解】 (
)
,
可知
（
）因为
是线性无关的三维列向量，可知矩阵
可逆，所以
，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值.
由
，
得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值
（
） 对应于
，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系
，
；
对应于
，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得基础解系
令矩阵
，
则
因
，记矩阵
=
，
故P即为所求的可逆矩阵.
浙公网安备 33021202002483