【 解析】【甘肃兰州、张掖一诊】甘肃省兰州市、张掖市2014届高三第一次诊断考试数学（文）
试题
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Word版含解析（ 2013高考）
2014年兰州市高三第一次诊断考试数学(文科)试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷每小题选出
答案
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后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫
米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。
第?卷
一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求)
P,{x|x(x,3),0}Q,{x||x|,2}P:Q,1. 已知集合，，则 ( )
(,2,0)(0,2)(2,3)(,2,3)A( B( C( D( 【答案】B
Pxxxxx,,,,,,{|(3)0}{|03}，【KS5U解析】因为集合
P:Q,(0,2)Qxxxx,,,,,,{|||2}{|22}，所以。
3,i2.是虚数单位,复数= ( ) i 1,i
2，i12,i1，2i2,iA( B( C( D(
【答案】A
31,，ii3,i，，，，3,i【KS5U解析】，因此选A。 ,,,，2i1,i111,,，iii，，，，
3.已知等差数列{}a中，aaaaa，,,,,0,4，记Saaa,，，，，S=( ) 13n3710114nn12
A(78 B(68 C(56 D(52 【答案】D
4【KS5U解析】因为aaaaa，,,,,0,4。所以S=52. ad,,1337101141，所以7
4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )
44,,3，333，33 A( B( C( D(，,,，6336 【答案】D
【KS5U解析】由三视图知:原几何体是一个三棱锥和球的组合体。其中三棱锥的侧棱长为
3341,,,2333，底面边长为2。球的直径为1，应该几何体的体积为，,，，，，,23,,6432,,。 5.设,则( ) a=log2b=log3c=log5，，321
2
A(c，b，a B(a，c，bC. c，a，b( D(b，c，a
【答案】C
【KS5U解析】因为，0
标准
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是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20?X<80时，认定为酒后驾车;当X?80时，认定为醉酒驾车，张掖市公安局交通管理部门在对我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X(单位:毫克)的统计结果如下表:(
0,2020,4040,6060,8080,100100,，,，，，，，，,X ,,,,,
人数 t 1 2 1 1 1
依据上述材料回答下列问题:
(1)求t的值:
(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率 P
PABCD,19.(本题满分12分)如图，在四棱锥中，
E底面，是直角梯形， PC,ABCDABCD
ABCD//，， ABAD,
ABABADCDE,,,222,是的中点。 PB
DC
(1)求证:EC//平面PAD
(2)求证:平面平面 EAC,PBC
22xyF(1,0),F(1,0)20((本小题满分l2分)设椭圆的焦点分别为、，，,1(a,b,0)2122ab
2x,a直线交轴于点，且( AFAF,2xAl:12
(1)试求椭圆的方程;
FF(2)过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点(如图所DEMN12
DMEN示) 试求四边形面积的最大值和最小值(
21.(本小题满分12分)
12已知函数， ，，，，fx,lnx,gx,ax，bx,1
2
(1)当且时，证明:对，，，，，; fx,gxa,0b,1,x,0
(2)若，且，，，，，，存在单调递减区间，求的取值范围; hx,fx,gxab,2
,(3)数列,,，若存在常数，，都有，则称数列,,有上aa,MaM,0,n,Nnnn
11b界。已知，试判断数列,,是否有上界( b,1，，？，nnn2
四、选做题:
22.(本题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
,ABC，ABC,90:如图，是直角三角形，，以为直径的圆交于点，ABEOAC
A 点是边的中点，连接交圆于点. DMBCODO
(1)求证:、、、四点共圆; BDEOE
22DE,DM,AC，DM,AB(2)求证: O
M
D C B 23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取xxoyxoy
,,,x3cos相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为(为参数)，直线的,l,y,sin,,
,极坐标方程为. cos(,),22,,4
(1)写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程; l
(2)求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标。 l
24((本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
3322x，y,xy，xy (1) 已知、都是正实数，求证:; xy
2fxax()(2)?,, (2) 如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围( Rxa
数学(文科)答案
(仅供参考)
一、选择题:1——6 D A D D C D 7——12 B C C B B A 二、填空题:
na,,,q,1,1,2n13，16 914 —3， 15 y,3xa(1,q),1q,,,,1 , 1,q,
三、 解答题:
17.解:? m,(cosB，cosC)，n,(2a+c，b)，且m?n. ?cosB(2a+c)+ b cosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ?cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0
?2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0
即2cosBsinA=,sin(B+C)=,sinA。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ?cosB=,1,2
?0?B?180
?B=120.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
(2)由余弦定理，得
2222222 b,a，c,2accos,,a，c，ac,(a，c),ac3
a，c3222 当且仅当时，取等号.。。。。10分 ,(a，c),(),(a，c)a,c24
2a，c,2？(a，c),4 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分
a，c,b,3？a，c,(3,2]又 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
18(本小题满分12分)
解:(?)200-6=194 „„„„„4分
ABC、、ab、(?)令酒后驾车的司机分别为、D,醉酒驾车的司机分别为
则所有抽取的可能为
(,)AC(,)Aa(,)Ab(,),(,)BCBa(,),(,),(,),(,)BbCaCbab(,)AB,,(A,D),,(B,D),
(C,D),(D,a),(D,b)
93则含有醉酒驾车司机概率为„„„„„12分 ,155
19(本小题满分12分)
(1) 作线段AB的中点F.连接EF,CF.则AF=CD AF?CD
所以四边形ADCF是平行四边形
则CF?AD
又EF?AP 且CF?EF=F
?面CFE?面PAD
又EC包含于面CEF
?EC//平面PAD …………6分
(2)(?)法一:几何方法证明:勾股定理?AC?BC，由已知得AC?PC，证出AC?平
面PCB，得证.…………………………………………….6分
20(本题12分)
2 解:(1)由题意， ||22,(,0),FFcAa,,？12
？FAF 为的中点 ？AF,2AF2112
22？a,3,b,2
22xy 即:椭圆方程为 …………………………………………(,分) ，,1.32
24bDMEN (2)当直线与轴垂直时，，此时，四边形DEx|MN|,2a,23||2DE,,a3
||||DEMN,DMEN的面积(同理当与轴垂直时，也有四边形的面xMNS,,42
||||DEMN,积( 当直线，均与轴不垂直时，设:，代入xy,k(x，1)DEDEMNS,,42
2,,6kx，x,,222212,2消去得: 设y(2，3k)x，6kx，(3k,6),0.,2，3kDxyExy则(,),(,),,112223k,6,xx,,122,2，3k,
2243(k，1)243,k，12所以，，所以，， |DE|,k，1|x,x|,|x,x|,(x，x),4xx,12212121222，3k3k，2
11243[()1]43(1),，，2同理………………………9分kk||.MN,,13223()2，,，2kk
11224(k，，2)43(，1)222所以四边形的面积|DE|,|MN|143(k，1)kk,S,,,,213222，3k26(k，)，132，22kk
124(2，u)42令u,k，,得S,,4,213，6u13，6uk
1296因为当， u,k，,2,k,,1时,u,2,S,225k
96且S是以u为自变量的增函数，所以( ,S,425
9696DMEN 综上可知，(故四边形面积的最大值为4，最小值为(……12分 ,,S42525
，，，，g(x),fx,gx,lnx,(x,1),lnx,x，121。解:?当且时，设，a,0b,1
1//，……1分，解得。 g(x),0,x,0g(x),,1x,1
x
1/当时，，单调递增;当时，0,x,1g(x),,1,0g(x)x,1
x
1/，单调递减，所以在处取最大值，即g(x),,1,0g(x)g(x)x,1
x
，，即，，，，……4分 fx,gx,x,0g(x),g(1),ln1,1，1,0lnx,x,1
12(2)若，，，，，，，= hx,fx,gxb,2lnx-ax-2x，1
2
21ax2x1，,hx-ax-2所以，， ,,,,xx
,因为函数，，存在单调递减区间，所以，，在，，上有解 hxhx,00,，,2，，所以在上有解 0,，,ax，2x,1,0
212,,1,2xa，，，，所以在上有解，即使得 0,，,，x,0,，,,,,,a,2xxx,,12令，则，研究，当时， y,,1y,t,2t,t,0t,,x,0t,0t,1minx
所以…………8分 a,,1
,,(3)数列b无上界 n
111n，111,ln(1，),,lnx,1,x,1，，设，，由?得，，,n,Nnnnnnn
23n，111b,ln，ln，？，ln所以，，,ln(n，1),M,0,1，，？，nn12n2
MM取为任意一个不小于的自然数，则，数列nb,ln(n，1),lne,Men,,b无上界。…………12分 n
四、选做题
BEOEBE,EC22.证明:(1)连接、，则
DE,BD 又是BC的中点，所以 D
OE,OBOD,OD 又，
,ODE,,ODB 所以.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 ，OED,，OBD,90: 所以
所以、、、四点共圆 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 BDEO
HDO (2)延长交圆于点 O
2DE,DM,DH,DM,(DO，OH) 因为
,DM,DO，DM,OH.。。。。。。。。。。。7分
112所以 DE,DM,(AC)，DM,(AB)22
22DE,DM,AC，DM,AB所以 。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
2x2x，y,4,0l23.(1)曲线C:，直线:。。。。。。。。。。。。。5分 ，y,13
3132(2) P()。。。。。。。。。。。。。。。。10分 ,,,22
332222(x，y),(xy，xy),x(x,y)，y(y,x)24.(1)证明:由
222,(x,y)(x,y),(x,y)(x，y)。。。。。。3分
又、都是正实数， yx
23322x，y,0(x,y),0(x，y),(xy，xy),0所以、，即 3322x，y,xy，xy所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
2fx()gx()gxax()(2),,,(2) 设，由函数的图像与的图像可知: fx()x,,[1,5]fx()x,2在时取最小值为6，在时取最大值为， afxgx()(),a,6若恒成立，则. 。。。。。。。。。。10分
浙公网安备 33021202002483