一题多解11---导数--极值点偏移

一题多解11---导数--极值点偏移已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：．命题说明：一、命题来源：个人原创二、主要考查以下几方面内容：（1）考查求导公式（包括形如的复合函数求导）及导数运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想；三、难度：属于理科导数压轴题，难；四、解题方法：（Ⅰ）解：的定义域为 ...

已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：．命题说明：一、命题来源：个人原创二、主要考查以下几方面内容：（1）考查求导公式（包括形如的复合函数求导）及导数运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想；三、难度：属于理科导数压轴题，难；四、解题方法：（Ⅰ）解：的定义域为，（解决函数问题，定义域优先的原则）（常见函数的导数公式及导数的四则运算）（ⅰ）若则，所以在单调递增；（ⅱ）若则由得，当时，，当时，（导数法研究函数单调性，涉及分类讨论的思想）单调递增，在单调递减. 综上，当时，在单调递增；当时，单调递增，在单调递减. 归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：易错点一是忽略函数的定义域，易错点二是分类讨论的分类标准的选取。（II）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“ ”的不等式叫二元的不等式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。解析：方法一：构建以为主元的函数设函数（构造函数体现划归的思想）则，（这是本题的难点，估计很多学生不知要把朝何方象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复合函数求导，只需掌握型。）（型的复合函数求导）当 . 故当，方法二：构建以为主元的函数设函数，则由，解得当时，，而，所以故当，归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。（Ⅲ）分析：判断的正负，由（Ⅰ）中单调性，可知，即确定与的大小关系，又可等效成判断与的大小关系，根据（Ⅱ）中不等式可确定与的大小关系，结合（Ⅰ）中单调性，问题迎刃而解。解：由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设（结合图象分析更方便）由（II）得（注意前后两问的衔接）又在单调递减所以（利用函数性质脱掉函数符号）由（I）知，归纳小结：本小问解决主要是建立在第（Ⅰ）（II）问的基础之上的，分析问题中注意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。五、试题蕴含的数学思想方法：数学思想：（1）分类讨论思想（2）转化划归思想（3）数形结合思想数学方法：（1）导数法确定函数单调性（2）构造函数法证明不等式六、题目的几何背景：任何抽象的代数形式背后，都有其深刻的几何背景，本题的几何背景无论是函数还是其实都是先减后增的单峰函数，利用图象的对称平移变化，就能出现在的指定的某一范围下，两函数图象的端点处的函数值相同，图象有高低，也就产生了我们的试题中的第（II）问。由于为单峰函数，图像关于直线（为函数的极值点）不对称，导致直线（或轴）与曲线相交时，交点到直线的距离不等，进而出现重点在的右侧，也就出现试题中的第(III)问。七、问题变式与拓展对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，对其加以变式，一对题目的条件加以变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式。问题变式一：已知函数．（III）若函数的图像与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：．编题意图：将特殊直线（或轴）变成一般的直线，体现从特殊到一般。问题变式二：已知函数，（III）若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：．编题意图：要解决的问题不变，改编的是原函数，通过添加参数来改编试题，改变试题的难度。问题变式三：已知函数（1）求的单调区间；（2）求证：（3）设图象与直线的两交点分别为，中点横坐标为证明：编题意图：跳出所给函数，尝试在新函数下改编问题。问题变式四：已知函数，若函数的图象与轴交于两点、，且 . 若正常数满足 .求证：. 编题意图：将中点变成任意分点，来改编试题。

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