阶梯式连续梁的有限三弯矩方程及刚度分析

阶梯式连续梁的有限三弯矩方程及刚度 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 林成厚 ,李进京 ,李汝莘 ,李茂兵 ( )山东农业大学 机械与电子工程学院 ,山东 泰安 271018 摘要 :应用迭代法对阶梯式简支梁挠曲线的有限差分方程组进行分析 、求解 ,建立有限转角及挠度方程 ,推导了阶 梯式连续梁的有限挠度方程及有限三弯矩方程 ,并据该方程进行了弯曲刚度分析 ,得到足够精确的结果 ,为工程计 算提供了一个很好的方法 。 () 文章编号 :1000 - 2324 200202 - 0212 - 05 : TB124 文献标识码 :A 中图分类号 关键词 :有限差分 ;阶梯式梁 ;三弯矩方程 ;挠度 THE FINITE THREE - MOMENTS EQUATIO NS AND STIFFNESS ANALYSIS OF CO NTINUO US L ADD ER BEAM L IN Cheng - hou ,L I J in - jing ,Li Ru - shen ,L I Mao - bing ( )College of Mechanical and Electronic Engineering ,Shandong Agricultural University ,Tai’an 271018 , China Abstract :By analyzing the set of finite difference equations of the deflection curve of continuous simple - supported beam ,the three - moments of rotation and deflection are established. Then the finite three - moments equations and fi2 nite deflection equations of continuous ladder beam are derived. Based on these equations ,sufficient accurate results of stiffness analysis can be obtained ,so a very practical method of engineering computation is supplied. Key words : difference equations ;ladder beam ;three2moments equations ; deflection () 在农业工程中经常遇到阶梯式连续梁 轴,关于它的弯曲变形的分析与计算是一项很重要的 ,但又十 分困难而复杂的工作 。笔者采用有限差分法进行深入探讨 、研究 ,得到十分满意的结果 。 1 阶梯式简支梁挠度及转角的有限差分方程 l 阶梯式简支梁及其挠曲线如图 1 所示 ,其跨度为 l , n 等分 , h = 。取横坐标为 x,x,x, ?的诸 i - 1 i i + 1 n 1 点 ,各相邻点的距离均为 h ,这些点的纵坐标为 y,y,y。由差分理论得 : i - 1 i i + 1 2 - yyy- 2y+ y i + 1 i - 1d yi - 1 i i + 1 dy ( ) ( ) =, = i i 22 dx 2h dx h 又由挠曲线的近似微分方程 2 M d yidy ( ( ) θ) = ,= 2i i idx EI dx i θ上述两式中 , M、EI及分别为第 i 点截面的 i i i 图 1 阶梯式简支梁及挠曲线 弯矩 、抗弯刚度及转角 , 所以挠曲线在 x处的二阶 i Fig. 1 Simple - supported la dder bea m and its deflection curve 导数一阶导数的有限差分方程为 M 1 i2)(θy- 2y+ y= h? , = y- y i - 1 i i + 1 i + 1 i - 1i 2h EI i 收稿日期 :2001 - 02 - 26 (作者简介 :林成厚 ,男 , 1945 -) ,教授 ,泰安市岱宗大街 61 号 ,山东农业大学工程技术学院 . M o2设点 - 1 ,n + 1 分别为左右两支座向外虚拟的两个点 ,则 y - 2y+ y= h? , 将该式代入上式得 : - 1 0 1 EI o M1 o2 θ) (= y- y ,边界条件 y= 0 ,设 A= h? , M, EI分别为原点截面的弯矩和抗弯刚度 ,故o 1 - 1o o o o 2h EI o 1 θ) (()= 2y- A1 o 1 o 2h M 2i() 称 1式阶梯式简支梁原点截面的有限转角方程 ,若设 A = h? , 且边界条件 y= 0 ,y= 0 ,利用迭代 i o n EI in - 1 1 ()( ) 2 6 n - j?A 法对 n 个有限差分方程组进行运算 ,则得出 :y= - j1 j = 1n i - 1 () ()y= i?y+ 6 i - jA? 3 i 1 jj = 1 n - 1 )(()y= - y+ 6 A 4 n - 1 1 j j = 1 () 称 3式为阶梯式简支梁有限挠度方程 2 阶梯式连续梁有限三弯矩方程 2. 1 选择连续梁的静定基梁 。以连续梁的第 n - 1 ,n 两跨为例 ,沿第 n - 1 ,n ,n + 1 支座截面处切开 ,装上 () 中间铰链 ,并代之以相应的多余约束力偶矩 M , M , M ,如图 2 a所示 。从而转变成第 n 支座的左右 n - 1 n n + 1 两跨各自独立的简支梁 ,即为连续梁的静定基梁 。 图 2 第 n 支座左 、右两跨简支梁 Fig. 2 Left and right simple - supported bea ms of the nth support θ2. 2 计算左跨简支梁的 n 支座截面转角′,左跨分别在实际载荷及 M 、M 单独作用下 ,n 支座截面的 n n - 1 n l n - 1) () ( 转角变化规律 。令 k= 。在实际载荷单独作用下 ,如图 2 b′所示坐标 ,而 A= 0 ,由 2式得 1 o h k - 1 1 M 1 j2) () θ( y= 2 6,将该式代入 1式 ,得 n 支座截面转角:k- jh?? 1 1 01 j = 1kEI j1 h ()θ5 = - B? 01 Ek 1k - 1 1 ( ) k2jM 1j()B = 6 6 j = 1 I j ) ( 在 M 单独作用下 ,弯矩图如图 2 C′所示 ,同理得 n k - 1 k - 1 2 2 1 1 ) ( M k2jhM k - j 1 n 1n 1 2) ( ( ) 6 y= - 6 k- jh?? = - 。 1 1 2 j = 1j = 1 kEIkI k1 j 1j E 1 M n2() θA= h? , 将上述两式代入 1式得 n 支座截面转角。 o 02 EI o βhM? n 1 1 ()( )θ7 = - + 02 2 2 IE o k 1 k - 1 21 ( ) k- j 1 ( )β8 = 6 1 j = 1 I j ) ( 在 M 单独作用下 ,弯矩图如图 2 d′所示 ,同理得 n - 1 k - 1 k - 1 2 1 1 ( ) ) ( k 2jj? hM M 1 j n - 1 1 n - 12) ( ) ( = - y= - 6 k2jh?? 6 1 12 j = 1 j = 1kEIkI k j 1 j 1E 1 () θ而 A= 0 ,将以上两式代入 1式 ,得 n 支座截面转角 o 03 βh M n - 1 2θ()= -9 ? 03 2 E k1 k 21 1 ( ) k2jj? 1β()= 610 2 j = 1 I j θ因此左跨在实际载荷及 M , M 共同作用下 ,n 支座截面的转角′为 n n - 1n ββ hM? hM? n - 1 2h n 1 1 ( θθθθ()) B - + ′=++= - - ? 11 n 01 02 03 2 2 Ek2 IE E kk1o1 1 ) ( ) ( ) θ( 2. 3 计算右跨简支梁的 n 支座截面转角″,右跨及所设坐标及相应的弯矩图如图 2 b″, c″, d″所示 , n l nθ令 k= 。同理 ,在实际载荷作用下 ,n 支座截面转角′2 01 h h θ()′= - B?′ 12 01 Ek 2K 21 2 ( )k2j 2()13 B=′ 6 M′ jj = 1 I j θ在 M 单独作用下 ,n 支座截面转角′ n 02 βh M ′ n 1 1 θ()( )′= -14 + 02 2 2 IE k o 2 k 21 22 ( ) k2j 2β()′= 6 15 1 j = 1 I j θ在 M 单独作用下 ,n 支座截面转角′ n + 103 βh M ′ n + 1 2θ()′= -? 16 03 2 E k2 k - 1 2 ( ) k2jj? 2()β17 ′= 6 2 j = 1 I j θ叠加其结果 ,n 支座截面转角″为 n ββ h?M ’ h?M ′ h 1 n + 1 2n 1( ) ()θ+ - 18 ″ = - B?-′? n2 2 EkE 2 IE kk2o2 2 θ()θ2. 4 阶梯连续梁的有限三弯矩方程 ,变形协调条件 , ″= - ′19 nn () () () 将 1118两式代入 19式 ,化简得 ββββ′′ 21 1 B B′ 12()M ?( ) 20 + M + + + M ? = - - n - 1n n + 12 2 2 2 kkI kkkok1 21 1 2 2 2 () 称 20式为阶梯连续梁的有限三弯矩方程。 3 工程实例 ()() 1 某机械主轴 ,几何形状 ,尺寸大小 ,载荷及支承情况如图 3 a所示 ,设材料弹性模量 E = 200 GPa , 允许挠度 y = 0 . 1725mm ,0 . 8625mm ,据此分析其弯曲刚度条件 。 图 3 阶梯式连续轴及其静定基轴 Fig. 3 Continuous ladder beam and its statically determinate base ()2 第一跨简支梁的有关数据准备 ,h = 69mm ,k= 18 ,支反力 R= ′26570N , R= ′93430N ,及所设坐 1 AB4π< i ) ( 标如图 3 b′所示 。x= hi? , I= 则有 :i i 64 1()M = 93430x- 120000 < x- 275 > 21 i i i () () () 分别代入 6, 8, 10式计算得 : 217 17 17 () 18 - jM () () 18 - j 18 - jj? j26 26βB = 6 β= 158 . 44 ×10; = 6 = 95 . 8 ×10 = 235 . 69 ; = 6 2 1 j = 1 j = 1 j = 1 III jjj ()3 ) () ( 第 2 跨简支梁的有关数据准备 ,h = 69 ,k= 25 ,梁上无载荷 ,如图 3 b″所示 ,B=′ 0 ,同理由 15, 2 () 17式计算得 : 224 24 () () 25 - j 25 - jj? 26 26 ββ= 6 = 108 . 06 ×10; ′= 6 ′= 52 . 01 ×10。 2 1 j = 1 j = 1 II jj ()() 4 利用有限三弯矩方程求解 。将上述计算的结果代入 20式 ,并注意 B=′ 0 ,k= 18 ,k= 25 , M 1 2 n - 1 4 π×150 7 7= 0 , M = M, M = M= - 2 . 88 ×10, I= ,解得 M= 21 . 5237 ×10Nm?m 。再利用已知条件及 n B n + 1 c o B 64 ( ) 上述结果 ,根据平衡条件求得连续梁的支反力 , R= 14302N , R= 97835N , R= 127863N ,如图 3 a所示 。 A B C ) (准确值 R= 14314N , R= 97814N , R= 127872N。 A B C ()( ) 5 建立阶梯式连续梁的有限挠度方程及刚度分析 ,建立坐标如图 3 a, h = 69mm ,将整梁分成 46 个微段又 33mm ,i = 1 ,2 ,3 , ?, k , ?46 . 若令 C 支座为 k 点 ,则 k = 43 ,x= 69i? , M= 14302x- 120000〈x- i i i i 1 1 1()967〉+ 97835〈x- 1242〉+ 127863〈x- 2967〉 22 i i 由上述简支梁挠曲线二阶导数的有限差分理论可进一步推导出该阶梯连续梁的有限挠度方程 。 i - 1 i - 43 1 1 () () y=〈 - 〉[?? 6 i - jA+ i?y+ 〈i - 43〉[?? 6 jA?- i - 43y?]i j 1 i - j 42 j = 1 j = 1 i 43 ()23 () 由已知条件代入 2式计算得 : 42 1 22() () y= - 6 43 - jA?= - 11 . 7026 ×10mm ,同理由 4式得 1 j j = 143 42 22) () (y= - y+ 6 A= 15 . 4088 ×10mm ,将上述两结果代入 23式 : 42 1 j j = 1 i - 1 i - 43 1 1 2222 () () ()y=〈 - 〉[?? 6 i - jA- 11 . 7026 ×10i? + 〈i - 43〉??[ 6 jA?- i - 43×15 . 4088 ×10] 24 i j i - j j = 1 j = 1 i 43 1 3 () () () () 在式 21, 22, 23, 24中含有奇异函数, n ()() x - x, x - x?0 a a n 该函数定义为〈x - x〉= a ()0 , x - x< 0 n ?0 a 22 22 () 由 24式算得 y= - 38 . 3012 ×10,y= - 61 . 2973 ×10,而 x2x= 69 ,x2x= 33 ,又由差分理论求 45 46 4645 D46 得 : () y69 + 33- y×33 M 46 45 1 4622 ( ) + ×× 33 + 69 ×33 = - 72 . 2987 ×10 mmy= D 69 2 EI46 22 () 由 24式计算结果可知当 x= x= 2139mm 时 ,| y| = 81 . 1385 ×10mm ,而| y| < y , 符合 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的 i 31 max max 刚度条件的要求 。 4 结论 1 阶梯连续梁的有限三弯矩方程 ,与传统的三弯矩方程相比 ,形式上是相似的 ,便于记忆理解 ,比文献 2 所提供的方程更具有程序化 、 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 化的优点 ,便于微机 、计算器分析 、计算 。同时 ,有限挠度方程引进奇 异函数 ,可直接计算任一点处的挠度 。当微段分得越小时 ,精确度越高 ,如实例结果 ,并相当精确地绘制出 挠曲线 ,借此判断最大挠度值及其所发生的位置 。在工程中有很高的使用价值 。 参考文献 : ( ) 〔1〕 刘鸿文. 材料力学 第三版上 、下册M. 北京 :高等教育出版社 ,1992 :271 - 272 ,267 - 268 ,70 - 74 . ( ) () 〔2〕 王学理. 连续跨越多个支座的阶梯梁 轴的三弯矩方程J . 力学与实践 ,1985 4:26 - 28 . 〔3〕 Higdon 等著. 易钟煌等译. 材料力学M. 北京 :高等教育出版社 ,1985 :221 - 222 .