3.1.1 两角差的余弦公式
吉林大学附属中学 吴普林
一、教材分析
本节课是高中数学必修4（人教A版）第三章3.1.2两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。
在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受。
本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，因此本节内容对于后续内容三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的解决有重要的支撑作用。
二、学生学习情况分析
1．有利因素
本节课的内容就是“推导两角差的余弦公式”，用到的工具有“单位圆中三角函数的定义”和“平面向量数量积的定义及数量积坐标
表
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示”。都属于刚刚学过的基础知识，内容简单，容易理解和接受，这是学习本节课的有利因素。
2．不利因素
由于使用了“平面向量的数量积”来推导公式，而向量夹角范围是
，这与两角差
的围并不一致，还要分类计论，这是由使用的推导工具造成的。分类计论是学生的弱项，客观上也成为学习本节的不利因素，也成为本节课的一个难点。
三、教学目标分析
课标要求：了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；理解两角差的余弦公式.
1．知识与技能目标
理解用向量方法推导两角差的余弦公并能够初步运用.
2．过程与方法目标
在两角差余弦公式的推导过程中，进一步体会向量方法的作用，体会分类讨论的思想、联系与化归思想的运用。
3．情感、态度与价值观目标
感悟事物之间普遍联系和转化的关系。
四、教学重点、难点分析
重点：两角差的余弦公式的推导与运用
难点：两角差余弦公式的推导过程
解决难点的关键是，搞清向量夹角的范围，运用数形结合的思想，使角的关系变得形象直观，容易找到
与向量的夹角
之间的等量关系
，从而降代难度，化解难点。
五、教法与学法分析
1．教法分析
本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此本节课在内容的安排上，特别注意引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化分类讨论的数学思想和转化与化归的方法来惯穿各个环节。
2．学法分析
在教师的指导下，通过认真观察，积极思考，用数形结合的方法从直观上打开突破口，探究归纳出两角差的余弦公式。
六、教学用具分析
几何画板课件
七、教学过程分析
教学环节
设计意图
（一）复习引入，揭示课题
1．任意角
的定义是怎样的？
2．平面向量的数量积是怎样定义的？坐标表示是怎样的？
温故是为了作好铺垫，猜想是为了打消杂念。
“先猜想后证明“是培养学生新意识的有效途径，也是数学发现的主要图径。虽然在这个公式中的猜想失败了，但是要鼓励猜想.
3．我们知道
，
，那么
是否等于
呢？（显然不是）
下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）公式推导
1．当
时
如图，
则
又
∴
2．当
时
思考：上面图中向量
的夹角是怎样的？，范围是怎样的？
（
，且
）正与向量夹角的范围相符，所以我们自然地列出了表达式
，但是
的范围可不可能超出
呢？
探究：利用几何画板演示，将OA旋转
到下图的位置，显然此时
已经不是
向量
的夹角，在
范围内，
是向量夹角的补角.我们设夹角为
，则
＋
＝
此时，
＝
∴
综上，对任意角
都有
公式的推导过程，是“分类讨论”的过程，但这是一种不对称的分类方式，是由于所用工具向量夹角的限制造成的，学生很难一下理清分类的范围。
教学中，我把推导过程灵活处理成“从特殊到一般”的过程，从最常见的图形入手，再逐渐引导，通过问题引发思考，层层深入，最后达到推导的完备。
这样做容易上手，由浅及深，更符合学生的认知特点，也使难度大大削弱，从而突破难点.
（三）巩固应用
例1 利用余弦公式计算
的值.
分析：
，
变式：怎样求
的值？
例2 已知
，
是第三象限角，求
的值.
把一个具体角构造成两个角的差，有多种构造方法，可以锻炼学生思维的灵活性.
（四）小结
学习两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程.在解题过程中注意角
、
的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（五）评价与作业
1. 已知
2.
3. 思考：
＝？
4．选作：参照教材，并上网查找两角差余弦公式的其它推导方式
评价与作业体现了基础性，灵活性和发展性，注意调动学生的学习积极性。
八、教学设计说明
教学的最高的目标，是把一个复杂的问题，处理得通俗易懂。两角差的余弦公式，有多种证明方法，在教材改革过程中也经历过不同的偿试。这是因为在教学过程中，教法和学法的选择往往是上位的，它直接决定了问题处理起来的难易程度。本书采用的“向量数量积”的方式，是较简单的一种方式，而难点也由此产生，要根据向量夹角的范围来进行分类讨论，为了降低难点，我大胆采用了“从特殊到一般”的处理方式，而没有上来就分类讨论，化解了难点。另外，教材中还绍了从三角函数线的角度进行证明的一种思路，根据实际情况，进行了大胆取舍，作为课外探究内容，同时也丰富了评价的层次性，调动了学生积极性。
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