数列通项公式的十种求法92204
数列通项公式的十种求法
一、公式法:(能判断所给数列是等差数列或者是等比数列)
n例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。 {}aaa,，，232a,2{}a，1n1nnn
aaaaa33n，1nnn，1nn，1n解:两边除以，得，则，故数列是2aa,，，232,，,,{}，1nnnnn，1nn，12222222
a3a321n以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，,,11(1),，,nn122222
31n所以数列的通项公式为。 {}aan,,()2nn22
aa3nnn，1评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列aa,，，232,,，1nnnn，1222aa3nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{}1(1),，,nnn222
的通项公式。 {}an
二、累加法 :形如 a,a，f(n)n，1n
解法:把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 a,a,f(n)n，1n
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}aaana,，，,211，{}annn，11n
三、累乘法: 形如 a,f(n)a n，1n
an，1,f(n) 解法:把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
n{}aanaa,，，,2(1)53，{}a例3 已知数列满足，求数列的通项公式。 ，11nnnn
(pq(p,1),0)a,pa，q四、待定系数法(构造法):形如(其中p，q均为常数，)。 n，1n
qa,t,p(a,t)t,解法(待定系数法):把原递推公式转化为:，其中，再利用n，1n1,p换元法转化为等比数列求解。
例4 已知数列中，，，求. ,,aa,2a，3aa,1nn，1nn1
r五、对数变换法:形如 a,pa(p,0,a,0)，1nnn
解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。 a,pa，qn，1n
12例5 已知数列,,中，，求数列 ,,(a,0)aa的通项公式.a,a,,a1,nnn，n11a
六、递推公式为与的关系式。(或) SaSfa,()nnnn
,,,,,,,,,,,,,,,,,S(n1),1,a解法:这种类型一般利用与,nSS(n2),,,,,,,,,nn,1,
消去 或与消去(n,2)(n,2)a,S,S,f(a),f(a)SS,f(S,S)annn,1nn,1nnnn,1n
进行求解。
1例6 已知数列前n项和4. ,,aS,,a,nnnn,22
(1)求与的关系;(2)求通项公式. aaan，1nn
七、数学归纳法
f(n)ana,八、取到数法:形如 n，1g(n)a，h(n)n
解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a,pa，q。 n，1n
an,1a,,a,1例7 已知数列,a,满足:，求数列,a,的通项公式。 nn1n3,a，1n,1
pa，qna,九、不动点法:形如 ，1nra，hn
pa，qna,n,N{a}解法:如果数列满足下列条件:已知的值且对于，都有(其a，1nn1ra，hn
hpx，qph,qrr,a,,x,,0,中p、q、r、h均为常数，且)，那么，可作特征方程,1rrx，h
,,1x当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、xx,,012ax,n0,,
,,ax,n1时，则是等比数列。 ,,ax,n2,,
2124a,n例8 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}aaa,,，4{}a，11nnn41a，n
2124x,2124x,2420240xx,，,解:令，得，则是函数的xx,,23，x,fx(),1241x，41x，
两个不动点。因为
2124a,n,2aaaaaa,，,,，,,24121242(41)1326213nnnnnn，1。所以数列,,,,2124a,aaaaa,,,，,,321243(41)92793nnnnnn，1,341a，n
,,a,2a,2a,,2421313n,1nn1是以为首项，以为公比的等比数列，故，,2(),,2,,a,39a,39a,,343n,,n1
1则。 a,，3n13,1n,2()19
2124x,2124x,评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两x,fx(),41x，41x，
,,a,2aa,,2213nnn，1个根，进而可推出,,，从而可知数列为等比数xx,,23，,,12a,3aa,,393n,,nn，1
,,a,2n列，再求出数列的通项公式，最后求出数列{}a的通项公式。 ,,na,3n,,
72a,naa,,，2例9 已知数列{}a{}a满足，求数列的通项公式。 ，11nnn23a，n
72x,31x,22420xx,，,x,1解:令，得，则是函数的不动点。 x,fx(),47x，23x，
7255aa,,nna,,,,11因为，所以 ，1n2323aa，，nn
2111nna,，，。 ()()n3423
十、递推公式为(其中p，q均为常数)。 a,pa，qan，2n，1n
解法:先把原递推公式转化为 a,sa,t(a,sa)n，2n，1n，1n
s，t,p,其中s，t满足 ,st,,q,
21例10 已知数列中，,,，求。 ,,aaa,a，aa,1a,2nnn，2n，1n1233
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