分圆多项式在Z[X]中不可约性的新证明

分圆多项式在Z[X]中不可约性的新证明分圆多项式在Z[X]中不可约性的新证明团放c(中】) 分圆多项式在Z[X]中不可约性的新证明口阮艳华 (江西蓝天学院复杂生命动力学研究所江西?南昌330098) 摘要利用对称多项式的基本原理,数论的基本知识及简单的组合公式给出了分圆多项式在有理数域的不可约性的新证明,避免了使用为唯一分解环这一结论. 关键词分圆多项式对称多项式不可约中图分类号:O156文献标识码:A文章编号:1672—7894(2008)05—188—01 引言分圆域由Gauss提出来后,引起了Kummer等数学大...

分圆多项式在Z[X]中不可约性的新证明团放c(中】) 分圆多项式在Z[X]中不可约性的新证明口阮艳华 (江西蓝天学院复杂生命动力学研究所江西?南昌330098) 摘要利用对称多项式的基本原理,数论的基本知识及简单的组合公式给出了分圆多项式在有理数域的不可约性的新证明,避免了使用为唯一分解环这一结论. 关键词分圆多项式对称多项式不可约中图分类号:O156文献标识码:A文章编号:1672—7894(2008)05—188—01 引言分圆域由Gauss提出来后,引起了Kummer等数学大家的关注. 并得到不断完善,分圆域在工程中也有广泛的应用,特别是在现代密码学,信息安全领域.分圆多项式在有理数域上的不可约性Gauss. 中等也给出了证明,但都需要用到这个结论:(P为素数)为唯一分解环.本文给出了另外一种新的证明,这种证明不需要用到此结论. 1,预备知识定义:n为正整数, —?=C一e—’,则称f)为分圆多项式. k=l肚引理1:nF,,(x)--x”-I. 证明:即证等式两边多项式的根相同,且两边都没重根即可得到证明. 引理2:Fo(x盾.故Fo(x)是首1的有理整系数多项式. 2.主要定理及结果定理:F)是中的z】不可约多项式. 在证明定理之前先给出下面三个引理,三个引理的前提条件如下: 设哺))L/),其中麒)’『=1厶m均为中z的不可约多项式,且设. l88 引理3:de=deL=de,其中de~,i=1,L,m表示多项式的次数. 证明:不妨设)=O)=O的其中一个根分别为,wA,显然(f, n)=1,(h,n)=1,则存在a?Z使得al~h(modn),于是”=O,设所有 I 的根l=,则由【l】(用到对称多项式基本原理)得g):17一l )为整系数多项式,故)),则degf2~degg=degfl. 同理可得:degfl~degf2. 所以degft=degfz,由,的任意性得egft=degfz=L=deg. 引理4:存在)=0的一个根a满足fa(a)=O,1?d?,存在素数p,pln,使得?:0?O. 证明:不妨设)=O:0?=1厶,其中不妨k-设为最小的正整数,则必存在q,k-gg.--pq~v为素数,若q=l)=O) ?O命题显然成立;若q?1,则)?O,又,2()=O,命题显然也成立. 定理的证明: 若F))又由引理3,4得:)-=o(mo4o)有重根, 则有引理1,一10(modP)有重根这与【1】中的无重根矛盾. 3.结语本文给出的证明是不同于别的已有证明.我们避免了使用n) (函数),变换和z】的不可约性写I理4的证明还有很多种方法,比如反证法:假如对于任意的根a,任意的素数P都有)=O=O, 同样可以得到本文的结论. 参考文献: cll华罗庚擞论导引【Ml科学出版社.1979. [2]Adleman,L,PomeranceC.andRumely,R,:Ondistinguishingprimenumbers fromcompositenuml~xs,AnnalsofMath,1983:173-206 】潘承洞,潘承彪.代数数论.山东大学出版社,2001. 【3

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