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(数学精品教案)人教版A高中数学必修2优秀教案.doc

(数学精品教案)人教版A高中数学必修2优秀教案

xue美玲
2017-09-01 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《(数学精品教案)人教版A高中数学必修2优秀教案doc》,可适用于高中教育领域

(数学精品教案)人教版A高中数学必修优秀教案讲义:空间几何体一、教学要求:通过实物模型观察大量的空间图形认识柱体、锥体、台体、球体及简单组合体的结构特征并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构二、教学重点:让学生感受大量空间实物及模型概括出柱体、锥体、台体、球体的结构特征三、教学难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括四、教学过程:(一)、新课导入:导入:进入高中在必修的第一、二章中将继续深入研究一些空间几何图形即学习立体几何注意学习方法:直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算(二)、讲授新课:教学棱柱、棱锥的结构特征:、讨论:给一个长方体模型经过上、下两个底面用刀垂直切得到的几何体有哪些公共特征,把这些几何体用水平力推斜后仍然有哪些公共特征,、定义:有两个面互相平行其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体叫棱柱列举生活中的棱柱实例(三棱镜、方砖、六角螺帽)结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线、分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等表示:棱柱ABCDEA’B’C’D’E’、讨论:埃及金字塔具有什么几何特征,、定义:有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这些面所围成的几何体叫棱锥结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高讨论:棱锥如何分类及表示,、讨论:棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质,有什么共同的性质,棱柱:两底面是对应边平行的全等多边形侧面、对角面都是平行四边形侧棱平行且相等平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥:侧面、对角面都是三角形平行于底面的截面与底面相似其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方教学圆柱、圆锥的结构特征:讨论:圆柱、圆锥如何形成,定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥结合图形认识:底面、轴、侧面、母线、高表示方法讨论:棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征,柱体、锥体观察书P若干图形找出相应几何体三、巩固练习:已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为cm,,面积为cm,求圆锥的底面半径已知圆柱的底面半径为cm,,轴截面面积为cm,求圆柱的母线长正四棱锥的底面积为,侧面等腰三角形面积为,求正cmcm四棱锥侧棱(四)、教学棱台与圆台的结构特征直线经过点(,,,)且与两坐标轴围成单位面积的三角形求该直线的方程((四)小结:一般式(五):作业题P讲义八:两条直线的交点坐标第一课时两条直线的交点坐标一、教学要求:进一步掌握两条直线的位置关系能够根据方程判断两直线的位置关系理解两直线的交点与方程的解之间的关系会求两条相交直线的交点坐标二、教学重点:理解两直线的交点与方程组的解之间的关系三、教学难点:理解两直线的交点与方程组的解之间的关系四、教学过程:(一)、复习准备:讨论:如何用代数方法求方程组的解讨论:两直线交点与方程组的解之间有什么关系,(二)、讲授新课:教学直线上的点与直线方程的解的关系:讨论:直线上的点与其方程AXBYC=的解有什么样的关系,练习:完成书上P的填表直线L上每一个点的坐标都满足直线方程也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标讨论:点A(,)是否在直线L:XY=上,点A(,)是否在直线L:XY=上,A在L上所以A点的坐标是方程XY=的解又因为A在L上所以A点的坐标也是方程XY=的解。即A的坐标(,)是这两个方程的公共解因此(,)是方程组XY=XY=的解讨论:点A和直线L与L有什么关系,为什么,出示例:求下列两条直线的交点坐标L:XY=L:XY=(教学如何利用方程判断两直线的位置关系,如何利用方程判断两直线的位置关系,两直线是否有公共点要看它们的方程是否有公共解。因此AXBYC=只要将两条直线L和L的方程联立得方程组AXBYC=(若方程组无解则LL若方程组有且只有一个解则L与L相交若方程组有无数解则L与L重合出示例:判断下列各对直线的位置关系如果相交求出交点坐标。()L:xy=L:xy=()L:xy=L:xy=()L:xy=L:xy=小结:两条直线交点与它们方程组的解之间的关系求两条相交直线的交点及利用方程组判断两直线的位置关系(三)、巩固练习:、求经过点且经过以下两条直线的交点的直线的方()程:lxy:,,,lxy:,lykxklxy::,,,,与直线、为何值时直线的交点在第k一象限、作业:P、第二课时两点间的距离一、教学要求:使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式使学生初步了解解析法证明教学中渗透由特殊到一般再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想二、教学重点:猜测两点间的距离公式三、教学难点:理解公式证明分成两种情况四、教学过程:(一)、复习准备:提问:我们学习了有向线段现在有问题是:如果A、B是x、x、y、轴上两点C、D是y轴上两点它们坐标分别是xABCy那么|AB|、|CD|又怎样求,(|AB|=|xX||CD|=|yy|)DBACD讨论:如果A、B是坐标系上任意的两点那么A、B的距离应该怎样求呢,(二)、讲授新课:教学两点间的距离公式:讨论:()求B()到原点的距离是多少根据是什么(通过观察图形发现一个Rt应用勾股定理得到的)xyxy讨论:()那么B()到A()又是怎样求呢根据是什么,,根据()的方法猜想,()也构造成Rt给出两点间的距离公式:设是平面直角坐标AxyBxy(,),()系中的两个点则||()()ABxxyy,,,AB(,),(,),,出示例:已知点():求的值||AB():在轴上求一点使并求的值||||PAPB,||PAPX(讨论:点应该怎么设,怎样利用两点间的距离公式,)P练习:已知两点,求的值,并在轴上求一点,AB(,),(,)||AByp使PAPB|||,示例:证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和(分析:首先建立适当的坐标系,用坐标表示有关量,然后进行代数运算,最后把代数运算”翻译”成几何关系)点()()求证:是等腰三角形ABCABC(,),出示例:已知(分析:通过利用两点的距离公式,找出两边相等,并有两边的斜率关系说明A、B、C、三点不共线从而证明是等腰三角形)练习:已知的顶点坐标是ABC(,)()(),求,ABC,ABC三条中线的长度(小结:两点间的距离公式两点间的距离公式的应用(三)、巩固练习:、求两点的距离AB(,)(,),,与间、已知点AaBa(,)(,),,与间的距离是则值为多少a、已知点求的值PaQMPQPM(,),(,),(,),||||,,,且x、求在轴上与点的距离为的点的坐标A(,)PA|=||PB,、已知若求点的坐标AB(,)()P、求函数的最小值yxxx,,、作业:教材P、第三课时点到直线的距离两条平行直线间的距离一、教学要求:使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点并能运用这一公式学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法教学中体现数形结合、转化的数学思想培养学生研究探索的能力(二、教学重点:点到直线的距离公式的研究探索过程三、教学难点:点到直线的距离公式的推导四、教学过程:(一)、复习准备:、提问:两点间的距离公式、讨论:什么是平面上点到直线的距离,怎样才能求出这一段的距离,、讨论:两条平行直线间的距离怎样求,(二)、讲授新课:教学点到直线的距离:探讨:如何求平面上一点到一直线的距离,已知点P()和直线:xy=求P点到直线的距离((分析:先求ll出过P点与垂直的直线l:xy=再求出与l的交点ll则||pp=即为所求)p()若已知点P(mn)直线l:y=kxb求点P到l的距离d(则运算非常复杂((,)xy通过构造三角形由三角形面积公式可得:点p到直线距离lAxByC:,||AxByCd,AB出示例:求点到直线的距离pyx,()出示例:已知点求的面积ABC(,),()(),ABC练习:已知直线BC的方程是求的BC边上A(,)xy,,ABC的高(教学两条平行直线间的距离:讨论:两条平行直线间的距离怎么求,(是指夹在两条平行直线间公垂线段的长)可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离出示例:已知直线与是否平lxylxy:,:,,,,,,ll行,若平行求与间的距离lla练习:若直线与直线平行则的值axy,xy,,,练习:求两条平行直线的距离lxylxy:,:,,,(小结:点到直线的距离两条平行直线间的距离(三)、巩固练习:、求点到下列直线的距离:p(,),()()()y,x,yx,、求过点且与距离相等的直线方程M(,),AB(,),(,),、做直线使之与点的距离等于求此直线方程B(,)A(,)、求两条直线lxylxy:,:,,,的夹角平分线方程、求与直线平行且到的距离为的直线的方程lxy:,,l、作业p、讲义九:圆的方程第一课时圆的标准方程一、教学要求:使学生掌握圆的标准方程的特点能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径解决一些简单的实际问题并会推导圆的标准方程二、教学重点:圆的标准方程的推导步骤根据具体条件正确写出圆的标准方程(三、教学难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题四、教学过程:(一)、复习准备:提问:两点间的距离公式,讨论:具有什么性质的点的轨迹称为圆,圆的定义,(二)、讲授新课:圆的标准方程:建系设点:AC是定点可设C(ab)、半径r且设圆上任一点M坐标为(xy)(写点集:根据定义圆就是集合P={M||MC|=r}=r列方程:由两点间的距离公式得()()xayb,,()()xaybr,,,化简方程:将上式两边平方得,,,(建系设点写点集列方程化简方程圆的标准方程,(standardequationofcircle))思考:圆的方程形式有什么特点,当圆心在原点时圆的方程是什么,师指出:只要abr三个量确定了且r,圆的方程就给定了(这就是说要确定圆的方程必须具备三个独立的条件(注意确定a、b、r可以根据条件利用待定系数法来解决(圆的标准方程的应用写出下列各圆的方程:()圆心在原点半径是()经过点P()圆心在点C()(指出:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程()已知两点P()和P()求以PP为直径的圆的方程试判断点M()、N()、Q()是在圆上在圆内还是在圆外,(从确定圆的条件考虑需要求圆心和半径可用待定系数解决)的三个定点的坐标分别是A(,),B(,),C(,),求它的ABC外接圆的方程(用待定系数法解)已知圆心为C的圆经过点A(,)和B(,),却圆心C在直线上求圆心为C的圆的标准方程。L:xy,,小结:(圆的方程的推导步骤:建系设点写条件列方程化简说明(圆的方程的特点:点(ab)、r分别表示圆心坐标和圆的半径(求圆的方程的两种方法:()待定系数法确定abr()轨迹法:求曲线方程的一般方法((三)、巩固练习:练习:P求下列条件所决定的圆的方程:()圆心为C()并且与直线xy=相切()过点A()圆心在直线y=x上且与直线y=x相切(已知:一个圆的直径端点是A(xy)、B(xy)(证明:圆的方程是(xx)(xx)(yy)(yy)=(作业P习题、题第二课时圆的一般方程一、教学要求:使学生掌握圆的一般方程的特点能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径能用待定系数法由已知条件导出圆的方程(二、教学重点:()能用配方法由圆的一般方程求出圆心坐标和半径()能用待定系数法由已知条件导出圆的方程(三、教学难点:圆的一般方程的特点四、教学过程:(一)、复习准备:提问:圆的标准方程,xyxy,,对方程配方化为圆标准方程形式则圆心、半径,(二)、讲授新课:(圆的一般方程的定义xyDxEyF,()分析方程表示的轨迹)当DEF,,时方程()与标准方程比较可以看出方程DE,,,,,表示以为圆心为半径的圆。DEF,,,,,DE)当DEF,,时方程只有实数解。它表示xy,,,,,DE一个点(,),,)当DEF,,时方程没有实数解因而它不表示任何图形(()给出圆的一般方程的定义xyDxEyF,当DEF,,时方程叫做圆的一般方程。()思考:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点,(圆的一般方程的运用MM(,),(,))求过三点O(,),的圆的方程并求这个圆的半径长和圆心坐标。(小结:(用待定系数法求圆的方程的步骤:根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程解方程组求出a、b、r或D、E、F的值代入所设方程就得要求的方程())求圆心在直线l:上且过两圆Cxy,xyxy,,,xyxy=和C:的交点的圆的方程(小结:一般方程化标准方程配方法待定系数法(三)巩固练习:P(练习求下列各圆的一般方程:()过点A()圆心在点C()()过三点A()、B()、C()((已知一曲线是与两定点OA(,),(,)的距离的比为的点的轨迹求这个曲线的方程并画出曲线p(作业:习题第题讲义十:直线与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系(课时)一、教学要求:理解和掌握直线与圆的位置关系利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题。二、教学重点:直线与圆的位置关系三、教学难点:直线与圆的位置关系的几何判定四、教学过程:(一)、复习准备:在初中我们知道直线现圆有三种位置关系:()相交有一两个公共点()相切只有一个公共点()相离没有公共点。在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系,现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系,(二)、讲授新课:,圆圆心到直线的距离设直线lAxByC:,Cxaybr:,,,AaBbCd,AB利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定:比较圆心到直线的距离d与圆的半径rdr,直线与圆相交dr,直线与圆相离dr,,直线与圆相切看直线与圆组成的方程组有无实数解:有解,直线与圆有公共点有一组则相切:有两组,则相交:b无解,则相离例题讲解:例直线与圆相切,求r的值xyr,,yx,例如图,已知直线和圆心为C的圆lxy:,,xyy,,,判断直线与圆的位置关系如果相交,求出他l们交点的坐标M,Cxy:,例如图,已知直线过点且和圆相交,截得弦l长为,求的方程llxy:,,Cxy:,练习已知超直线,圆求直线被l圆C截得的弦长小结:判断直线与圆的位置关系有两种方法()判断直线与圆的方程组是否有解a有解,直线与圆有公共点有一组则相切有两组,则相交b无解,则直线与圆相离AaBbC()圆心到直线的距离与半径的关系:d,AB如果直线与圆相交dr,如果直线与圆相切dr,如果直线与圆相离dr,(三)、巩固练习:xyxy,,圆上到直线的距离为的点的坐标lxy:,求圆心在直线上,且与两坐标轴相切的圆的方程xy,,xy,若直线与圆()相交()相切()相离分别求xya,,,实数a的取值范围(四)作业:p题第二课时圆与圆的位置关系一、教学要求:能根据给定圆的方程判断圆与圆的位置关系二、教学重点:能根据给定圆的方程判断圆与圆的位置关系三、教学难点:用坐标法判断两圆的位置关系四、教学过程:(一)、复习准备两圆的位置关系有哪几种,设圆两圆的圆心距设为d当时两圆dRr,C当时两圆dRr,A当时两圆||RrdRr,,,OB当时两圆dRr,||C图当时两圆dRr,|,(如何根据圆的方程判断它们之间的位置关系,(探讨)(二)、讲授新课:两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断Cxyxy:,,Cxyxy:,,,例已知圆圆试判断圆与圆的关系,CC(配方圆心与半径探究圆心距与两半径的关系)(两圆的位置关系利用圆的方程来判断方法:通常是通过解方程或不等式和方法加以解决xymxym,,,例圆的方程是:圆的方程是:CCxyxmym,,,,m为何值时,两圆()相切()相交()相离()内含思路:联立方程组讨论方程的解的情况(消元法、判别式法)交点个数位置关系)xyx,,xyym,,练习:已知两圆与问m取何值时两圆相切。小结:判断两圆的位置关系的方法:()由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定()依据连心线的长与两半径长的和或两半径的差的绝对值rr的大小关系(三)、巩固练习:xyx,,xy,求经过点M(,),且与圆与交点有圆的方程xy,xyx,,已知圆C与圆相外切,并且与直线相切于点Q(,),求圆C的方程xy,,xy,求两圆和的外公切线方程Cxyy:,,,Cxyxy:,,求过两圆和圆的交点,且圆心在直线上的圆的方程lxy:,,(四)、作业:P练习题p题第三课时,,,直线与圆的方程的应用一、教学要求:利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题二、教学重点:直线的知识以及圆的知识三、教学难点:用坐标法解决平面几何四、教学过程:(一)、复习准备:()直线方程有几种形式分别为什么()圆的方程有几种形式分别是哪些()求圆的方程时,什么条件下,用标准方程什么条件下用一般方程()直线与圆的方程在生产生活实践中有广泛的应用想想身边有哪些呢(二)、讲授新课:出示例图所示是某圆拱形桥这个圆拱跨ABm,OPm,,拱高,建造时每间隔m需要度AB用一根支柱支撑,求支柱的高度(精确m)出示例已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半(提示建立平面直角坐标系)小结:用坐标法解题的步骤:建立平面直角坐标系,将平南几何问题转化为代数问题利用公式对点的坐标及对应方程进行运算,解决代数问题:根据我们计算的结果,作出相应的几何判断(三)、巩固练习:赵州桥的跨度是m圆拱高约为m求这座圆拱桥的拱圆的方程用坐标法证明:三角形的三条高线交于一点xy,yx,,求出以曲线与的交点为顶点的多边形的面积机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径已知量球的直径为厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径(四)、作业:P练习题第四课时直线、圆的方程练习课一、复习准备:()直线方程有几种形式分别为什么()圆的方程有几种形式分别是哪些()如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系,()如何根据圆的方程判断它们之间的位置关系二、讲授新课推导标准方程例推导以点A(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程xy,,,练习:一个圆经过点A(,)与B(,)圆心在直线上,求此圆的方程xy,,xy,,例求圆上的点到的最远、最近的距离轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式。Oxy:,l例求过点A(,)作直线交圆于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程练习:由圆外一点引圆的割线交圆于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹弦问题主要是求弦心距(圆心到直线的距离)弦长圆心角等问题。一般是构成直角三角形来计算xy,例直线经过点且和圆相交截得的弦长为l,求的方程。l对称问题圆关于点对称圆关于圆对称例求圆关于点对称的圆的方程xy,,,xy,,,lxy:,,,练习:求圆关于直线对称的圆的方程三、巩固练习从圆外一点P(,)向圆xy=引割线,交该圆于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程等腰三角形的顶点是A()底边一个端点是B(,)求另一个端点的轨迹是什么已知圆的半径为圆心在直线上圆被直线截y,xx,y,得的弦长为求圆的方程四、典型题摘抄:例、已知圆C的圆心坐标是(,),且圆C与直线xy=相交于P,Q两点,又OPOQ,O是坐标原点,求圆C的方程解:()设而不求思想的应用()OPOQ转化为xxyy=从而可求得r=()、所求的圆的方程为xy,,例、已知C满足:()、截y轴所得的弦长为()被x轴分成两段圆弧其弧长之比为:()、圆心到直线L:xy=的距离为求此圆的方程。解:或xy,xy,,,讲义十一:空间直角坐标系第一课时空间直角坐标系教一、教学要求:使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。二、教学重点:在空间直角坐标系中确定点的坐标三、教学难点:通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标教学过程:(一)复习准备:提问:平面直角坐标系的建立方法点的坐标的确定过程、表示方法,讨论:一个点在平面怎么表示,在空间呢,(二)、讲授新课:空间直角坐标系:,,,,是单位正方体以A为原点分别如图OBCDDABC,,以OD,O,OB的方向为正方向建立三条数轴Ax轴y轴z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz)叫做坐标原点)x轴y轴z轴叫做坐标轴)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。右手表示法:令右手大拇指、食指和中指相互垂直时可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向食指指向为y轴正向中指指向则为z轴正向这样也可以决定三轴间的相位置。有序实数组)间一点M的坐标可以用有序实数组来表示有序实数(,,)xyz组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标记作(x(,,)xyzMxyz(,,)叫做点M的横坐标y叫做点M的纵坐标z叫做点M的竖坐标思考:原点O的坐标是什么,讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。,,,,,)例题:在长方体中写出OBCDDABC,OAoCOD,,,,,,,,,,DCAB,,,四点坐标(建立空间坐标系写出原点坐标各点坐标)讨论:若以C点为原点以射线BC、CD、CC方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴建立空间直角坐标系那么各顶点的坐标又是怎样的呢,(得出结论:不同的坐标系的建立方法所得的同一点的坐标也不同。)练习:VABCD为正四棱锥O为底面中心若AB=VO=试建立空间直角坐标系并确定各顶点的坐标。(三)、巩固练习:(练习:P,已知M(,,)画出它在空间的位置。思考题:建立适当的直角坐标系确定棱长为的正四面体各顶点的坐标。(四)(小结:(空间直角坐标系内点的坐标的确定过程(有序实数组五(作业课本P第二课时空间两点的距离公式一、教学要求:使学生掌握空间两点的距离公式由来及应用。二、教学重点:空间两点的距离公式的推导。三、教学难点:空间两点的距离公式的熟练应用。四、教学过程:(一)、复习准备:提问:平面两点的距离公式,建立空间直角坐标系时为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点,(二)、讲授新课:空间两点的距离公式()已知两点(,,),(,,)求此两点间的距MxyzMxyz离d。如图所示ΔMPQ和ΔMQM都是直角三角形根据勾股定理,和(MQ),(MP)(PQ)d,MM,(MQ)(QM)。把(MQ)代入d,得d,(MP)(PQ)(QM),又因MP,y,y,PQ,x,xQM,z,z从而得两点的距离公式:。d,(x,x)(y,y)(z,z)思考:)点M(xyz)于坐标原点O()的距离,)MM两点之间的距离等于M=M两点重合,也即x=xy=yz=z。OPxyzr,讨论:如果是定长r,那么表示什么图形,()例题:求点P(,,)与P(,,)之间的距离。练习:求点AB(,,)(,,)到,之间的距离()思考:在z轴上求与两点A(,,)和B(,,)等距离的点。试在xoy平面上求一点使它到A(,,)、B(,,)和C(,,)各点的距离相等。(三)巩固练习:P练习((已知三角形的顶点为A()B()和C()。试证明A角为钝角。在z轴上求与A(,,)和B(,,)两点等距离的点。(四)(小结(空间两点的距离公式的推导。(公式的应用(五)(作业p(课本练习第题讲义十二向量法处理立体几何(一)、复习空间直角坐标系:、空间向量的坐标运算:设a=(x,y,z),b=(x,y,z),则ab=(xx,yy,zz)ab=(xx,yy,zz)向量a,b的数量积为ab=xxyyzz,向量a,b的模|a|=xyz两向量垂直abxxyyzz=两向量的夹角xxyyzzcos<a,b>=xyzxyz、平面的法向量:平面,内的两条相交直线a,b,如果直线m满足ma=,且mb=则直线m称为平面的法向量(二)、典例剖析:例、已知向量a=(,,),b=(,,),求(ab)(ab)之值。(答案:)例、若A、B两点的坐标分别为A(cos,,sin,,),B(cos,,sin,,)求出|AB|的取值范围(答案:|AB|)EHGF例、在棱长为的正方体ABCDA′B′C′D′中E、F分别是D′D、BD的中点G点在棱CD上且CG=CD建立适当的空间直角坐标系然后写出点A、B、C、D、A′、B′、C′、D′、E、F、G、H的坐标证明:EFB′C求异面直线EF与C′G所成的角的余弦值设H为C′G的中点求出FH的长求出平面EFH的法向量。例、已知直三棱柱ABCA′B′C′的侧棱AA′=底面ABC中AC=BC=BCA=E为AB的中点求证CEAB′求二面角A′AB′C的余弦值。(答案:cos,=)例、在长方体ABCDA′B′C′D′中已知AB=AD=AA′=M是A′C′的中点点P在线段BC上且|CP|=点Q是DD的中点求:异面直线AM与PQ所成的角的大小点M到平面ABP的距离。解、cos,=例、在四棱锥SABCD中DAB=ABC=侧棱SA底面ABCD且SA=AB=BC=,AD=求证:平面SAC平面SCD求二面角ASDC的大小求异面直线SD与AC所成的角的大小设E为BD的中点求SE与平面SAC所成的角的大小。解、cos,=cos,=sin,=例、如图在四棱锥PABCD中底面ABCD是正方形侧棱PD底面ABCDPD=DCE是PC的中点作EFPB交PB于点F证明:PA平面EDB证明:PB平面EFD,二面角CPBD的大小。(答案:)例、在正三棱柱ABCABC中底面边长为侧棱长为建立适当的空间直角坐标系并写出点A、B、A、C的坐标,求出AC与侧面ABBA所成的角的大小。(答案:)例、已知ABCD是上、下底边长分别为和高为的等腰梯形将它沿对称轴OO′折成直二面角证明:ACBO′求二面角OACO′的大小。解:cos,=(三)、巩固练习:π((北京文)如图在中,OABRtAOB斜边(可以通过以直线为轴旋RtAOCRtAOBAOAB,转得到且二面角的直二面角(是的中点(BAOC,,DAB(I)求证:平面平面COD,AOB(II)求异面直线与所成角的大小(AOCDABCABC,的((福建文)如图正三棱柱CC所有棱长都为为中点(DABABD()求证:平面AADB,,()求二面角的大小(((安徽文)如图在三棱锥中VABC,VCABC底面是的中点且ACBCDABπ,,,,VDC,,,((I)求证:平面ACBCa,,VAB,,,,平面VCDπ(II)试确定角的值使得直线与平面所成的角为(BCVAB,((全国文)如图在四棱锥中SABCD,底面为正方形侧棱底面分别为ABCDSDABCDEF的中点(ABSC()证明平面SADEF()设求二面角的大小(SDDC,AEFD,,((安徽文)如图,在底面为直角梯形的四棱锥P,ABCD中,ADBC,PA,平面vABC,:,PA,,AD,,AB,BD,平面PAC,BC=()求证:BD()求二面角的大小P,BD,A((四川文)如图平面PCBM平面ABC,PCB=,PMBC,直线AM与直线PC所成的角为又AC=,BC=PM=,ACB=()求证:ACBM()求二面角MABC的大小()求多面体PMABC的体积讲义十三、二面角和距离的求解(一)、定义法求二面角的平面角:例题、在正四面体ABCD中()求AD与平面BCD所成的角()、求相邻两个面所成的二面角的平面角的大小。解()、arccos()、arccos基础训练:P:题学法大视野:P:题(二)、三垂线法求二面角的平面角:例题、如图在正方体ABCDA′B′C′D′中M、N、P分别为相应的棱之中点()、求证:面PAB面MNB′()、求二面角MB′NB的正切值解:()、由三垂线定理有PBMNPBB′N„„()、由MB面B′NB则用三垂线法有tanMQB=学法大视野:P:题,基础训练:P:题P:题题例、在四棱锥SABCD中DAB=ABC=侧棱SA底面ABCD且SA=AB=BC=,AD=、求证:平面SAC平面SCD、求二面角ASDC的大小、求异面直线SD与AC所成的角的大小、设E为BD的中点求SE与平面SAC所成的角的大小。解、cos,=cos,=sin,=例题、在直三棱柱ABCA′B′C′中底面三角形ABC中AC=BC=ACB=棱A′A=求二面角AA′BC的大小。例题、如图在四棱锥PABCD中PB底面ABCDCDPD底面ABCD为直角梯形ADBCABBCAB=AD=PB=点E在棱PA上且PE=EA()求异面直线PA与CD所成的角的大小()、求证PC面EBD()、求二面角ABED的大小。解:()、()、设BD与AC相交于点G则EGPC()、arccos或arctan【※题】已知斜三棱柱ABCABC的侧面AACC与底面ABC垂直,,且AAAC,AA=AC,ABC=,BC=,AC=求侧棱AA与底面ABC所成的角的大小求侧面AABB与底面ABC所成的二面角的大小求顶点C到侧面AABB的距离(解:)【题】如图已知四棱锥PABCD的底面ABCD为等腰梯形ABDC,ACBD,AC与BD相交于点O且顶点P在底面上的射影恰为O点又BO=,PO=,PBPD()求异面直接PD与BC所成角的余弦值()求二面角P,AB,C的大小()设点M在棱PC上且PM为何值时PC平面BMD,,,,问MC解:异面直线PD与所成的角的余弦值为BC()连结由()及三垂线定理知为二面角OEPEOPABC,,PO?,,sinPEO??,PEO的平面角二面角的PABC,,PE大小为()连结MDMBMO,,平面BMDOM,,平面PC,BMDPCPDOCPO,,,,,,又在中PCOM,RtPOC,PM?,,PMMC,?,故时平面,,PC,BMDMC(三)、巩固练习题:【题】、如图,四棱锥的底面为菱形,且ABC,,P,ABCDAB,,PA,,E为PCPA,底面ABCD,的中点()求直线与平面所成角的大小()求二面角PACDE的平面角的正切值()在线段上是否存在一点E,AD,CPC,使PC,平面MBD成立如果存在,求出的长如果不存在,请说MCM明理由MC,解:()()【题】、如图:在四棱锥PABCD中底面ABCD为正方形PD底面ABCD且PD=AD=则()直线BC到平面PAD的距离为(找)(()点D到平面PAC的距离为(做)()点C到平面PAB的距离为(先转化再做)题:填空:()平面α平面β平面β平面γ则平面α与平面γ的位置关系为,γ()平面α平面β,平面β平面γ则平面α与平面γ的位置关系为,γ或,与γ相交(注意:不一定是垂直)()直线a平面α直线a平面β则平面α与平面β的位置关系为,,()直线a平面α直线b平面β直线a直线b,则平面α与平面β的位置关系,,题:已知m、n、l为不同的直线α、β、γ为不同的平面则真命题序号有αγβγ则αβlαlβ则αβmβmn则αβαβmαnβ则mαn,nαβαβ=mnm则nββγ=llαmαmγ则lmmβ,o题:三角形ABC中AB=BC=ABC=,将三角形ABCo所在平面沿BC边所在的直线旋转之后得到平面A′BC()求AA′与平面A′BC所成角的大小,()求二面角ABA′C的平面角的大小,()求点B到平面AA′C的距离,题、斜三棱柱ABCA′B′C′中oBAC=且BC′AC过C′做C′H平面ABC垂足为H则(B)A、点H落于直线AC上B、点H落于直线AB上C、点H落于直线BC上D、点H落于三角形ABC之内o且BC′AC则AC面BAC′,面BAC解:BAC=面BAC′交线为AB,点H落于直线AB上题:(湖南年文科题)正方体ABCDA′B′C′D′中棱长为E为A′B′中点则E到平面ABC′D′的距离为(B)ABCD题:(湖南年文科题)平面α、β和直线m给出条件mαmαmααβαβ则,()当满足条件时有mβ()当满足条件时有mβ题:(年全国文题)平面α平面βAαBβooAB与两平面α、β所成的角为,,过A、B分别做两平面交线的垂线垂足为A′、B′设AB=则A′B′=(B)A、B、C、D、讲义十四:柱、锥、台体的表面积和体积一、柱、锥、台体的表面积、全面积和体积公式及其应用:例、圆台的上、下底面的半径分别是和它的CA侧面展开图(圆环)的圆心角是度求此圆台的表面BPAC积(高效读教材P例)B二、几何体表面两点的最短距离和其侧面展开图的问题:BC中底面例、(江西卷)如图在直三棱柱ABC,A为直角三角形ACB,:AC,BC,CC,P是BC上一动点则CPPA的最小值是解:连AB沿BC将CBC展开与ABC在同一个平面内如图所示连AC则AC的长度就是所求的最小值。通过计算可得ACC,:又BCC,:?ACC,:由余弦定理可求得AC,ABCABC,例(江西卷)如图已知正三棱柱的底面边长为高为一质点自点出发沿着AA三棱柱的侧面绕行两周到达点的((最短路线的长为ABCABC,解:将正三棱柱沿侧棱CC展开其侧面展开图如图所示由图中路线可得结论。例、在长方体ABCDA′B′C′D′中AB=a,BC=b,BB′=c并且a>b>c求沿着长方体的表面自A到C′的最短路线的长度。(教材全解:P:例)例、有两个相同的直三棱柱高为底a面三角形的三边长分别为。用它a,a,a(a,)们拼成一个三棱柱或四棱柱在所有可能的情形中表面积a最小的是一个四棱柱则的取值范围是。解答:两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱有三种情况四棱柱有一种就是边长为的边重合在一起表面积为aa三棱柱有两种边长为的边重合在一起表面积为aaa边长为的边重合在一起表面积为a两个相同的直三棱柱竖直放在一起有一种情况表面积为a最小的是一个四棱柱这说明,,a,a,a,a,,,,ABCABBC,中例、在直三棱柱ABCABC,BC()求异面直线与所成的角的大小ACACAABC,()若与平面S所成角为求三棱锥ABC的体积。解:()BCBC,ACB为异面直线BC与AC所成角(或它的补角)ABC=,AB=BC=,ACB=,异面直线BC与AC所成角为()AA平面ABC,ACA是AC与平面ABC所成的角,ACA=ABC=,AB=BC=,AC=,AA=三棱锥AABC的体积V=S×AA=ABC例题、已知三棱台ABCA′B′C′中AB:A′B′=:则三棱锥A′ABC、BA′B′C、CA′B′C′的体积之比为(高效读教材P:例题)::例题、用上口直径为厘米底面直径为厘米深厘米的水桶盛得雨水正好为桶深的问此次的降雨量为多少(精确到。毫米且降雨量是指单位面积的水平地面上降下雨水的深度)(高效读教材P:例题)三、球的表面积和体积问题:那么正方题((福建卷)已知正方体外接球的体积是,体的棱长等于ABCD解:正方体外接球的体积是则外接球的半径R=正,方体的对角线的长为棱长等于题((湖南卷)过半径为的球O表面上一点A作球O的截面若OA与该截面所成的角是则该截面的面积是A(π,BπCπD解:过半径为的球O表面上一点A作球O的截面A若OA与该截面所成的角是则截面圆的半径是ODFR=该截面的面积是π选ABEC题((江西卷)如图在四面体ABCD中截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O且与BCDC分别截于E、F如果截面将四面体分成体积相等的两部分设四棱锥A,BEFD与三棱锥A,EFC的表面积分别是SS则必有()A(S,SBS,SCS=SDSS的大小关系不能确定解:连OA、OB、OC、OD则V,VVV,,,ABEFDOABDOABEOV,VVV又V,V而每,,,,,,,BEFDAEFCOADCOAECOEFCABEFDAEFC个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径故SSABDABES,SSS又面AEF公共故选CBEFDADCAECEFC题(全国卷I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为体积为则这个球的表面积是A(B(,,C(D(,,【解析】正四棱柱高为体积为底面积为正方形边长为正四棱柱的对角线长即球的直径为球的半径为球的表面积是选C,题(全国II)过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面则所得截面的面积与球的表面积的比为(A)(B)(C)(D)【解析】设球的半径为R,过球的一条半径的中点作垂直于该R半径的平面,由勾股定理可得一个半径为的圆,所以,()RS,,,故选ASR,题((山东卷)如图在等腰梯形ABCD中AB=DC=,DAB=,E为AB的中点将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起使AB重合于点P则PDCE三棱锥的外接球的、,体积为,,,,(A)(B)(C)(D)解:易证所得三棱锥为正四面体它的棱长为故外接球半,,,径为外接球的体积为选C()题((山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为(A)(B)(C)(D)解:设正方体的棱长为a则它的内切球的半径为它的外aa接球的半径为故所求的比为选C题(四川卷)如图正四棱锥底面的四个PABCD,顶点在球的同一个大圆上点在球面上ABCD,,,OP如果则球的表面积是V,OPABCD,(A)(B)(C)(D),,,,解析:如图正四棱锥底面的四个顶点在球的PABCD,ABCD,,,O同一个大圆上点在球面上PO底面ABCDPO=RPSR,所以R=球的表面积是V,O,,,RRABCDPABCD,选D,题(辽宁卷)如图半径为的半球内有一内接正六棱锥则此正六棱锥的侧面积是(PABCDEF,解:显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆PABCDEF,于是可求得底面边长为又正六棱锥的高依题意可PABCDEF,得为依此可求得题(全国卷I)已知正四棱锥的体积为底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角等于【解析】正四棱锥的体积为底面对角线的长为底面边长为底面积为所以正四棱锥的高为则侧面与底面,所成的二面角的正切tanα=,二面角等于。题(陕西卷)水平桌面α上放有个半径均为R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)在这个球的上面放个半径为R的小球,它和下面个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是解:水平桌面α上放有个半径均为R的球且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)(在这个球的上面放个半径为R的小球它和下面个球恰好都相切个球心组成一个正四棱锥这个正四棱锥的底面边长为R侧棱长为R求得它的高为R所以小球的球心到水平桌面α的距离是R(((天津文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上则此球的表面积且一个顶点上的三条棱的长分别为为(题((全国文)正四棱锥的底面边长和各侧SABCD,棱长都为点SABCD都在同一个球面上则该球的体积为(题((全国文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为cm的球面上(如果正四棱柱的底面边长为cm那么该棱柱的表面积为cm(四、综合应用:π题((北京文)如图在中斜边,OABRtAOB(可以通过以直线为轴旋转得到且二RtAOCRtAOBAOAB,面角的直二面角(是的中点(BAOC,,DAB(I)求证:平面平面COD,AOB(II)求异面直线与所成角的大小(AOCD解(I)由题意是二面角COAO,BOAO,?BOCBAOC,,是直二面角又AOBOO,平面?,COBO?,COAOB?又平面(平面平面(CO,CODCOD,AOB(II)作垂足为连结(如图)则DEOB,CEDEAO?CDEE是异面直线与所成的角(在中AOCDRtCOECOBO,,?(又(在DEAO,,OEBO,,RtCDE?,,CECOOECE中(tanCDE,,,DE题((安徽文)如图在三棱锥中VABC,是的中点且VCABC底面ACBCACBCa,,DABπ,,,,VDC,,,(,,,,(I)求证:平面平面VABVCDπ(II)试确定角的值使得直线与平面所成的角为(BCVAB,解:()是等腰三角形又是的中ACBCa,,ACBDAB点又底面((于是平面(又CDAB,VC,ABCVCAB,VCDAB,平面平面平面(VABVAB,VCDAB,()过点在平面内作于则由()知平CVCDCHVD,CD,H面(连接于是就是直线与平面所成的角(依VABCBHBCVABBHπCHa,sin,题意所以在中,CBHRtCHDπaππ,,sin在中(,,,,,(故RtBHCCHa,,sinππ当,,时直线与平面所成的角为(BCVAB题((湖南文)如图已知直二面角,BAP,,,,PQAPQ,直线和C,,B,,CACB,CA,所成的角为((I)证明(II)求二面角平面BCPQBACP,,的大小(解:(I)在平面内过点作于点连结(因为COPQ,,,COOB所以,,,PQCO,又因为所以(而所以,BAO,ABOCACB,OAOB,,AOB从而又所以平面(因为BOPQCOPQPQOBC平面故(PQBCBC,OBC(II):由(I)知又所BOPQ,,,,,PQBO,,以(过点作于点连结由三垂线定理知BO,OOHACHBH(故是二面角的平面角(BHACBHOBACP,,,由(I)知所以是和平面所成的角则CO,CAOCAAO,OHAO,,sin,CAO不妨设则(在AC,BOAO,,,,ABOBAO中所以RtOABBO于是在中(故二面角的RtBOHBACP,,tan,,,BHOOH大小为(arctan题((江西文)如图是一个直三棱柱(以ABC为底面)被一平面所截得到的几何体截面为,ABCABBC,,AA,BB,(已知ABCCC,(()设点是的中点证明:平面OOCABABCAACC()求与平面所成的角的大小()求此几何AB体的体积(ODAAABCDODBBCC()证明:作交于连(则DODCC因为是的中点所以(则ODAABBCC,,,()OABOCCDCD,CBA是平行四边形因此有平面且OC,CBAABCBAC平面则面(()解:如图过作截面OCBABCAACCACBHAC面分别交于作于因为平面HABCAACCAACC平面则面(连结则就是BHAHBAHABAACCBH,AB,与面所成的角(因为所以BHAACCsinBAH,,BAH,arcsin(与面所成的角为(ABABBH,,,()()因为所以VSBH,((BAACCAACC,(所求几何体的体积为VSBB,,,ABCABCABC,VVV,,(BAACCABCABC,,题((四川文)如图平面PCBM平面ABC,PCB=,PMBC,直线AM与直线PC所成的角为又AC=,BC=PM=,ACB=()求证:ACBM()求二面角MABC的大小()求多面体PMABC的体积平面平面(解:()平面PCBM,ABCACBC,AC,ABC平面又平面AC,PCBMPCBMACBM,BM,()取的中点则(连接、(平面BCNCN,ANMNPCBM,平面平面平面(平面PCBMABCABCBC,PCBC,PC,(从而平面(PMCNMNPCABCMN,ABC,,作于连结则由三垂线定理知NHAB,MHH(从而为二面角的平面角(直MHNMABC,,ABMH,线与直线所成的角为(在PC,:AMNAMAN,中由勾股定理得(在中,ACNRtAMN,MNANAMN,,,,,cot(在中RtBNH,AC(在中RtMNH,NHBNABCBN,,,,,,sinABMNtan,,,MHNarctan故二面角的大小为MABC,,NH题((陕西卷)如图,αβ,αβ=l,Aα,Bβ,点A在直线l上的射影为A,点B在l的射影为B,已知AB=,AA=,BB=,求:()直线AB分别与平面α,β所成角的大小()二面角A,AB,B的大小解:()如图连接ABABαβαβ=l,AAlBBlAAβBBα(则BABABA分别是AB与α和β所成的角(RtBBA中BB=AB=sinBABBB==(RtAAB中AA=AB==(BABABAAsinABA==(故AB与平面αβ所=ABAAB成的角分别是(()BBα平面ABBα(在平面α内过A作AEAB交AB于E则AE平面ABB(过E作EFAB交AB于F连接AF则由三垂线定理得AFABAFE就是所求二面角的平面角(在RtABB中BAB=AB=BB=(RtAAB中AB=AB,AAAB×AA=,=(由AAAB=AFAB得AF===ABEA在RtAEF中sinAFE==二面角AFA,AB,B的大小为arcsin(题((上海卷)在四棱锥P,ABCD中底面是边长为的菱,形DAB,对角线AC与BD相交于点OPO平面,ABCDPB与平面ABCD所成的角为(()求四棱锥P,ABCD的体积()若E是PB的中点求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示)(解()在四棱锥PABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角,PBO=在RtAOB中BO=ABsin=,由POBO,于,而底面菱形的面积为是,PO=BOtg=四棱锥PABCD的体积V=××=():取AB的中点F,连接EF、DF由E是PB的中点,得EFPAFED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)在RtAOB中AO=ABcos==OP于是,在等腰RtPOA中PA=则EF=在正ABD和EF,正PBD中,DE=DF=cosFED==异面直DE线DE与PA所成角的大小是arccos,,,ABCABBC,题((上海卷)在直三棱柱中ABCABC,BC()求异面直线与所成的角的大小ACACAABC,()若与平面S所成角为求三棱锥的体积。ABC解:()BCBC,ACB为异面直线BC与AC所成角(或它的补角)ABC=,AB=BC=,ACB=,异面直线BC与AC所成角为()AA平面ABC,ACA是AC与平面ABC所成的角,ACA=ABC=,AB=BC=,AC=,AA=三棱锥AABC的体积V=S×AA=ABCABCDABCD,题、(四川卷)如图在长方体中分别是EP,BCAD,AECD,ADAAaABa,,,,的中点分别是的中点()MN,ADDA求证:面MN()求二面角的大小()求三棱锥PDEN,PAED,,的体积。的中点连结解:()证明:取CDMKNK,MNK,,KAKCDCD,,MKADNKDD,分别为的中点ADDAADDAADDA面面面面MKNKMNKADDAAD面()设为的中点为的中点MNFADPPFDD面作交于连结则ABCDPF,FHAE,AEHPH由三垂线定理得从而为二面角的平面AEPH,PHFPAED,,a,aaAFEFa,角。在中从而RtAEF,AFEFaAEa,,,,,FH,,,AEaPFDD在中故:二面角的大小RtPFH,PAED,,tan,,,PFHFHFH为arctanDQCD,SSBCCDaaaa,,,,,,,()作,NEP矩形ECDPCDAD,CDDCACDQ,BCDA交于由面得面在QDQ,CDDDaa,,RtCDD,中DQa,,,CDaVVSDQ,,,,a,,aaPDENDENPNEP,,,讲义十五、立体几何提高练习o题、斜三棱柱ABCA′B′C′中BAC=且BC′AC过C′做C′H平面ABC垂足为H则()A、点H落于直线AC上B、点H落于直线AB上C、点H落于直线BC上D、点H落于三角形ABC之内题、如图,四棱锥的底面为菱形,且P,ABCDAB,,PA,,E为PCABC,,PA,底面ABCD,的中点()求直线与平面所成角的大小PACDE()求二面角的平面角的正切值E,AD,C()在线段上是否存在一点,使PC,平面MBD成立如果PCM存在,求出的长如果不存在,请说明理由MC题、如图:在四棱锥PABCD中底面ABCD为正方形PD底面ABCD且PD=AD=则()直线BC到平面PAD的距离为(找)(()点D到平面PAC的距离为(做)()点C到平面PAB的距离为(先转化再做)题:(湖南年文科题)正方体ABCDA′B′C′D′中棱长为E为A′B′中点则E到平面ABC′D′的距离为()BCDπ题((北京文)如图在中斜边,OABRtAOB(可以通过以直线为轴旋转得到且二RtAOCRtAOBAOAB,面角的直二面角(是的中点(BAOC,,DAB平面(II)求异面直线与(I)求证:平面COD,AOBAOCD所成角的大小(题((安徽文)如图在三棱锥中VABC,是的中点且VCABC底面ACBCACBCa,,DABπ,,,,VDC,,,(,,,,(I)求证:平面平面VABVCDπ(II)试确定角的值使得直线与平面所成的角为(BCVAB,题((四川文)如图平面PCBM平面ABC,PCB=,PMBC,直线AM与直线PC所成的角为又AC=,BC=PM=,ACB=()求证:ACBM()求二面角MABC的大小()求多面体PMABC的体积题((陕西卷)如图,αβ,αβ=L,Aα,Bβ,点A在直线L上的射影为A,点B在L的射影为B,已知AB=,AA=,BB=,求:()直线AB分别与平面α,β所成角的大小()二面角A,AB,B的大
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