概率论第二版第1、2章习题解答

第1章  随机事件与概率 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.2 2．一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件． 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率． 解  设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品}，B={抽得正品和次品各一件}，则 ， ． 3．从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率． 解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况，即所求事件的概率为 ． 4．已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几． 解  设A={住户订日报}，B={住户订晚报}，则 ， ， 且                      ， 从而有            ， ， 即同时订两种报的住户占百分之四十． 5．从0~9十个数字中任取三个不同的数字，求：三个数字中不含0或5 的概率． 解  设A={不含数字0}，B={不含数字5}，则所求概率为 ． ． 6．10把钥匙中有3把能打开一把锁，现任取两把，求能打开锁的概率． 解  设A={任取两把钥匙，能打开锁}，利用对立事件，有 ． 7．一盒中有10只蓝色球， 5只红色球，现一个个的全部取出．求第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球的概率． 解  设A={第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球}，则 ． 8．把12枚硬币任意投入三只盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率． 解  设A={第一只盒子中没有硬币}，则 ． 9．把7个编号的同类型的球投进4个编号的盒子中，每个球被投进任何一个盒子中都是等可能的．求第一个盒子恰有2个球的概率． 解  设A={第一个盒子中恰有2个球}，则 ． 10．从5副不同的手套中任意取4只手套，求其中至少有两只手套配成1副的概率． 解  设A={至少有两只手套配成1副 }，则 ． 或            ．  11．一副没有王牌的扑克牌共52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：（1）四张牌花色各异；（2）四张牌中只有两种花色；（3）四张牌中有三种花色． 解 设A={四张牌花色各异}，B={四张牌中只有两种花色}，C={四张牌中有三种花色}，则 ， ， ． 12．掷三枚均匀的骰子，已知它们出现的点数各不相同，求其中有一枚骰子的点数为4的概率． 解  设A={其中有一枚骰子的点数为4 }，则 ． 13．一间宿舍内住有8位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率． 解  设A={至少有2个人的生日在同一个月份}，则 ． 14．四个人参加聚会，由于下雨他们各带一把雨伞．聚会结束时每人各取走一把雨伞，求他们都没拿到自己雨伞的概率． 解  设 ={第i个人拿到自己的雨伞 }，B={四个人都没有拿到自己的雨伞 }，则 ． 15．有四个人等可能的被分配到六个房间中的任一间中．求：（1）四个人都分配到不同房间的概率；（2）有三个人分配到同一房间的概率． 解  设A={四个人分配到不同房间}，B={四个人中有三个人分配到同一房间}，则 ， ． 16．一袋中有n个黑球和2个白球，现从袋中随机取球，每次取一球，求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率． 解  设A={第k次和第k+1次都取到到黑球}，则 ． 17．n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．  解  设A={甲、乙两人相邻而坐}，则 ． 18．6个人各带一把铁锹参加植树，休息时铁锹放在一起，休息后每人任取一把铁锹继续劳动，求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率． 解  设 ={第i个人拿到自己的铁锹 }，B={至少有一人拿对自己带来的铁锹 }，则 ． 19．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时，求一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待的概率． 解 设 分别为甲，乙两船到达码头的时间，设A={一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待}．故样本空间 ， A发生的等价条件为“ ”或“ ”，          令    ，  则样本空间的面积      ， 且区域D的面积      ， 则                    ．          20．平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为 的针，求针与平行线相交的概率． 解 以 表示从针的中点到最近一条平行线的距离，针与其所夹角为 ，则样本空间 ，事件A={针与平行线相交}发生的等价条件“ ”，令 ，  则样本空间为边长分别为 及 的矩形，面积为 ， 且区域D的面积  ， 则                  ．        习 题 1.3 1．某种动物的寿命在20年以上的概率为0.8，在25年以上的概率为0.4． 现有一该种动物的寿命已超过20年，求它能活到25年以上的概率． 解  设 ={该种动物能活到25年以上}， ={该种动物的寿命超过20年}，即 ．已知 ． 所求概率为          ． 2． 在100件产品中有5件是次品，从中不放回地抽取3次，每次抽1件． 求第三次才取得次品的概率． 解  设 ={第i次取到合格品}，B ={第三次才取到次品}，由乘法公式有 ． 3．有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的．其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，三厂产品中合格品率分别为95%、90%、85%，现从这批产品中随机抽取一件，求该产品为合格品的概率． 解  设 ={甲厂的产品}， ={乙厂的产品}， ={丙厂的产品}， ={取到一件合格品}．即 构成一个完备事件组． 则    ． 4． 一袋中有黄球10个，红球6个． 若不放回取球两次，每次取一球． 求下列事件的概率：（1）两次都取到黄球；（2）第二次才取到黄球；（3）第二次取到黄球． 解  设 ={第一次取到黄球}， ={第二次取到黄球}，则 （1） ； （2） ； （3） ． 5． 一城市位于甲、乙两河的交汇处，若有一条河流泛滥，该市就会受灾，已知在某季节内，甲、乙两河泛滥的概率均为0.01，且当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5．求在此季节内该市受灾的概率． 解  设A={甲河泛滥 }，B ={乙河泛滥 }，由题意有 ， 则                ． 在此季节内该市受灾的概率为 ． 6． 在下列条件下，求： ． （1）已知 ； （2）已知 ，且A，B互不相容． 解 （1） ， ， ， ． （2）由于A，B互不相容，故 ，所以 ， ， ， ． 7． 某体育比赛采用五局三胜制，甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是0.6（假定没有和局），求甲方最后取胜的概率． 解 比赛采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需要比赛三局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需要胜二局，例如，比赛三局，甲胜：甲甲甲；比赛四局，甲胜：甲乙甲甲，乙甲甲甲，甲甲乙甲；再由独立性，甲最终获胜的概率为 P(甲胜)= ． 8． 设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（1）取出的零件有一个为一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率． 解 设 ={第i箱被挑中}，i=1,2， ；设 ={第j次取出的是一等品}，j=1,2． （1）取出的零件有一个为一等品的概率为 ， ， 所求概率为  ． （2） ． 在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率为0.4856． 9． 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1． 一顾客选出一箱玻璃杯，随机查看4只，若无残次品，该顾客则购买此箱玻璃杯，否则不买． 求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）若顾客购买了此箱玻璃杯，箱中确实无残次品的概率． 解 设 ={箱中有i件  残次品}，i=0,1,2；B={顾客买下该箱玻璃杯}，则 ， ． （1）由全概率公式，有 ． （2）由贝叶斯公式，有 ． 10． 某年级三个班报名参加志愿者的人数分别为10人、15人、25人，其中女生的分别为3人、7人、5人． 现随机地从一个班报名的学生中先后选出两人，求：（1）先选出的是女生的概率；（2）已知后选出的是男生，而先选出的是女生的概率． 解 设 ={取到第i班报名表}，i=1,2,3， ； 设 ={第j次选出的报名表是女生}，j=1,2． （1）由全概率公式，有 ． （2）已知后选出的是男生，先选出的是女生的概率为 ， 而  ， ， 从而      ． 11． 某产品的合格品率为97%时则达到行业标准．商家批量验收时，误拒收“达标的产品”的概率为0.02，误接收“未达标产品”的概率为0.05． 求一批产品被接收，此批产品确已达标的概率． 解 设A={产品合格}， ={产品不合格}， ； B={接收产品}， ={拒收产品}， ． 由贝叶斯公式，所求概率为 ． 12． 一盒中有12个乒乓球，其中9个是新的．第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个． 求：（1）第二次取出的球皆为新球的概率；（2）若第二次取的球皆为新球，求第一次取到的都是新球的概率． 解 设 ={第一次取到i个新球}，i=0,1,2,3， B={第二次取出的都是新球}． ． ，  ． （1）由全概率公式，有 ； （2）由贝叶斯公式，有 ． 13． 某人忘记了某电话号码的最后一个数字，但知最后一个数字为奇数，求拨号不超过3次而接通电话的概率． 解 设 ={第i次拨号拨通电话}，i=1,2,3， B={拨号不超过3次接通电话}，则 ． ， ， ， 故    ． 14． 某仓库有同样规格的产品12箱，其中甲、乙、丙三个厂生产的产品分别为6箱、4箱、2箱，且三个厂的次品率分别为8%、6%、5%． 现从12箱中任取一箱，再从该箱中任取一件产品，求取到一件次品的概率． 解  设 ={甲厂的产品}， ={乙厂的产品}， ={丙厂的产品}， ={取到一件次品}．即 构成一个完备事件组． 则    ． 15． 第一箱中有2个白球和6个黑球，第二箱中有4个白球与2个黑球． 现从第一个箱中任取出两球放到第二个箱中，然后从第二个箱中任意取出一球，求此球是白球的概率． 解  设 ={从第一箱中取出2个白球}， ={从第一箱中取出1个白球1个黑球}， ={从第一箱中取出2个黑球}， ={从第二箱中取出1个白球}． 即 构成一个完备事件组，且 ． 则    ． 16． 设袋中有n个黑球，m个白球，现从袋中依次随机取球，每次取一个球，观察颜色后放回，并加入1个同色球和2个异色球． 求第二次取到黑色球且第三次取到白色球的概率． 解 设 ={第i次取到白色球}，i=1,2,3，则所求概率为 ． 习 题 1.4 1． 已知 ，且A、B相互独立，试求： ． 解  ， ， ， ， ． 2． 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8，求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率． 解 设 ={甲击中目标}，B={乙击中目标}，则 ． （1） ； （2） ； （3） ． 3． 甲、乙二人约定，将一枚匀称的硬币掷三次，若至少出现两次正面，则甲胜；否则乙胜．求甲胜的概率． 解  至少出现两次正面包含两种情况：恰有两次出现正面、三次都是正面．恰有两次出现正面的概率为 ；三次都是正面的概率为 ． 故甲胜的概率为  ． 5． 甲、乙二人进行棋类比赛，假设没有和棋，每盘甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p． 每盘胜者得1分，输者得0分． 比赛独立地进行到有一人首先超过对方2分时结束． 求甲首先超过对方2分的概率． 解 设 ,每盘比赛若甲胜记为A, 若乙胜记为B, 根据题意，比赛共进行偶数盘，若甲首先超过对方2分时，则有 共赛两盘: ； 共赛四盘: ； 共赛六盘: ； 共赛八盘: ； …… 即  ． 6． 一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯工作都是相互独立，且红、黄、绿信号显示时间的比例为 ，求此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率． 解  汽车经过三个有信号灯的路口，可以看作是3重伯努利试验．此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率为 ． 7． 甲、乙、丙三人同时独立的向一飞机射击，他们击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7． 设若只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2，若恰有两人击中，飞机坠毁的概率为0.5，若三人均击中，飞机坠毁的概率为0.8． 求飞机坠毁的概率． 解 设 ={飞机被i个人击中}，i=1,2,3， B={飞机坠毁}，由独立性有 ， ， ． ， 故  ． 8． 某厂生产的仪器，经检验可直接出厂的占0.7，需调试的占0.3，调试后可出厂的占0.8，调试后仍不能出厂的占0.2． 现新生产 台仪器（设每台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）恰有两台不能出厂的概率；（3）至少两台不能出厂的概率．  解 设A={1台仪器可直接出厂}， B={1台仪器最终能出厂}，则 ， ． （1）P{仪器全部能出厂} ； （2）P{恰有两台不能出厂} ； （2）P{至少两台不能出厂} ． 9． 5个元件工作独立，每个元件正常工作的概率为p，求以下系统正常工作的概率． （1）串联；（2）并联；（3）桥式连接（如图1．4．1）．            解  设C为系统正常工作，利用独立性有 （1） 当元件串联时，需5个元件都正常工作，系统才能正常工作： ； （2）当元件并联时，5个元件至少有一个正常工作，系统才能正常工作： ； （3）记中间的元件为 ，左面两个元件分别为 ，右面两个元件为 。当 正常工作时，相当于 并联，与 并联电路再串联而得；当 失效时，相当于 串联，与 串联电路进行并联而得．则 ． ； ； 故  ． 10． 已知一条昆虫生产n个卵的概率为 ， 设一个虫卵孵化为成虫的概率为 ． 若卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的下一代有 条成虫的概率． 解 设 ={昆虫的下一代有k条成虫}， ={昆虫共生产n个卵}， ，注意到独立性， 当 时， ；当 时， ． ． 第2章  随机变量及其分布 习 题2.1 1． 设随机变量 的分布列为 ，求 ； ； ． 解  ； ； ． 4． 在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量 表示取到的次品数，试写出 的分布列及分布函数． 解  X取值0,1,2，且 ， 的分布列为        ． 分布函数 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 故分布函数为      ． 6． 甲、乙、丙三人参加志愿者服务，每人在周一至周五任选两天，记X为这三人周五参加志愿服务的人数，求X的分布列． 解  记 P{一人选中周五参加志愿服务}， P{一人没有选中周五参加志愿服务}，则 ． X为这三人周五参加志愿服务的人数，则X取值为0，1，2，3．且 ， ， ， ． 所以X的分布列为 ． 7. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4和0.5．求（1）二人投篮总次数Z的概率分布；（2）甲投篮次数X的概率分布；（3）乙投篮次数Y的概率分布． 解 （1）若 ：表示第 次甲命中，前 次甲、乙各投篮 次均未命中．则 ， 若 ：表示第 次乙命中，前 次甲投篮k次均未命中乙投篮 次均未命中。则 ． 即二人投篮总次数Z的概率分布为 ． （2）甲投篮次数X的取值为 ，且事件 包含两种情况：（a）第k次甲命中，前面甲、乙各投篮 次均未命中；（b）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮 次均未命中．则 即甲投篮次数X的概率分布为 ． （3）乙投篮次数Y的取值为 ，且事件 包含两种情况：（a）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮 次均未命中；（b）第 次甲命中，前面甲、乙各投篮 次均未命中．则 即乙投篮次数Y的概率分布为 ． 9． 设随机变量 的密度函数为 ，求（1）常数a；（2） ． 解  （1）由密度函数的性质 ，有 ， 所以 ． （2） ． 10． 设随机变量X的密度函数为 ，求常数a的值，如果 ，求b的值． 解  由密度函数的性质 ，有 ， 所以 ，从而 ． 由 ，即 ， 有 ，从而 ． 11． 设随机变量 的密度函数为 ，求(1)常数k；(2)X的分布函数 ；(3) ． 解  （1）由密度函数的性质 ，有 ， 所以 ． （2）分布函数 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以分布函数为  （3） ． 12． 设随机变量 的分布函数为 ，求（1）常数A； （2） ；（3） 的密度函数． 解 （1）由F(x)的连续性，有 ，所以 ． （2） ． （3） ． 13． 设随机变量X的绝对值不大于1， ， ，在事件 出现的条件下，X在区间 内的任意子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数 ． 解 （1）由条件，当 时， ． ． X在区间 上取值的概率为 ， 对于 ， ， 其中 ， ， 故 时， ． 于是，X的分布函数为  ． 习 题 2.2 4． 盒中有5个球，其中有3白2黑，从中随机抽取2个球，求抽得白球数 的期望． 解 X的可能取值为0，1，2． ， ． 5． 射击比赛，每人射4次（每次一发），约定全部不中为0分，只中1弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分． 甲每次射击命中率为 ，求他得分的期望． 解 设X表示甲的得分，则X的可能取值为0，15，30，55，100． ， ， ． 甲得分的期望为 ． 6． 某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向同一目标射击，直到第2次击中为止． 求射击次数 的期望． 解 设 表示第一次击中时的射击次数， 表示第一次击中后到第二次击中时的射击次数， ，则 ， 且 ，由题意知， 和 相互独立， ， 从而          ． 7． 已知随机变量 的分布列为 ， 求 ， ， ， ． 解 ， ， ， ． 8． 设随机变量 的密度函数为 ，求 ． 解 （奇函数在对称区间上的积分为0）． 9． 设随机变量 的密度函数为 求 ， ， ， ． 解 ， ， ， ． 10． 对球的直径作近似测量，设其值在区间 [a, b]上均匀分布，求球体积的均值． 解 设 表示球的直径，则 的密度函数为 球的体积  ， ． 11． 某水果商店，冬季每周购进一批苹果． 已知该店一周苹果销售量X (单位：kg) 服从U[1 000,2 000]．购进的苹果在一周内售出，1kg获纯利1.5元；一周内没售完，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元． 问一周应购进多少(kg)苹果，商店才能获得最大的平均利润． 解 设 为商店一周获得的利润， 为一周苹果的进货量． 利润函数为 X的密度函数为  ． ， 令 ，解得 ． 即一周应购进1 834(kg)苹果，商店才能获得最大的平均利润． 12． 设商店经销某种商品的每周需求量 服从区间 [10,30]上的均匀分布，而进货量为区间 [10,30]中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9 280元． 解 设 为商店的周利润， 为该商品每周的进货量． 利润函数为 ， X的密度函数为 ． ， 要使得 ，即 ，有 ， 解得  ． 所以该商品每周的最小进货量为21单位． 13． 已知随机变量的 概率密度函数为 求随机变量 的数学期望． 解 ． 习 题2.3 1． 某流水线上生产产品的不合格率为0.2，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修． 设开机后第一次停机检修时已生产的产品个数为X，求X的方差． 解 设 表示停机时已生产的产品数，可能取值为 ，其分布列为 ，其中 ． ， 其中 ， ， 所以    ， 方差  ． 2． 已知X的分布列为 ，求常数a及E(X)． 解 由分布列的性质，有 ，即 ，所以 ． ． 4． 设10只同种电器元件中有2只废品，装配仪器时，从这批元件中任取1只，若取到废品，则扔掉重新取1只，求在取到正品之前，已取出的废品数 的概率分布、数学期望及方差． 解 设 ={第k次取到正品}， 而取出的废品数 的可能取值为0，1，2． ， ， ， 即 的分布列为 0 1 2     ， ， ． 5． 某设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为0.1，0.2，0.3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数 的期望与方差． 解 设 ={第k部件需要调整}．由题设， ． 又X的可能取值为0，1，2，3，且 相互独立，则 ， ， ， ． 即 的分布列为 0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006     则  ， ， ． 6． 设 求 ． 解 被积函数 是奇函数，且积分区间 关于原点对称，故 ， ． 7． 已知随机变量 ，求 ． 解 随机变量 的密度函数 ， ， ． 8． 设随机变量 服从参数为0.7的0-1分布，求 ． 解 由于随机变量 服从参数为0.7的0-1分布，故 ． ． 9． 设随机变量 的密度函数为 ， 求 ． 解 由密度函数的性质，有 ，得出 ． ，    ， ， ． 10． 设随机变量 服从 上的均匀分布， ，求Y的期望与方差． 解 随机变量 服从 上的均匀分布，密度函数为 ， ， ． 11．在n次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验? 解  设X为n次独立重复试验中成功的次数，则 ，且 ． 由题设，有 ，即有 解得 ，所以至少要进行18 750次试验． 12． 设X为非负连续型随机变量, 期望存在，应用切比雪夫不等式证明：对任意正实数a恒有 ． 证明 设X的密度函数为 ，由于X取值非负，故对任意的 ，有 当 时， ，有 ． 扩大积分限到 ，被积函数 在 上非负，所以上述积分进一步增大，从而 ． 习 题2.4 1． 设随机变量 ，已知 ，求两个参数n与p的值． 解  由题设 ， ， 由以上两式解出 ． 2． 设X服从泊松分布，已知 ，求 及 ． 解  X服从泊松分布， 又 ，即 由于参数 ，所以解得 ． ， ． 3． 在一个繁忙的交通路口，设单独一辆汽车发生意外事故的概率为p＝0.001． 如果某段时间内有1 000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？ 解  设出事故的次数为X，则 ，即有 由泊松定理（这里 ）得 ． 4． 一本5万字的学生用 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ，按常规允许出错率为0.000 1，求该书不多于10个错误的概率． 解  设出错误的次数为X，则 ，即有 由泊松定理（这里 ），并查泊松分布表，得 ． 5． 大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为t的泊松分布，求（1）相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率． 解  （1）由于T是非负随机变量，当 时， ． 当 时，由于事件 与事件 等价，因此 ． 即T服从参数为的指数分布， （2）由上可知所求无故障工作8小时的概率为 ． 6． 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响． 如果每台设备发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01． 解  设需配备N名维修工人，记同一时刻发生故障的机器台数为X，则 ． 由题设，需确定最小的N，使得 ，即 ． 由泊松定理，这里 ，有 ， 查泊松分布表可求得满足此式最小的N是4，故需至少配备4名维修工人． 7． 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击的命中率为0.4，求 ． 解  由题设， ，则 ， ， ． 8． 已知X服从参数为2的泊松分布，求随机变量 Z=3X-2的期望和方差． 解  由题设， ，则 ， ， ． 9． 某保险公司规定，如果一年内某事件A发生，则公司赔偿客户一笔款a元，公司估算一年内A发生的概率为p，那么为使公司收益的期望值等于a/10，该公司应向客户收取多少保险金？ 解  设保险公司应向客户收取的保险金额为x，保险公司的收益为Y，则Y的可能取值为 ．随机变量Y的分布列为 -a x p 1-p     ． 由题设， ，从而 ，解得 ． 10． 某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点． 若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元．某件表面疵点数是4个以上则为废品，求产品价值的均值和方差． 解  商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，由题设， ，即 ．设Y表示每件产品的价值，则Y的可能取值为10，8，0．查泊松分布表，有 ， ， ． 所以 ． 习 题2.5 3． 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立且无故障工作时间均服从参数为 的指数分布． 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的概率分布． 解  设 ={第i个元件无故障工作的时间}， ．则 相互独立同分布，其分布函数为 依题意， ，设其分布函数为 ． 当 时， ， ； 当 时， ， ． 故T的分布函数    密度函数为          即T服从参数为 的指数分布． 4． 设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率． 解  设 ={在仪器使用的最初200小时内电子元件损坏}，而X表示电子元件的寿命，则X服从指数分布，其密度函数为 设Y表示在200小时内电子元件损坏的只数，记 ，则 ．而 ， 所求概率为 ． 6． 设 ，求 ， ． 解  ，由题意有 ， ． 7． 设 ，求 ， ． 解  ，由题意有 ， ． 8． 某校电器班学生期末考试的数学成绩X近似服从正态分布 ，求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？ 解 由题意有 ， ， 故数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的15.87%． 9． 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中，调节器定在 ，液体的温度X( )服从 ．（1）若 ，求 ；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？ 解  （1）若 ， ； （2）依题意有 ，从而 ，即 ， 由于 ，所以 ．故 ，而 ，则 ，解得 ，从而d至少为82 ． 10． 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均分为72，且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率． 解  设X为考生的外语成绩，由题设知 ，其中 ． （1）现在求 ．由条件知， ，而 即 ，由标准正态分布函数表有 ，可见 ， 故 ．这样， ． （2）所求概率为 ． 11． 设测量误差X～N(0,100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）． 解  设A={一次测量中误差的绝对值大于19.6}，记 ． 设Y表示100次独立重复测量中事件A发生的次数，则 ．而 ． 所求概率为 ，由泊松定理，这里 ，从而 ． 12． 某种电子元件在电源电压不超过200伏、200伏～240伏及超过240伏的三种情况下，损坏率依次为0.1，0.001及0.2，设电源电压 ，求（1）此种电子元件的损坏率；（2）此种电子元件损坏时，电源电压在200至240伏的概率． 解  设 表示事件“电压不超过200伏”， 表示事件“电压在200伏～240伏”， 表示事件“电压超过240伏”，B表示“电子元件损坏”．则 又因为 ，所以 ， ， ． （1）由全概率公式，有 ． （2）由贝叶斯公式，有 ． 习 题2.6 2． 已知随机变量 的分布列为 ， （1）求 ＝2－ 的分布列；　（2）求 ＝3＋ 2分布列． 解  （1） ＝2－ 的可能取值为 ，而且 ， ， ， ， ． 即 ＝2－ 的分布列为 ． （2） ＝3＋ 2的可能取值为 ，而且 ， ， ， ． 即 ＝3＋ 2的分布列为 ． 3． 已知X服从参数为1的指数分布，求 密度函数和分布函数． 解  X的密度函数为 当 （即 ）时， ，从而 ； 当 （即 ）时， ． 故 的分布函数为 Y的密度函数为 4． 已知随机变量 的密度函数为 ， 且 ，求 的密度函数． 解  当 时， 的取值范围是 ．于是 当 或 （即 或 ）时， ，从而 ； 当 （即 ）时， ， 则    ， ． 故Y的密度函数为 5． 设随机变量 ， 求 的密度函数 ． 解  当 时， 的取值范围是 ．于是 当 （即 ）时， ，从而 ； 当 （即 ）时， ， 则      ， 故 的密度函数为 6．设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布，求 的密度函数 ． 解  X的密度函数为 当 时， 的取值范围是 ． 当 时， ； 当 时， 于是Y的分布函数为    上式求导得 的密度函数 7． 已知随机变量X的密度函数为 ，求随机变量函数 的概率分布，其中 解  由题设知Y的可能取值为 ． X的密度函数 是 上的偶函数，且由密度函数 的性质 ，可知 ． ， ， 所以 的概率分布为 ． 8． 设X服从[a,b]上的均匀分布，证明 服从 上的均 匀分布． 证明  X的密度函数为 的反函数为 ， ． 由教材中定理2.6.1， 的密度函数 对 ，有 对 ，有 于是当 时， 在区间 上服从均匀分布， 当 时， 在区间 上服从均匀分布． 10． 已知随机变量X的密度函数为 求 的密度函数 ． 解  由题设知X在 上取值，故 在 上取值，故 当 或 时， ． 当 时，Y的分布函数为 故当 时， ． 所以