量子力学习题集及答案

量子力学习题集及 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 09光信息量子力学习题集 一、填空题 , A1( 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为( 6.125 )。 pdq,nh2( 索末菲的量子化条件为( )，应用这量子化条件求得一维谐振, n,,子的能级( )。 E,n 3( 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的( 电 )子衍,,E,,,射实验所证实，德布罗意关系(公式)为( )和( )。 p,,k i,,p,r,1,,4( 三维空间自由粒子的归一化波函数为，，=( )， ,rep3/2(2,,) ，,,,,,,,,,,(p,p)，，，，,r,rd,,( )。 ,pp,,, i,,p,r1,,,*,,,,5( 动量算符的归一化本征态,(r),( )，e(r)(r)d,,,,,ppp,3/2(2,,),,,,,(p,p)( )。 6( t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子，，，，，，，，,x,0,,x，2,x,x02n 5ii,,t,,t22,(x)e，2,(x)e的定态波函数，则( )。 ，，,x,t,02 2,j7( 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=( )，几率流密度= i,**,,,,,,,，，( )。 2, ,,,2ˆF,(r),(r),(r)8( 设描写粒子的状态，是( 粒子的几率密度 )，在中的 **ˆF,F,dx,,dx平均值为=( )。 ,, i,i,9( 波函数和是描写( 同一 )状态，中的称为( 相因子 )，,c,,ee i,i,e,1不影响波函数的归一化，因为( )。 ,e 10( 定态是指( 能量具有确定值 )的状态，束缚态是指(无穷远处波函数为 零)的状态。 EE1211( 是定态的条件是,(x,t),,(x)exp(,it)，,(x)exp(,it)12,, ( )，这时几率密度和( 几率密度 )都与时间无关。 E,E12 12( ( 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 )称为隧道效应。 13( ( 无穷远处波函数为零 )的状态称为束缚态，其能量一般为( 分立 ) 谱。 14( 3(t=0时体系的状态为，，，，，，，其中，，为一维线性谐振,x,0,,x，,x,x03n 7ii,,t,,t22,(x)e，,(x)e子的定态波函数，则( )。 ，，,x,t,03 0,x,a15( 粒子处在的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 1 / 13 22,22,2,sinx( )，第一激发态的波函数为( )。 2aa,a 16( 基态是指( 能量最低 )的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数: 22,,x/2Ne( )。 0 317( 一维线性谐振子的第一激发态的能量为( )、第一激发态的波函数,,2 22,,x/2为( N2,xe )。 1 18( ( 对应于同一本征值的本征函数的数目 )称为简并度，不考虑电子自旋2时，氢原子的第n个能级的简并度为( n )。 19( 一维无限深势阱第n个能级的简并度为( 1 )，不考虑电子自旋时，氢原2子的第n个能级的简并度为( n )。 20( 一维线性谐振子第n个能级的简并度为( 1 )，考虑电子自旋以后，氢原2子的第n个能级的简并度为( 2n )。 26,21( 氢原子的状态为，角动量平方是( )、角动量分量R(r)Y(,,,)z3221 是( )。 , ˆF,22( 厄密算符的定义是:对于两任意函数和, 等式, **ˆˆ,F,dx,(F,),dx( )成立。 ,, 23( 力学量算符的本征值必为( 实数 )，力学量算符的属于两个不同本征值 的本征态必( 相互正交 )。 24( 力学量算符的属于( 不同本征值 )的本征函数必相互( 正交 )。 25( 量子力学中，力学量算符都是( 厄米 )算符，力学量算符的本征函数组 成( 完全 )系。 ˆ26( 算符在其自身 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 象中的矩阵为( 对角 )矩阵，例如在表象中=,,zz 10,,,,( )。 ,,0,1,, 2ˆˆˆˆˆˆ27( 如果[]=0，则存在组成( 完全 )系的共同本征态，的L,LF，GF，GZ 共同本征态是( Y(,,,) )。 lm ˆˆˆˆ28( 如果存在有组成( 完全 )系的共同本征态，则[]=( 0 )， F，GF，G 2ˆˆ的共同本征态是( )。 Y(,,,)L,LlmZ dxxˆˆˆe[L,L],29( 对易子( )，( )。 [,e],,i,Lyxzdx ˆˆˆˆˆ[L,L],0i,[x,p],30( ( )，( )，( )。 [x,p],i,Lxyyzx d,x,xˆˆ,ei,31( ( )。[y,p],( )，( 0 )。 [,e],[y,p],yxdx p,E,t~,x32( 能量与时间的测不准关系是( )，和的测不准关系是x ________2,22xp,,,,( )。 x4 ,(x,t)33( 在一维情况下，若粒子处于状态中，则在动量表象中的波函数为 2 / 13 i，,px,,C(p,t),( )。 ,(x,t)edx,,, 34ˆH34( 一维线性谐振子处在的本征态的迭加态,(x),(x),,(x),,(x)n2455 ，ˆH中，则在表象中一维线性谐振子的波函数为=( (0，0，3/5，0，, -4/5，0,…) )。 35( 斯特恩—革拉赫证实电子具有( 自旋 )角动量，它在任何方向上投影只 ,,能取两个值( )和( )。 ,22 ,,,ˆˆˆˆˆˆˆˆS，Si,S36( =( )，=( )。 ,,,,,i,2xyyxz 2ˆˆˆˆˆˆ37( =( 0 )，[]=( 0 )。 ,,，,,L,Lxyyxz ,cos,,,,,,38( 在表象中，粒子处在自旋态中，=( )。 scos2,,szz,,sin,2,, ,cos,,,,sin2,,,39( 在表象中，粒子处在自旋态中，=( )。 ,,xz,,sin,,, 011,,,,,2,,,,,s40( 在表象中，，则在状态中，=( )。 ,,s,sxxz,,,,121022,,,, 41( 全同性原理的内容是:( 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换 不引起物理状态的改变 )。 42( 泡里原理的内容是:( 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 )。 43( 描写电子体系的波函数只能是( 反对称 )波函数，而电子体系的自 )或者(反对称)的。 旋波函数则可以是( 对称 44( 电子是( 费密 )子，服从( 费密-狄拉克 )统计，描写电子体系的波 函数只能是( 反对称 )波函数。 45( 描写玻色子体系的波函数只能是( 对称 )波函数，而玻色子体系的自旋 波函数则可以是( 对称 )或者( 反对称 )的。 46( 描写费密子体系的波函数只能是( 反对称 )波函数，而费密子体系的自 旋波函数则可以是( 对称 )或者( 反对称 )的。 47( 光子是( 玻色 )子，服从( 玻色-爱因斯坦 )统计，描写光子体系的 波函数只能是( 对称 )波函数。 ―――――――――――――――――――――――――――――― 二、计算、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 题 0,0,x,a,U(x),1(粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出,，,,x,a,x,0, 粒子的定态能级和归一化波函数. x,0,x,a,U,,,,(0),0解:当 22,dˆ0,x,a,H,,E,,,,,E,.当 22dx, 3 / 13 22,Ed2k,令 得 ,，k,,0 22,dx ,(x),csinkx，ccoskx12 ？c,0,？,(0),0， ,(r),csinkx21？,(a),0,？sinax,0,ak,n,,(n,1,2,3,？) 222n,,n,(x),csinx,(n,1,2,？), E,,1n2a,a2 2a2dc,,,,,1 1n,a0 122，，2(一粒子在一为势场Ux,,,x,bx中运动，试求粒子的能级和归一化定态2波函数(准确解)。 解: 2222211,d,dbb2222ˆ,,H,,，,,x,bx() ,,，x,,222222dx,2,2,,2,,dx 22ddb,,x,x,令 则 222,,,dxdx 2221,db22,,,, H,,，x,222,22,,dx 222d1b,22, ,,，(,,x,),,E,2222,dx2,, 2221,db22,,,,,,,,, ,，x,EE,E，222,22,,dx 2,2,x,12,,, E,,,(n，),,(x),NeH(,x),(n,0,1,2,？)nnnn2 21b,,,,(，),,Enn2,,22 2，，,,,,bb,,,,,(x),Nexp,x,H(x,),(n,0,1,2,？) ,,nnn22,,2,,,,,,，， 3(一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 0,r,r;,0，，Ur, ,，,,r,r.0,试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数(不必归一化)。 s 21d2{ 提示:在态中 } s,f,(rf)2rdr解: 当 r,r,U,,,,(r),00 222,,d2ˆ，，r,r,,H,,E,,,,,E,,,r,,E,.当 0222rdr,, 4 / 13 22,Ed2k,令 得 (r,)，k(r,),0 22,dr ,(r),(ccoskr，csinkr)r12 c2？c,0,？,(0)有限， ,(r),sinkr1r ？,(r),0,？sinrk,0,rk,n,,(n,1,2,3,？)000 222,cnn,,2(r),sinr,(n,1,2,？)E ,,,nn2rr,r200 ,UU,0当0,x,a，，,00，，Ux, 4(粒子在一维势场中运动，试从薛定,当，,x,0,x,a, 谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。 x,0,x,a,U,,,,(0),01(当 解: 22,dˆ0,x,a,H,,E,,,,,U,,E,.当 022dx, 22(E，U),d20k,,，k,,0令 得 22,dx ,(x),csinkx，ccoskx12 ？c,0,？,(0),0， ,(r),csinkx21 ？,(a),0,？sinax,0,ak,n,,(n,1,2,3,？) 222n,,n,(x),csinx,(n,1,2,？), E,,U,1n02a,2a 2a2dc,,,,,1 1n,a0 ˆF5(利用力学量算符本征函数的正交归一完全性，证明 ,(x)n 2*ˆˆF式中，为本征值。 ,,(x)F,(x)dx,,c,nnn,n 解: ˆF,,,,,,,c, ,nnnnnn ***ˆˆ,(x)F,(x)dx,c,(x)Fc,(x)dx ,,mmnn,,mn **cc,,(x),(x)dx= ,,mnnmn,mn *cc,,= ,,mnnmnmn 2 ,,c,nnn ˆˆˆFF6(求证:如果算符和有一组共同本征态，而且组成完全系，则算符和,,Gnn ˆ对易。 G ˆˆF,,,,,G,,,,,,,c,解:设任一波函数,可展开为 ,nnnnnnnnn 5 / 13 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ=c(FG,GF),=. c,c(,,,,,),,0(FG,GF),,(FG,GF),,,nnnnnnnnnnnnn ˆˆˆˆ ？(FG,GF),0 7(求证:力学量算符的属于两个不同本征值的本征态相互正交。 ˆˆF,,,,,F,,,,,l,k解:设当时，. ,,,kkklllkl **ˆˆ,F,dx,(F,),dx代入 klkl,, *(,,,),,dx,0得 . lkkl, *？(,,,),0？,,dx,0. lkkl, 8(证明力学量算符的本征值必为实数。 解: ˆ设 F,,,, **ˆˆ,F,dx,(F,),dx在 中 ,, ,,,令 **ˆˆ,F,dx,(F,),dx得 ,, ***？,,,dx,(,,),dx,,,, ,, 9(证明:力学量在任意态中的平均值为实数。 解: 设已归一化，则 , *ˆF,,F,dx , **ˆˆ？,F,dx,(F,),dx ,, ****ˆˆ？F,(,F,dx),,(F,)dx ,, *ˆ,,F,dx,F. , 0,x,a10(粒子处在的一维无限深势阱中的基态，设t=0时阱壁突然运动x,a x,2a到，求此时粒子处于基态的几率。 2n,(x),sinx,(0,x,a)(n,1,2,？) 解: ,naa 1n,(x),sinx,(0,x,2a)(n,1,2,？) ,na2a aa2xx,,* c,(x)(x)dx,sinsindx,,111,,a2aa00 a,,2342xx(coscos),dx,= ,2223,aaa0 322 c,129, 1，，2,(x),Asinkx，coskx11(设粒子的状态为，求粒子动量和动能的可能值及相,,2，，应的几率。 解: 6 / 13 22ikx,ikxikx,ikx，，,,,,,1，eeee,,,,,,,，() ,xA,,,,222i,,,,,,，， ,,11111，，i2kx,i2kxikx,ikx,A，e，e，e，e ,,24444，， 1111111111，，,,i0kxi2kx,i2kxikx,ikx,2 ,，，，，A,eeeee,,24444,22,2,2,2,,,,,,，， 12由 得 A,c,1,n,, ，，22222,,p,k,(),x,,，,，,，,，, ，() ,,02p,2pp,p24444，， 111110,2p,,2p,p,,p动量的可能值为，对应几率为 ,,,,28888 22222p2ppp11111动能的可能值为，对应几率为 ,,,,0,,,,28888,,2,2, ˆˆˆ12(求证:,,,,i. xyz 证明: 122ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ,,,(,,,,),,,,,1,,,,,,,xyzzyyzyzzyi2 1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ,,,,,,,,,,(,)xyzyzzyyzi2 1ˆˆˆˆˆˆˆˆ ,(,,,,,,,,,)yzyzzyyzi2 1122ˆˆˆˆˆˆ ,(,,,,,,,,),(,1,1),izyzzyzi22i ˆˆˆL,L13(求证:[]=. i,Lxyz 解: ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ，，，，，，，，LL,LL,yp,zpzp,xp,zp,xpyp,zpL,L[]= 3分 xyyxzyxzxzzyxy ˆˆˆˆˆˆˆˆ=ypzp,ypxp,zpzp，zpxp zxzzyxyzˆˆˆˆˆˆˆˆ,zpyp，zpzp，xpyp,xpzp xzxyzzzyˆˆˆˆˆˆˆˆ= pzyp，zpxp,zpyp,pzxpzxzyzxzy ˆˆˆˆˆˆ，，，，,,zp,pzxp,yp,z,pL= zzyxzzˆ= i,Lz d,x,xˆˆi,y14(求证:[]=, . L,x[,e],,ezdx 解: ˆˆˆˆˆˆˆ，，，，Lx,xL,xp,ypx,xxp,yp []= L,xzzyxyxz 22ˆˆˆˆxp,ypx,xp，yxp = yxyx ˆˆˆˆ = ,ypx，yxp,y(xp,px),i,yxxxx 7 / 13 ddd,x,x,xeee [,,],(,),,dxdxdx dd,x,x,x,x ,,e,，e,,e,,,e,dxdx d,x,x ？[,e],,edx ,ˆ15(求L,,i,的本征值和归一化本征态。 z,, 解: diˆ ,(,),L,(,) L,(,),L,(,),zzzd,, iL,z,,(,),ce im, ,(,),,(,，2,),L,m,,,(,),e,m,0,1,2,？z2,12,,,()d1c,,, ,2,0 ,cos,,,ˆS,,表象中，(1)求出的本征值和本征态; (2)求在态中测得16(在,SSxxz,,sin,2,, 的几率。 解: 01,,,ˆ,,(1) ,Sx,,102,, 01,,,,01,, ,SS,,,,？,,,x1x21022,, 11,,,,22,,,,对应的本征为: ， ,,,,12,,,,,1122,,,, ,cos11,,,,,,22,,,,,,(2) a a,，，,,,,,,,11sin,,22,,,,,, ，,1cos,,,,222,,a,,, ,(cos,,sin,),？a,(1,sin2,)/2,,,,,,,12sin2,,,,, ˆˆˆˆˆˆˆK,LMK,17(设，[]=1，,为的本征态，对应的本征值为。求证:L,Mu,L, ˆK也是的本征态，并求出对应的本征值。 ˆ解: K,,,, ˆˆˆˆˆˆ， ？[L,M],1？ML,LM,1 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,,Ku,KL,LML,L(LM,1),LLM,L,LK,L ˆˆˆL,,,L,,(,,1)L,,(,,1)u ˆˆK,,1所以，也是的本征态，对应的本征值为() u,L, 122,,x,2,，，x,e18(一维线性谐振子处于基态，求该谐振子的动量处于12, 8 / 13 ，,2,x,p~p，dp内的几率。(提示:) edx,,20解: ，,，,22,,1xipx,,*,, ,,exp,,cdxdx,,pp,,,,2,2,,,,,,,,,22p，,2，，,,,1ip,,22,,2= ,，expexdx,,,,,22,,2,,,,,,,,,，，2p,,,12222,,=e ,,,,2 2p,22,,2ep~p，dp内的几率为cdp,dp p,,, 122,,x,2,19(一维线性谐振子处于基态，，，求该谐振子在动量表象中的波函数。x,e12, ，,2,x,( 提示:edx,) ,20 解: ，,，,22,,1xipx,,*,,(),,exp,, cpdxdx,,p,,,,2,2,,,,,,,,,22p，,2，，,,,1ip,,22,,2=,， expexdx,,,,,22,,2,,,,,,,,,，，2p,,,12222,,e= ,,,,2 2p,1222,,= e ,,, ,cos,,ˆ,,20. 在表象中，(1)求出的本征值和本征态; (2)求在态中测得,,xz,,sin,,, 的几率。 ,,,1x 解: 01,,ˆ,,(1) ,,x,,10,, ,0,1 ,0,,,,1,？,,1,,,,1x1x210,, 11,,,,22,,,,对应的本征为: ， ,,,,12,,,,,1122,,,, ,cos11,,,,,,22,,,,,,(2) a a,，，,,,,,,,11sin,,22,,,,,, 9 / 13 ，,1cos,,,,222,,a,,, ,(cos,,sin,),？a,(1,sin2,)/2,,,,,,,12sin2,,,,, 1,,,,，，，，RrY,,,2111,,21(设氢原子的状态为，求: 2,,,,，，，，c,RrY,,,3110,,(1)能量，的可能值和相应几率; L、Szz (2)能量，的平均值。 L、Szz 解: 231,,22由得，. c,，c,1,,42,, 1,,10,,,,1,,，，，，RrY,,,2111,,,,,,c,,,，. 2211310,,,,,,012,,,,,,，，，，c,RrY,,,3110,, 44,e,e13ss,,,,能量有两种可能值,, E,相应几率分别为; E,23228,18,44 13有两种可能值,, ,相应几率分别为; ,LL,,L,0zzz44 13S有两种可能值,, ,相应几率分别为; ,S,,/2S,,,/2zzz44 444,e,e,e713sss,,，,，,E= 2224481896,,, , ,Lz4 ,,, Sz4 22(设氢原子的状态为 3,,c,R(r)Y,(,,)，R(r)Y(,,,) ， 3220211,12 求:(1)氢原子能量、角动量平方、角动量分量的可能值和相应几率; z (2)氢原子能量、角动量平方、角动量分量的平均值。 z解: 2,,1322,, 由得，. c,c，,1,,42,, (1) 44,e,e13ss,,,,E能量有两种可能值, ,E相应几率分别为; ,322218,8,44 1322222L,6,LL,2,有两种可能值,, ,相应几率分别为; ,44 13有两种可能值,, ,相应几率分别为; ,LL,0L,,,zzz44 10 / 13 44431,e,e,e13sss,,，,，,(2) = E22244188288,,, 132222 L,，6,，，2,,3,44 3, ,,Lz4 1,,,,RrY,，，，，,,2111，,2,,,23(设氢原子的状态为，求: ,3,,，，，，RrY,,,,,31102,, (1)能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的可能值和相应几率; L、Szz (2)能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的平均值。 L、Szz解: 1,,,,,RrY，，，，,,211,110,,,,12,,,,,,. ,,,,，c,21,1310,,,,3012,,,,,,，，，，,RrY,,,,31102,, (1) 44,e,e13ss,,,,E能量有两种可能值,E, ,相应几率分别为; ,23228,18,44 13有两种可能值,, ,相应几率分别为; ,LL,,,L,0zzz44 13有两种可能值,, ,相应几率分别为; ,SS,,/2S,,,/2zzz44 444,e,e,e713sss,,，,，,E(2) = 2224481896,,, ,,, Lz4 ,,, Sz4 ,,CRrY,，，，，,,3111,,,,24(设氢原子的状态为，求: 3,,，，，，RrY,,,,,,411,12,, (1)能量，的可能值和相应几率; L、Szz (2)能量，的平均值。 L、Szz2,,1322,,由得，. c,c，,,1,,42,, ,,,,cRrY，，，，,,311110,,,,3,,,,,,,,,c,,,,. 331141,1,,,,,,012，，，，,,RrY,,,,,,,,411,12,, (1) 11 / 13 44,e,e13ss,,,,能量有两种可能值,, ,相应几率分别为; EE,332218,32,44 13有两种可能值,, ,相应几率分别为; ,LL,,L,,,zzz44 13有两种可能值,, ,相应几率分别为; ,S,,/2S,,,/2Szzz4444443,e,e,e13sss,,，,，,(2) = E2224418321152,,, ,,, Lz2 ,,, Sz4 ，，，，，，00025(一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级，假设微扰矩E、E、E123 b0a,,,,,阵为: ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正. H,0b0,, ,,a0b,, 解: 2,H,mn(0),, (n=1,2,3) E,E，H，,nnnn(0)(0)E,Emnm2a(0) E,E，b，11(0)(0)E,E13(0) E,E，b222a(0)E,E，b ，33(0)(0)E,E31，，，，，，00026(一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级，假设微扰矩E、E、E123 00b,,,,,阵为: ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。 H,00a,, ,,ba0,, 解: 2,H,mn(0),, (n=1,2,3) E,E，H，,nnnn(0)(0)E,Emnm2b(0)E,E， 11(0)(0)E,E132a(0)E,E， 22(0)(0)E,E2322ba(0)E,E， ，33(0)(0)(0)(0)E,EE,E3231，，，，，，00027(一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级，假设微扰矩E、E、E123 12 / 13 a0b,,1,,,阵为: ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。 H0a0,,,2 ,,b0a3,, 解: 2,H,mn(0),, (n=1,2,3) E,E，H，,nnnn(0)(0)E,Emnm2b(0) E,E，a，111(0)(0)E,E13(0) E,E，a2222b(0) E,E，a，333(0)(0)E,E31，，，，，，00028(一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级，假设微扰 E、E、E123 00a,,,,,矩阵为:H00b ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。 ,,, ,,,,ab0,,解: 2,H,mn(0),, (n=1,2,3) E,E，H，,nnnn(0)(0)E,Emnm2a(0)E,E， 11(0)(0)E,E132b(0)E,E， 22(0)(0)E,E2322ab(0)E,E，， 33(0)(0)(0)(0)E,EE,E3231 0,x,a29(在一维无限深势阱中运动的粒子，受到微扰作用后，势能为 bx,0,x,a,bU(x), (为小常量)，试用微扰论计算粒子的能级至一级修正。 ,，,,x,a,x,0, bx,0,x,a,ˆ,H(x),解: ,0,x,a,x,0, 222n,2n,,(0)(0) E,,(x),sinx,n,1,2,3？,nn2aa2a, a222,*n,(0)(0)(0)(1)ˆ,,(x)H,(x)dxE,E，E,， nnnnn,22a,0 a222nbnx,,2,,,xxdx,，, cos,,2,aaa2,,,0 222,n,ab ,，,n,1,2,3？2,22a 13 / 13