单纯形上Meyer-Konig and Zeller算子的二阶矩量

单纯形上Meyer-Konig and Zeller算子的二阶矩量 单纯形上Meyer-Konig and Zeller算子的二 阶矩量 数学物理 单纯形上Meyer—KonigandZeller算子的.- 张春苟 (首都师范大学数学系北京100037) 摘要:该文讨论了单纯形上Meyer—KonigandZeller算子的矩量问题.首先得到了二阶矩量在 广义积分下的显式表示.并由此导出了二阶矩量的二元Appell超几何函数表示.超几何级数表 示和完全渐近公式. 关键词:单纯形;Meyer—KonigandZeller算子;Appell超几何函数;超几何级数;完全渐近公式. MR(2000)主题分类:33C;41A中图分类号:0174文献标识码:A 文童编号:1003—3998(2005)02—256—08 1引言 正线性算子的矩量,尤其是二阶矩量能很好地反映出算子的一些逼近性质.是很有意义 的研究课题.也有了不少结果,但绝大多数是关于一元情形的.1984年,Alkemade中利用 超几何级数导出了Meyer—KonigandZeller算子二阶矩量的显式表示.后来,被Abel推广 到了任意阶.Meyer—KonigandZeller算子被Cheney和Sharma稍作修正为 ()一厂'南)(?E0,1)),(1) (,1)一(1), 这里.(z)一(1,(,2??,正一o,1,2,…). 我们用表示函数—(r一0,1,2,…),则由文[1]可知当r一0,1时,有(P,)一 ;而当r一2时,有 (,)一.+FI(1,2;,2+2;).(2) 这里F.(1,2;,2+2;)(?[O,1),??)是超几何级数简记为F(1,2;,2+2;). 1996年,文献r4]将该算子推广到单纯形?:一{(,Y)l,?0;+?1}上,定义如下 一 k00(南,一 ,'' ,z+k+),(z,),+?1,(3) M(f;z,)一S(z,,z十一1, 收稿日期:2003—03—13;修订日期:2003—10-29 E—mail:zhangcg@mail.enu.edu.cn 基金项目:北京市教委资助项目和国家自然科学基金(10371080)资助 No.2张春苟:单纯形上Meyer—KdnigandZeller算子的二阶矩量257 这里一 文献E43以2~E53利用二阶矩量的估计讨论了算子的一些基本的逼近性质. ,P;:(z,)一(r一0,1,2),P;:(,)一,则有(也可参见文E43,nE53) ^(P;,Y)一P;(尼一1,2;r一0,1), M(e;;0,)一M,(e,Y), (P;,0)一M(P.,), (厂;,)一薹厂c 一 ()耋厂c0一.+',2 +Z',2 +k+ +k+Z 记:(,Y)一 (4) (5) (6) )+?().(8) 本文的目的是导出单纯形上Meyer—KonigandZeller算子二阶矩量的显式表示.由 于 Alkemade和Abel的方法在这里都难以奏效,只好另辟蹊径.很幸运,我们利用算子 的分解 技巧,首先得到了二阶矩量的积分表示,然后由此导出了二阶矩量的二元Appell超 几何函 数表示,超几何级数表示和完全渐近公式. 2积分表示 由(2)式,(7)式和(8)式,我们有 知一妻妻(壬)m(,) 一一cc南,一)(e2 z一 薹 (日).一1,(日)一?(日+)(?N,日?R). 我们还要以下的欧拉积分 厂(z)一e广d,(Re()>.) 且F(n+1)一n!n?N. B(户,g)一I(1,)dx(Re(户)>0,Re(g)>0)) 且'q)一. 这样,我们可得 (ei;,)一一(1(1)(2) (,2++2),! 一1 ? 一1 ? . 南 ? ? ? 258数学物理V01.25A x(1一():. ("+,+1).. 一一 o c,薯鬻击,,--1_』十+7+J) 一州,??(+()?+,,+1—/一?1』一 一(1,):f?(1一,?|l一1 一 ?(l一01 ]dt 1)m( 1一.艟(1--t)ls~(1--…?cF;tv .(1一yt?】(川, c)(1一一I)]d, 一 cc一… .(1一一[(n+1)(1,)]d, 一(1一,一一(1一 一 .(,?+(1-- 十 t) … d, 一一x)2(1,一jF1--td 再由分步积分和变量替换s一1mt, 便可得 .. 一!一(1一):l+南(1一 由对称性,有 一 州一州(1l+,2C(1 至于(;;,),我们注意到 因此 (j;-『,)一??一『ll-_0 kl _1而(,') 一c,c一F +k+l — k ?=o(南)[)一.] 一 k ?=0 (一: Mn(P,),xyy(1--y)? k一0 y(1--y)2F (1,2;+矗+2;)]. +矗+()F(1,2;+是+2;v l—V.' }}}}}}}}li}l}}};;}{;}i};}{;}}iii;}ff?},f No.2张春苟:单纯形上MeyerK6nigandZeller算子的二阶矩量259 类似M(P;,)的处理,只是稍有不同,我们有 M(e;;,)一D,(1一)』(1--s(1+F 这样,我们便得到了算子二阶矩量的积分表示如下 定理l对任意的?N和(,)??\{+一1},有 ;,)一2一(1一)』(1一s)(1+ (P;,)一.一y(1一)I(1—5)(14-二)"(1一5)dJ0 , 1^ (e;;,)一:my M(e;;G-,Y)一:my 3其它形式的表示 由于(见文{-6]p.191) (9) (10) r1 )(1+?(1一-'ds, ary(1一j.(1一 (11) 一 )r(1一s)+1(14-—)--(n+1)xy(1(1一)?ds.一j(1一s"?)(1二(1一_?d !F(;卢,卢,;y;,) F(y)'一一'' 二元Appell超几何函数,1(a;卢,卢;y;,) )一2一1.2+1;+2一 再由F的其它等式(见文E6]P.192),我们就能得到 ^(P;,)一 由对称性得 F 十l +1 (12) 由定理1得 (1;2,一1;+2;+,r兰),(13) F1(4-1;——1,4-1;4-2;,4-y).(14) 迎2,一+2;y,+) (P;;,)一.一..=_-F(4-1;+1,,1;4-2;4-).(16)十l一一 关于(P;;,y),我们也容易得到 )一一一1;+l'2;+3;一F?),) (;;,)一一一F(1;2,4-1;+3;,一 十 由于在y一+卢时,二元Appell超几何函数退化为超几何级数(见文E6]p.194) F1(;卢,;y;,)一(1一)一F(,卢;y;), V—l 26O数学物理V01.25A 因此,我们有M(;;,)一一一至?F(1,2;+3;+). 同理M,(;,)--X.和M(;;,)一Y.也可用超几何级数表示,我们注意到 F1(1;2,一;+2;+,Y一薹c-~-y)k(1Y 上式右边的和式中只有当l一0,1时,不为零.所以有 F1(1;2,一1;+2;+,r兰) 一 薹c薹c 一 F(1,2;+2;+)一 再由(13)式,即可得 —— F(2,2;+3;+)一 J 一'2;+3;+)L十ZJL十1) +二l二'2;+2;+) 由(14)式,我们完全类似地有 )一2一老'2.+3;+) +'1.+2;+ 这样,我们便得到了算子二阶矩量的超几何级数表示. 定理2对任意的?N和(z,)??\{+一1},有 )_一'2;+3;+) L十ZJL十1) + 十J F(1,2;+2;+).(19) )一一老,2;+3;+) +.1;+2;+(2o) )一一'2.+3;+) 上y一 —) (1一)(1一 .+1 M(;;z,)一Y.=一Y.(1一—) ——干— F(1,2;+2;+).(21) F(1,2;+3;+) +F(1,1;+2;+). M"(;;z,)一一一三F(1,2;+3;+). 注1在(19)式中令一0,我们即得 M一(;z)一2一M(;,.)一2一三F(1 ,2;+2;z), (22) (23) No.2张春苟:单纯形上Meyer—K6nigandZeller算子的二阶矩量261 这也可由(20)式导出,只是稍复杂些.它正好就是文[1]中的定理2. 注2受(20)式,(22)式和(23)式的启发,我们发现它们也可直接导出.事实上,由二 元Appell超几何函数以及如下恒等式 c,一.Tky/c一—?,一, F(,;7;)一(1一,27)卜一卢F(7一,7一;7;,27), 我们有 ;,)一()"(,)一?(,) 一 k 妻= 0 妻/=0 c,+ k=O 妻l=0 c, 一 2 k 奎= 0 妻l=O }c,+妻k=0 妻l=0 辛c, 删(,)+干十 ,(1一.27一Y)一一——一 一_二二::. ,2+1 1 3k(,2+)^+!Z! 等2k(,2+)+,!Z! 一 2一l_F(,2+1,,2+2;,2+3;+) + ,2十l F(,2+1,,2+1;,2+2;.27+) 一 z一 jF(1,;+3;x23+)一.一———一,;++) +'l;+2;+ 而(;;,) 4完全渐近公式 点Z 一(一再() 一一 F(,2+1,,2+2;,2+3;+) 一一F(1,2;+3;+). 类似文[1]中的引理2,~fl'l易得二阶矩量的如下估计 c?,z.+z. ?? ?? 一 一 ?? ???, ?? ? ?? 一 262数学物理VO1.25A ??=0 _1 =0 ??一 0 (++2(+)…. (+)?F(1,2;+3;+) ,2(+)+(+), (+)?F(1,1;+2;+) (+)+(+),,, (+)?F(2,2;+3;+) (++3(+)….?兰?!翌? /-/(一一1)一I 利用这些估计,由定理2我们便可得二阶矩量的完全渐近公式如下 定理3 (("一).;,)一M(P;,)一2一(1二 ((—).;,)一M(P;;,)一.一 这里 唑+o】),".一., +o…_)1.…., M((一)(—);,)一(P;;,3,)一xy 一一 +o,. [(一1).?.??(一点一1)(1)女一(一2).1】.??(--k一2)(2)], 6,(,)=?(+)?(一2)ff1.??(一k一2)(2),i一0,1,….0+…kt—k 如果取一1,那么我们有 ^(("一)z;,)一M(;,)一.T2一_=二r_)_(_l_二二 M,)一)一一二l二 +(!), +(), ((一)(—);,)=Pj;,)一一一墨_二二+o("!), 它iE,~3CE4]的引理2.通过取更大的值,我们能得到二阶矩量更精确的估计.例如, 取 一 2,则有 ^(e;,)一.一 (Pi;,)一y一 二一—)z(1—2x)(1一—)+( /-/.), +o(), 一?, ? 一?一 |_ ? + ?一 No.2张春苟:单纯形上Meyer—K6nigandZeller算子的二阶矩量263 M,(Pj;_,,)一xy一一 取一3,则得 (;,)一,27一 (P;;,)一y.一 M,(j;,)一 xy(1一丁一)2xy(1一,Y) 十一——-一 (1一_,)(1一_,一-),)_,(1—一2x)(1一二 +(1—4x一2(1—3x)(_,+y))(1一_,一). 二二一一 + _,V一—— _,(1—2,,)(1一一v)---------一''....'.'..'.::.'.'.''.'.——'.—'———'————..—————'———:———— (1—43'一2(1—3y)(+))(二 :cy(1一_,一y)+ ,23 2xy(1 2xy(1—3(_,+))(1一_,一). 有了二阶矩量的这些更精确估计,就能改进算子M的一些已知结果,但这里我们不打 算这么做. 参考文献 r1]A|kemadeJAH.ThesecondmomentsfortheMeyer—KonigandZeiieroperators.JApproxTheory,l984.40(2) 26l一273 EelAbelU.ThemomentsfortheMeyerKonigandZelleroperators.JApproxTheory?1995?8 2(3):352,361 [3]CheneyEW,SharmaA.Bernsteinpowerseries.CanadJMath.1964,16(2):241253 [4]熊静宜,杨汝月.单纯形上Meyer—KonigandZeller算子的逼近定理.数学杂志,1995,15(2):127,133 [5]张春苟.单纯形上Meyer—KonigandZeller算子逼近.北京师范大学(自然科学版).1998,34(2):147151 [6]王竹溪.郭敦仁.特殊函数概论北京:北京大学出版社,2000 TheSecondMomentsforMeyer—Konigand ellerOperatorsonaSimplex Z ZhangChungou (DepartmentMathematics,CapitalNormal(,niz,ersity,Beijin100037) AbstractInthispaper,theexplicitexpressionsofthesecondmomentsfortheMeyer— KonigandZelleroperatorsonasimplexarediscussedandderivedintermsofthegeneral— izedintegration,Appellhypergeometricfunctionsintwovariablesandhypergeometricse— ries.Withthat,thecompleteasymptoticformulaeofthesecondmomentsareobtained. KeywordsMeyer—KonigandZelleroperators;Simplex;Moment;Appellhypergeometric functions;Hypergeometricseries. MR(2000)SubjectClassification:33C;41A