合肥一中2014冲刺高考最后一卷
理科数学试题
命题人：郭建德
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数
为虚数单位),则
等于
A.1 B.
C.
D.
2.已知双曲线的渐近线方程为
,则该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
或
3.已知随机变量
,随机变量
,且
,则
A.
B.
C.
D.
4.已知
满足不等式组
,则
的取值范围是
A.[1,4] B.
C.
D.
5.执行如图所示的程序框图,输出的
值为
A.5 B.8
C.13 D.21
6.将一个边长为2的正方形
沿其对角线
折起,其俯视图如图所示,
此时连接顶点
形成三棱锥
,则其正(主)视图的面积为
A.2 B.
C.
D.1
7.对于任意实数
表示不超过
的最大整数,那么“
”是“
”的( )条件
A.充分而不必要 B.必要而不充分
C.充要 D.既不充分又不必要
8.已知函数
的图象如图所示,
令
,则
的图象是
9.合肥一中第二十二届校园文化艺术节在2014年12月开幕,在其中一个场馆中,由吉他社,口琴社各表演两个节目,国学社表演一个节目,要求同社团的节目不相邻,节目单排法的种数是
A.72 B.60 C.48 D.24
10.定义在
上的奇函数
的最小正周期为10,在区间(0,5)内仅
,那么函数
在区间
的零点个数是
A.24 B.25 C.26 D.28
二、本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
12.某社区有500户家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本,若高收入家庭抽取了25户,则低收入家庭被抽取的户数为
13.数列
中,若
,则
14.在极坐标系中,曲线
的方程为
,曲线
的方程为
,若点
在曲线
上运动,过点
作直线
与曲线
相切于点
,则
的最小值为
15.已知平面上定点
,向量
,且
,点
是平面上的动点,记
,若
,给出以下命题:
①
;
②点
的轨迹是一个圆;
③
的最大值为
,最小值为
;
④
的最大值为
,最小值为
.
其中正确的有 (填上你认为正确的所有命题的序号)
三、本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
在
中,角
所对的边分别是
且
.
(Ⅰ)求
的值
(Ⅱ)若
,求
的面积的最大值.
17(本小题满分12分)
如图,已知直角梯形
所在的平面垂直于平面
,
(Ⅰ)在直线
上是否存在一点
,使得
平面
若存在,求出这个点,若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
18(本小题满分12分)
(Ⅰ)已知
,求证:
;
(Ⅱ)已知
为正常数,且
,曲线
上有两点
,分别过点
和
作曲线
的切线,求证:两切线的交点的横坐标大于零.
19(本小题满分13分)
已知数列
的前
项和为
,且对任意
,都有
成立.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)设
,若记数列
的前
项和为
,求证:
.
20(本小题满分13分)
合肥一中每年五月举行校园微型博览会,在会馆入口处准备了
三种形式的校长签名纪念卡片供参观同学抽取.
(Ⅰ)若有大量纪念卡,其中20%的
卡,现抽取了5张,求其中
卡的张数
的分布列及其数学期望
;(注:在总体数量特别大时,无放回抽样可以近似看作有放回抽样)
(Ⅱ)活动结束,剩余若干纪念卡,从中任意抽取1张纪念卡,得到
卡的概率是
,任意抽取2张卡,没有
卡的概率是
,求证:任意抽取2张卡,至少得到1张
卡的概率不大于
,并指出余下的卡中那种卡最少.
21(本小题满分13分)
在一张画有直角坐标系的纸片中,作以点
为圆心,半径为
的圆,折叠纸片使圆周上的某一个点
恰好与定点
重合,连接
与折痕交于点
,反复这样折叠得到动点
的集合.
(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过直线
上的点
向圆
作两条切线,切点分别为
,若直线
与(Ⅰ)中的轨迹
相交于
两点,求
的取值范围.
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