高等代数(北大版第三版)习题答案I

高等代数(北大版第三版)习题答案I 高等代数(北大第三版)答案 目录 第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方 程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 λ —矩阵 第九章 欧氏空间 第十章 双线性函数与辛空间注: 答案分三部分，该为第 一部分，其他请搜索，谢谢～ 第一章 多项式1( 用 g x 除 f x ，求商 q x 与余 式 r x :1) f x x 3 3 x 2 x 1 g x 3 x 2 2 x 1 ;2) f x x 4 2 x 5 g x x 2 x 2 。 1 7 26 2解 1)由带余除法，可得 q x x r x x ; 3 9 9 92)同理 可得 q x x 2 x 1 r x 5 x 7 。2( m p q 适合什么条件时，有1) x 2 mx 1 x 3 px q ，2) x 2 mx 1 x 4 px 2 q 。解 1)由假设，所得余式为 0，即 p 1 m 2 x q m 0 ， p 1 m2 0所以当 时有 x 2 mx 1 x 3 px q 。 qm 0 m 2 p m 2 02)类似可得 ，于是当 m 0 时，代入(2)可得 p q 1 ;而 当 q 1 p m 0 22 p m 2 0 时，代入(2)可得 q 1 。 m0 q 1综上所诉，当 或 时， 皆有 x 2 mx 1 x 4 px 2 q 。 p q 1 p m2 23(求 g x 除 f x 的商 q x 与余式: 1) f x x 5 5 x 3 8 x g x 3 ; 2 x 2) f x x 3 x 2 x g x x 1 2i 。 1) ; r x 327 q x x 2 2ix 5 2i 2) 。 q x 2 x 4 6 x 3 13 x 2 39 x 109解 r x 9 8i4(把 f x 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成 x x0 的方幂和，即表成c0 c1 x x0 c2 x x0 2 . cn x x0 n 的形式: . .1) x 1 ; 5 f x x0 x 22) f x 2 x 3 x0 ; 4 23) f x 2ix 1 i x 3 x 7 i x0 i 。 4 3 2 x解 1)由综合除法，可得 f x 5 x 1 10 x 1 2 10 x 13 5 x 1 4 x 15 ; 12)由综合除法，可得 x 4 2 x 2 3 11 24 x 2 ) 由综合除法，可得 x 4 2ix 3 1 i x 2 3 x 7 i 22 x 2 2 8 x 23 x 2 4 ;3 7 5i 5 x i 1 i x i 2 2i x i 3 x i 4 。5(求 f x 与 g x 的最大 公因式:1) f x x 4 x 3 3 x 2 4 x 1 g x x 3 x 2 x 1 ;2) f x x 4 4 x 3 1 g x x 3 3 x 2 1 ;3) f x x 4 1 02 1 g x x 4 4 2 x 3 6 x 2 4 2 x 1 。 x解 1) f x g x x 1 ;2) f x g x 1 ;3) f x g x 2 2 x 1 。 x26(求 u x v x 使 u x f x v x g x x 。 f x g 1) f x x 4 2 x 3 x 2 4 x 2 g x x 4 x 3 x 2 2 x 2 ;2) f x 4 x 4 2 x 3 1 62 5 x 9 g x 2 x 3 x 2 5 x 4 ; x3) f x x 4 x 3 4 x 2 4 x 1 g x x 2 x 1 。解 1)因为 f x g x x 2 r2 x 2 q1 x g x r1 x f x 再由 ， q2 xr1 x r2 x g x r2 x q2 xr1 x q2 x f x q1 x g x g x g x 解得 ， q2 x f x 1 q1 xq2 xg x u x q2 x x 1 于 是 。 v x q1 xq2 x 1 x 1 x 2 1 1 1 1 2 2 2)仿上面方法，可得 f x g x x 1 ，且 u x x v x x 1。 2 x 3 3 3 3 3)由 f x g x 1 可得 u x x 1 v x 3 x 2 3 x 2 。 x ,(设 f x x 3 1 t x 2 2 x 2u 与 g x x 3 tx 2 u 的 最大公因式是一个二次多项 式，求 t u 的值。 f x q1 x g x r1 x x 3 tx 2 u x 2 2 x u 解 因为 ， q2 xr1 x r2 x g x x t 2 x 2 2 x u u 2t 4 x u 3 t ， 且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式 r2 x 为 0，即 u 2t 4 0 ， u 3 t 0 u1 0 u2 2 从而可解得 或 。 t1 2 t2 3 ,( 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 且 :如果 d x f x d x g x ， d x 为 f x 与 g x 的组合，那么 d x 是 f x 与 g x 的一个最大公因式。 证 易见 d x 是 f x 与 g x 的公因式。另 设 x 是 f x 与 g x 的任一公因式，下证 x d x 。 由于 d x 是 f x 与 g x 的一个组合，这就是说存在多项式 s x 与 t x ，使 s x f x t x g x ， d x 从而由 x f x x g x 可得 x d x ，得证。 ,(证明: f x h x g x h x f x g x h x ， h x 的首系数为,)。 证 因为存在多项式 u x v x 使 f x g x u x f x v x g x ， 所以 f x g x h x u x f x h x v x g x h x ， 上式 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 f x g x h x 是 f xh x 与 g xh x 的一个组合。 另一方面，由 f x g x f x 知 f x g x h x f x h x ， 同理可得 f x g x h x g xh x ， 从 而 f x g x h x 是 f xh x 与 g xh x 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又 因 为 f x g xh x 的首项系数为,，所以 f xh x g xh x f x g xh x 。 ,,(如果 f x g x 不全为零，证明: f x g x 1。 f x g x f x g x 证 存在 u x v x 使 f x g x u x f x v x g x ， 又因为 f x g x 不全为,，所以 f x g x ? 0 ， f x g x u x由消去律可得 1 v x ， f x g x f x g x f x g x 所以 1。 f x g x f x g x 11 ( 证 明 : 如 果 f x g x 不 全 为 零 ， 且 u x f x v x g x x ， 那 么 f x g u x v x 1 。 证 由上题证明类似可得结论。 f x g x 12(证明:如果 1 f x h x 1 ，那么 f x g x h x 1 。 证 由假设，存在 u1 x v1 x 及 u2 x v2 x 使 u1 x f x v1 x g x 1 (1) u2 x f x v2 xh x 1 (2) (2)两式相乘，得 将(1)u1 xu2 x f x g f x v1 xu2 x g x u1 xv2 xh x f x ，v1 xv2 xg xh x 1所以 x h x 1 。13(设 f1 x... f m x g1 x... g n x 都是多项式，而且 fi x g j x 1 i 1 2... m j 1 2... n 。求证: f1 x f 2 x. .f m. x g1 x g 2 x. g n. x 1 。 .证 由于 f1 x g1 x 1 f1 x g 2 x 1 ， .......................... f1 x g n x 1反复应用第 12 题结论，可得 f1 x g1 x g 2 x. g n. x 1 ， .同理可证 f 2 x g1 x g f m x g1 x g 2 x. g n. x 1 .从2 x. g n. x 1 . ................................................ ， 而可得 f1 x f 2 x. .f m. x g1 x g 2 x. g n. x 1 。 .14(证明:如果 f x g x 1 ，那么 f x g x f x g x 1。证 由题设知 f x g x 1 ，所以存在 u x v x 使 u x f x v x g x 1，从而 u x f x v x f x v x f x v x g x 1，即 u x v x f x v x f x g x 1，所以 f x f x g x 1。同理 g x f x g x 1。再由 12 题结论，即证 f x g x f x g x 1。15(求下列多项式的公共根 f x 3 2 x 2 2 x 1 g x 4 x 3 2 x 2 x 1 x x 1 ? 3i 由辗转相除法，可求得 f x g x x x 1 ，所以它们的公共根为 2解 。 216(判别下列多项式有无重因式:1) f x x 5 5 x 4 7 x 3 2 x 2 4 x 8 ;2) f x x 4 4 x 2 4 x 3 ; f ′ x 5 x 4 20 x3 21x 2 4 x 4解 1) ， f x f ′ x x 2 2 所以 f x 有 x 2 的三重因式。2) f ′ x 4 x 3 8 x 4 ， f x f ′ x 1 ，所以 f x 无重因式。17(求 t 值，使 f x x 3 3 x 2 tx 1 有重根。解 易知 f x 有三重根 x 1 时， t 3 。若令x 3 3 x 2 tx 1 x a 2 x b ，比较两端系数，得 3 2a b a 2ab 2 t 1 a 2b 1 由(1)(3)得 2a 3a 1 ，解得 a 的三个根为 a1 1 a2 1 a3 3 2 ， 0 ，将 a 的三个根 2 5分别代入 ， (1) 得 b1 1 b2 1 b3 4 。 再将它们代入 ， (2) 得 t 的三个根 t1 3 t2 3 t3 。 4 5 1当 t12 3 时 f x 有 3 重根 x 1 ;当 t3 时， f x 有 2 重根 x 。 4 218(求多项式 x 3 px q 有重根的条件。解 令 f x x 3 px q ，则 f ′ 3 x 2 p ，显然当 p 0 时，只有当 q 0 f x x 3 x 才有三重根。下设 p ? 0 ，且 a 为 f x 的重根，那么 a 也为 f x 与 f ′ x 的根，即 a 3 pa q 0 3a p 2 0 p由(1)可得 a a p ，再由(2)有 a q 2 2 。所以 3 p a p q 3 ， 3q a 2p 9q 2 p两边平方得 2 a 2 ，所以 4 p 3 27 q 2 0。 4p 3 0 时，多项式 x3 px q 有重根。综上所叙即知，当 4 p 3 27 q 2 19(如果 x 1 2 ax 4 bx 2 1 ，求 a b 。解 令 f x ax bx 1 ， f ′ x 4ax 2bx 。由题设知，1 是 f x 的根，也是 f ′ x 4 2 3的根，此即 a b 1 0 ， 4a 2b 0解得 a 1 b 2 。 x2 xn20(证明: 1 x ... 不能有重根。 2 n 1 2 1 1证 因为 f x 的导函数 f ′ x 1 x x ... x n 1 ， 以 f ′ x x n ， 所 f x 2 n 1 n 1 n 1 f ′ x于是 f x f ′ x x f ′ x n f ′ x f x 无重根。 x 1 ，从而 n n21(如果 α 是 f ′′′ x 的一个 k 重根，证明 α 是 xag x f ′ x f ′a f x f a 的一个 k3 重根。 2证 因为 xa 1g ′ x f ′′ x f ′ x f ′a 2 2 ， xag ′′ x f ′′′ x 2由于 α 是 f ′′′ x 的 k 重根，故 α 是 g ′′ x 的 k 1 重根。代入验算知 α 是 g x 的根。现在设 α 是 g x 的 s 重根，则 α 是 g ′ x 的 s 1 重根，也是 g ′′ x 的 s-2 重根。所以 s 2 k 1 s k 3 。得证。 22(证明: x0 是 f x 的 k 重根的充分必要条件是 f x0 f ′ x0 . . f . k 1 x0 0 ， 而f k x0 ? 0证 必要性:设 x0 是 f x 的 k 重根从而是 f ′ x 的 k 1 重根 ，是 f ′′ x 的 k 2 重根， ， k 2是f x0 的一重根，并且 x0 不是 f k x 的根。于是 f x0 f ′ x0 . . f . k 1 x0 0 而 f k x0 ? 0 。 k 1充分性:由 f x0 0 ， 而 f k x0 ? 0 ， 知 x0 是 f k 1 x 的 一 重 根 。 又 由 f k 2 x 的二重根，依此类推，可知 x0 是 f x 的 于 f k 2 x0 0 ，知 x0 是 k 重根。23(举例说明段语“ α 是 f ′ x .