勾股定理经典例题

勾股定理经典例题 知识点一:勾股定理 222 如果直角三角形的两直角边长分别为:a，b，斜边长为c，那么a，b,c(即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方( 要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 (2)勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的一些变式: 22222222222 c=a+b, a=c-b， b=c-a ， c=(a+b)-2ab 知识点二:用面积证明勾股定理 方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。 知识点三:勾股定理的作用 1(已知直角三角形的两条边长求第三边; 2(已知直角三角形的一条边，求另两边的关系; 3(用于证明平方关系的问题; 4(利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 222 满足不定方程x+y=z的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的: ?3、4、5?5、12、13;?8、15、17;?7、24、25;?10、24、26;?9、40、41( 如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt?ABC中，?C=90? (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华:有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如:不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】:如图?B=?ACD=90?, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图，已知:在中，，，. 求:BC的长. 总结升华:利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图，已知:，，于P. 求证:. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 【变式2】已知:如图，?B=?D=90?，?A=60?，AB=4，CD=2。求:四边形ABCD的面积。 类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60?方向走了到达B点，然后再沿北偏西30?方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 总结升华:本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出?ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 在四个村庄联合架设一条线路，他们 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 了四种架设 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，如图实线部分(请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线( 思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论( 总结升华:在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计(本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质( 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高,,为4cm，,,是上底面的直径(一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程( 2227、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。经典例题精析 类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3:4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 总结升华:直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 总结升华:注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出 哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( ) A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 类型二:勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且?QPN,30?，点A处有一所中学，AP,160m。假设拖拉机 行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影 响,请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒, 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造 直角三角形以便利用勾股定理。 类型三:数学思想方法(一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解 决( 3、如图所示，?ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点， 且DE?DF，若BE=12，CF=5(求线段EF的长。 思路点拨:现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD( 解:连接AD( 因为?BAC=90?，AB=AC( 又因为AD为?ABC的中线， 所以AD=DC=DB(AD?BC( 且?BAD=?C=45?( 因为?EDA+?ADF=90?( 又因为?CDF+?ADF=90?( 所以?EDA=?CDF( 所以?AED??CFD(ASA)( 所以AE=FC=5( 同理:AF=BE=12( 在Rt?AEF中，根据勾股定理得: ，所以EF=13。 总结升华:此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 (二)方程的思想方法 4、如图所示，已知?ABC中，?C=90?，?A=60?，，求、、的值。 思路点拨:由，再找出、的关系即可求出和的值。 解:在Rt?ABC中，?A=60?，?B=90?-?A=30?， 则，由勾股定理，得。 因为，所以， ，，。 总结升华:在直角三角形中，30?的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三:【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 解:因为?ADE与?AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以?B=?C=90?， 在Rt?ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以。 所以。 设，则。 在Rt?ECF中，，即，解得。 即EF的长为5cm。