论幂等矩阵线性组合幂等性
论幂等矩阵线性组合的幂等性
摘要:
P,P和P是三个任意可交换的非零幂等矩阵,c,c和c是三个非123123零纯量,在线性组合方式P=cP+cP或P=cP+cP+cP中,这种线1122112233性组合的矩阵已经作为一种重要的矩阵被考虑。本文还提出了关于线性组合2×2幂等矩阵、3×3幂等矩阵幂等性的两个有趣的结果。文中还提到了关于等幂性问题的统计学分析。
2003 Elsevier Inc.版权所有。
2关键词:对角化;幂等矩阵;二次形式;χ分布
1. 前言
假设一个线性组合形式
P=cP+cP, (1) 1122
在这个线性组合形式中,P、P是n×n型非零幂等矩阵,c、c是纯1212量. 本文中将阐述其中的一些甚至所有以线性组合形式(1)为幂等矩阵的情况.例如,[1–6,8].现在假设另一个线性组合形式 P=cP+cP+cP, (2) 112233
在这个线性组合形式中, P、P和P是三个任意可交换的n×n型非123
零幂等矩阵,c、c、c是纯量。本文有两个写作目的:第一,为Baksalary123
的一部分新定理提供新的不同的证明。Baksalary 在文献【6】中讲述了关于线性组合形式(1)的幂等性.第二,彻底解决以线性形式(2)为幂等矩阵情况的表征问题.并且得出结论:(?)2×2任意可交换的非零幂等矩阵P、P、P不满足PP=0,i?j,i,j=1,2,3或PP=P或121123ij
1
PP=P(?)如果P、P、P是3×3任意可交换的非零幂等矩阵,那122123
么,如果PP=0则P=I;如果PP=P或者PP=P ,i?j,i,j=1,2,3则ijijiijj
P=I或P=I或P=I. 123
不仅从代数学角度,而且从根、项量、多项式在统计学中所占的地位,证明都将引起人们很大的兴趣.有幂等矩阵的二次形式在统计学理论中应用广泛。例如:注释中提到的一些问题认为统计学的解释是基于这样的一个事实——如果A是一个n×n型实对称矩阵,x是n×1实项量,有多元正态分布N (0,I),其中I代表单位矩阵,0代表零矩阵,那么二次形式xAx作为一个卡方变量分布的充分必要条
2件是A=A见:参考文献[3,定理 5.1.1] 或 [4, 引理9.1.2] 和[9, 2.4章].
2. 初步措施
在复数ψ领域,我们用M表示所有n×n矩阵集.如果没有非奇异n
-1矩阵S?M,那么矩阵B?M,类似矩阵A?M。因此B=SAS如nnn
果矩阵A?M类似对角矩阵,那么A就被对角化了。如果有一个n
相似性矩阵S?M,那么两个对角化矩阵A,B?M。同时被对角nn
-1-1化,即SAS和SBS是对角线。
全文中,c、c、c都是ψ中的非零因素P,P,P???M ,123123n
P,P,P??表示n×n非零幂等矩阵判别矩阵,例如,一个有限(或123
无限)矩阵组中,每对在集改判下乘法。
现在我们给出以下附加结果,并解释这种情况对P、P??12
也适用 。
2
引理2.1.让P、P、P??, P?P,i?j,且P?M作为线性组合形式 12123n
P = c P +c P +c P ,非零向量c、c、c?ψ那么P可以对角化. 112233123
证明.首先,幂等矩阵是可对角化的。因为P、P、P有幂等性且相123
互可交换,它们可以同时对角化(见,[7,p.52]).所以有单相似性矩阵S
-1-1-1满足Λ=SPS, M=SPS ,T =SPS都是对角化矩阵。另外对角元素是123
P、P、P的特征值,于是我们可以得到 123
-1-1-1P=SΛS, P=SMS , P=STS (3) 123
-1所以P=S[cΛ+cM+cT]S 123
这就是完整的证明.
3. 主要结论
正如我们提到的,本文主要结论是关于幂等矩阵线性组合的幂等
性.首先我们讨论一个结论,这个结论能体现我们解决问题的方法,
还要解决文献[6]中的一部分定理。接着,我们列出一个重要结论,
是关于线性组合三非零,相互可交换幂等矩阵的幂等性的结论. 定理3.1. 让P、P??, P?P且P作为线性组合形式 1212
P = c P +c P , (4) 1122
非零纯量c、c?ψ那么只有在三种情况下P是幂等矩阵: 12
(a) c= 1, c = 1, PP = 0, 1212
(b) c= 1, c =-1, PP = P, 12122
(c) c =-1, c =1, PP = P: 12121
证明.因为P、P??,它们可以同时对角化。假设S是矩阵,同时对12
-1角化P,P,那么可以将P,P写成(3)的形式。因此得到,P=S?S其1212
3
中?=cΛ+cM。所以直接数据表明形式(4)中的P是具有幂等性,当12
且仅当
(cΛ+cμ)(cΛ+cμ -1)=0,i=1,2,…,n,? 1i2i1i2i
中Λ和μ分别是Λ和M的对角元素。另外P,P仅有0和I两个特ii12征值,因为P,P具有幂等性。根据不同的假设,有不同的结论。12
情况(a):从等式(3)可以得到,如果PP=0,那么(Λ,μ)最少可以ii12
是(0,0),(1,0)和(0,1)因为至少可以给i赋值一次。因此当且仅当c=1(即1c=1)时等式(5)成立。情况(b):假设P?P,等式PP= P和PP= P122121122
不能同时发生。结果又得到了等式(3)。(Λ,μ)最少可以是(0,0),ii(1,0)和(1,1),因为如果PP=P,则i至少赋值一次。因此当且仅当122
c=1(即c=-1)时等式(5)成立。情况(c):若c=-1(即c=1),如果PP=R,121212
R?P,i=1,2,那么(Λ,μ)最少可以是(0,0),(1,0),(0,1)和(1,1)iii
因为i至少有一个值。但是等式(5)不存在共同的解。
证明完毕
定理3.2. 让P、P、P??, P?P,i?j,且P作为线性组合形式 12123
P = c P +c P +c P, 11223 3
非零向量c、c、c?ψ那么在以下情况中P是幂等矩阵. 123
(a) c=c=c=1,PP=0,i?j,i,j=1,2,3; 123ij
(b) c=c=1,c=-1,PP= P,PP= P,PP= P 123121131233
(亦或PP= P,PP= P,PP= P); 122133232
(c) c=-1,c=c=1,PP= P,PP= P,PP= P 123121131233
(亦或PP= P,PP= P,PP= P); 122133232
4
(d) c=c=1,c=-1,PP= P,PP= P,PP= P 132121131233
(亦或PP= P,PP= P,PP= P); 122133232
除此之外,向量P,P和P不满足PP=P, PP=P和PP=P123121133233
(亦或PP=P, PP=P和PP=P)。 122131232
证明:
根据引理可以将P写成
-1P=S[cΛ+cM+cT]S直接数据表明形式(6)中的P是具有幂等性,当123
且仅当
(cΛ+cμ+ct)(cΛ+cμ+ct-1)=0,i=1,2,…,n,? 1i2i3i1i2i3i
其中Λμ 和t分别是Λ,M和T的对角元素。在不是一般性的情i,ii
况下,我们可以假设P、P、P的多个特征值响应的连续出现在主要123
对角线Λ,M和T,中。
从以上提到的等式(3)和假设中,可以发现如果PP=0,i?j,i,j=1,2,3,ij那么(Λμ 和t)可以是(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)和(1,0,0)。 i,ii
因为i可以至少有一个值。因此,只有在以下情况中等式(7)成立:
(?)情况(b1), (c,c,c)=(1,1,-1)是等式(7)的解集(1,1,1),(0,0,0),123
(0,1,0)和(0,1,1)的共同的交集。
(?)情况(c1),(c1,c2,c3)=(-1,1,1)是等式(7)的解集(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0)
和(0,0,0)的共同的交集。
(?)情况(d1), (c,c,c)=(1,-1,1)是等式(7)的解集(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1)123
和(1,1,1)的共同的交集。
最后,同理可证,矩阵P、P、P不满足 123
5
?P P = P ,PP=P和PP=P,或者 121133232
?PP=P,PP=P和PP=P, 122131233
因为(0,0,0)和(1,1,1)没有共同的交集。这样就完成了证明。 备注1。当n=3,根据假设定理,有以下结论:
(a) 如果PP=0,PP=0,PP=0(亦或P=P+P+P具有幂等性)那121323123
么P=I。要理解这一结论,(借用引理)首先我们要知道:
-1Λ+Μ+Τ=I等价于P=P+P+P=S(Λ+Μ+Τ)S=I。Λ、M和Τ(P、1231P和P)的特征值分别是Λ,μ,和Τ,i=1,2,3。因为P、P、P具有23iii123
2幂等性,则Λ=1或0;μ=1或0;Τ=1或0,若,P=P则可以得到iii
2(Λ+μ+Τ)=(Λ+μ+ Τ)那么(Λ+μ+Τ)=0或1。所以我们可以iiiiiiiii
这样写:
其中Λ+μ+t=0或1,i=1,2,3。 iii
不失一般性的条件下,假设Λ+μ+Τ=0。所以 111
(a1)如果Λ+μ+t=0且Λ+μ+t=0,那么Λ=Μ=Τ=0 222333
推出P=P=P错误~未指定书签。 =0,这和假设定理相矛盾。 123
(a2)如果Λ+μ+t=1 且Λ+μ+t=1(或者Λ+μ+t=0 222333222且Λ+μ+t=1,那么Λ=Μ=0推出P=P=0; 33312
或者Λ=Τ=0推出P=P=0;或者Μ=Τ=0推出P=P=0, 1323这和假设定理矛盾。
(a3)如果Λ+μ+t=1和Λ+μ+t=1,那么至少,Λ= 0 推出P=0;2223331或者Μ=0推出P=0;或者Τ=0推出P=0, 23
6
这也和假设定理矛盾。因此,Λ+μ+t= 1,i=1,2,3所以Λ+Μ+Τ=iii
Ι。
(b1)如果P P = P,PP=P和PP=P(P=P+P-P具有幂等性),那么121133233123P=I。因此我们可以得到ΛΜ=Λ,ΛΤ=Λ,ΜΤ=Τ所以 (Λ,μ,t),1iii
i=1,2,3,的所有的可能解是(1,1,1)。(0,1,1),(0,1,0),(0,0,0)。一般情
况下,(Λ,μ,t)=(0,0,0,)。那么(Λ,μ,t)和(Λ,μ,t)可以是集合中111222333的任意值,则有Λ=Μ推出P=P或Λ=Τ推出P=P或Μ=Τ推出1213P=P或者Λ=Μ=Τ推出P=P=P,这与假设条件P?P,i?j相矛盾。23123ij所以(Λ,μ,t),i=1,2,3,可以是(1,1,1)。(0,1,1),(0,1,0)中的任一值,iii
所以Μ=Ι推出P=Ι。 2
同理可证;
(b2)如果PP=P,PP=P,PP=P(P=P+P-P具有幂等性),那么122133232123P=I, 1
(c1)如果PP=P,PP=P,PP=P(P=-P+P+P具有幂等性),那么121133233123P=I, 2
(c2)如果PP=P,PP=P,PP=P(P=-P+P+P具有幂等性),那么122131232123P=I, 3
(d1)如果PP=P,PP=P,PP=P(P=P-P+P具有幂等性),那么122131232123P=I, 3
(d2)如果PP=P,PP=P,PP=P(P=P-P+P具有幂等性),那么122133233123P=I。 1
备注2经计算得到,2×2幂等矩阵的形式是或,
7
2其中a,b?ψ,ab=;或者是形式,其中x,y,z?ψ, x+yz=x且x?。那么2×2型非零可交换幂等矩阵P、P、P均不满足以下情况。 123
(a)PP=0,i?j,j=1,2,3。 ij
(b)PP=P或者PP=P。 121122
根据幂等矩阵的特征值可以证明:
(a) 不失一般性的情况下,我们可以得到:
(a1)
P=;P、P是的矩阵,其中a,b?ψ,ab=,或, 123
2x,y,z?ψ, x+yz=x且x?。
那么PP=P?0,PP=P?0,则与假设定理不符。 122133
(a2)
P=,P=和P=,其中a,b,c,d,e,f?ψ,ab=,cd=,ef。由于PP=PP=0,1231221PP=PP=0和PP=PP=0, 13312332
那么可以分别得到c=-a,d=-b,e=-a,f=-b,且c=-e,f=-d。 所以由P=-P,P=-P和P=-P可以得到P=P=P=0,这与假设定理213132123相矛盾。
(a3)
P=,a,b?ψ且ab=;P= ,P=, 123
22其中x,y,z,p,r,s?ψ,x+yz=x,x?,且p+rs=p和p?。 那么由PP=PP=0,PP=PP=0可以得到 12211331
(iy+a-ax=y+ax=0所以x=因为a?0)
(iir+a-ap=r+ap=0所以p=因为a?0),这就变成了情况(a2)。
8
(a4)
P=,P=其中a,b,c,d?ψ,ab=且cd=;P= 123
2其中x,y,z?ψ,x+yz=x且x?。那么从P1P3=P3P1=0可以得到y+a-ax=y+ax=0,所以x=,这又变成了情况(a2)。 (a5)
P=,P=和P=, 123
222其中x,y,z,p,r,s,u,v,w?ψ,x+yz=x,p+rs=p,u+vw=u,x?,p?和u?。
由PP=PP=0,PP=PP=0,和PP=PP=0我们可以依次得到t=-y,122113311221
s=-z,v=-y,w=-z和v=-r,w=-s所以得到y=0,z=0推出v=0,w=0,
22r=0,s=0,也就是说P,P和P是对角线。那么由x+yz=x, p+rs=p123
2和u+vw=u可以得到x=0或1;p=0或1;u=0或1,所以任意选择x,p,u可以得到P=P=P或P=P或P=P或P=P,每一种情况都和123121323假设相矛盾。
(b) 在不失一般性的情况下,我们可以得到:
(b1)
P=,P=其中 a,b,c,d?ψ,ab=且cd=。 12
如果PP=P(或PP=P),则c=a, d=b,所以P=P,与条件矛盾。 12112212
(b2)
2P= 和P=其中 a,b,c,d,z?ψ,ab=,x+yz=x 和 12
x?由PP=PP可以得到x= (因为a?0)。如果PP=P则y+a-ax=a1221121推出y=a,z+b-bx=ba推出z=b,所以P=P,这与已知矛盾。如果12
9
PP=P,则y+a-ax=a推出y=a,z+b-bx=ba推出z=b,所以P=P,12212这与已知矛盾。
(b3)
22P=和P=,其中a,b,c,d,z,p,r,s?ψ,x+yz=x,p+rs=p,x?,p?,12
由PP=PP可以得到 1221
(i)xp+ys=xp+zr推出ys=zr,
(ii)xr+y-yp=yp+r-xr推出2(xr-yp)=r-y,
(iii)zp+s-sx=sx+z-zp推出2(zp-sx)=z-s。
如果PP=P那么xr+y-yp=y推出xr=yp和sx+z-zp。把这些带进(?)(?)121
可以得到r=y和s=z。所以由xr=yp推出(i)y=0或(ii)x=p或(?)y=0和x=p。因为r=y,所以如果y=0,那么r=0。但是由假设定理我们可以
22得到x=x和p=p或x=0;1和p=0;1.。由PP=P可以得到121
(1-x)(1-p)=1-x,xp=x。所以x=0推出p=0或者x=1推出p=1。所以p=x, P=P与假设相矛盾。如果PP=P,可以得到同样的结果。 12121
最后,P、P、P为1×1型矩阵的案例可以不必考虑。 123
在文章结尾部分,我们给出一些符合定理3。2(a)…(d)的3×3型幂等矩阵。矩阵
P=,P=,P=, 123
符合(a);矩阵
P=,P= ,P=, 123
符合(b)的均采用;矩阵
P=,P= ,P=, 123
10
符合(b)的均采用,矩阵 P=,P= ,P=, 123
符合(c)的均采用,矩阵 P=,P= ,P=, 123
符合(c)的均采用,矩阵 P=,P= ,P=, 123
符合(d)的均采用,矩阵 P=,P= ,P=, 123
符合(d)的均采用。
以上提到的矩阵也是备注1的例证。
11
参考文献
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