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学号:05008.doc

学号:05008

李博敦
2017-12-09 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《学号:05008doc》,可适用于综合领域

学号:基于模型的欧式期权定价研究清华大学高皓指导教师:束为(北京市商务局副局长)期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。期权定价是金融衍生工具理论研究和实际应用的核心问题。本文介绍了金融衍生品概况利用随机过程的知识系统研究了基于BlackScholes模型的欧式期权定价问题。文章推导出了标的资产的价格过程进而应用风险中性法详细解析了BlackScholes模型。期权定价伊藤过程BlackScholes模型风险中性。期权是最基本的金融衍生品之一。金融衍生工具(derivativeinstruments)又称金融衍生品(derivatives)或金融证券(derivativesecurities)是一种金融工具其价格或投资回报最终取决于另一种资产即所谓的标的资产(underlyingasset)的价格。这就是说金融衍生品的价值是由其标的资产价值衍生(derived)而得到的。其中用来作为标的资产的可以是债券、股票、货币等基础金融工具也可以是其它实物资产或者是金融衍生品本身。从金融工程学角度看远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生品。市场上还存在的的其它衍生品如掉期(swaps)、按揭抵押债券(mortgagebackedsecurities)、结构化债券(structuredsecurities)等都可以看作上述三种基本衍生工具及债券、股票的基础金融工具不同组合的产物。金融衍生品市场是一个非常巨大的市场表和表分别列出了年前交易所内外交易的金融衍生产品市值。目前全球每年的交易额超过万亿美元而全世界所有国家的当年GDP总和也不过万亿美元。这个市场发展极其迅猛也对全世界的经济走势产生了极其深远的影响。从原理上来讲金融衍生品市场首先是规避风险的工具通过交易使得风险从风险厌恶者手中转移到风险喜好者手中。但在实践中取得的效果往往适得其反越是设计的复杂的产品其破坏力往往就越大。年墨西哥金融危机年亚洲金融风暴都与金融衍生品市场息息相关。金融衍生品市场非常精妙复杂充满了不确定性每天都在发生着惊心动魄的财富故事是对人类智力的挑战。目前在中国还未允许期权交易和金融期货交易但是中国的金融安全、中国的发展需要一大批金融衍生品方面的顶尖专家。前一段时间发生的“国储铜”事件让我们感到学习掌握金融衍生品交易的尖端技术迫在眉睫。表交易所交易的金融衍生产品市值(单位:亿美元)期末名义余额名义交易额时间年月年月年月年年年总计,,,,,,数据来源:国际清算银行年发布的《国际银行业与金融市场发展》季度报告表场外市场交易的金融衍生产品期末未结清余额(单位:亿美元)工具年月年月名义本金额市场总价值名义本金额市场总价值总计,,,,数据来源:国际清算银行年关于衍生品OTC市场的统计报告期权(option):是一种选择权持有者有在约定时间以约定价格向其权提供者购买或售出某种资产的权利但不负有必须买进或卖出的义务。做多方(longposition):买方。做空方(shortposition):卖方。标的资产(underlyingasset):期权合同做多方行使权力时买入或卖出的资产。可供选择的表弟资产有股票、债券、货币、利率等金融资产也可以是黄金和其他一些商品。敲定价格(strikeprice):期权合同所规定的标的资产的买入或卖出价格。敲定价格在签订期权合同时就已经固定不再随标的资产的市场价格变化而变化。看涨期权(calloption):是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利但不同时负有必须买进的义务。看跌期权(putoption):是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利但不同时负有必须卖出的义务。到期日(expirationdate):期权合同所规定的有效期限或合同做多方行使权力的时间。根据做多方在期权有效期内行使权力自由度的不同期权有可以分为美式期权(Americanstyleoption)即做多方可以在到期日前任何一天行使权力欧式期权(Europeanstyleoption)即做多方只能在到期日行使权力本文中仅研究欧式期权。可行市场:研究金融市场有一个基本的假定就是无套利原则也称套利原则这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会(套利的粗略含义是在开始时无资本经过资本的市场运作后变成有非负的(随机)资金而且有正资金的概率为正)。因为在出现套利机会时大量的投机者就会涌向市场进行套利于是经过一个相对短的时期的“混乱”后市场就会重返“正常”即回复到无套利状态。在金融衍生证券的定价理论中并不讨论这段短混乱时期因此在研究中普遍地设置无套利假定这样的市场也称为可行市场。套期:粗略地说以持有某些有价证券组合来抵消某种金融衍生证券所带来的风险称为套期这种套期事实上是完全套期。如果只抵消了部分风险则称为部分套期。以某种证券为标的变量的欧式看涨期权是指在=时甲方(一般为证券公司)与乙t方的一个合约按此合约规定乙方有一个权利能在时刻以价格(敲定价格)从甲方买TX进一批这种证券如果时间T时的市场价格低于X乙方可以不买而只要时间T时的ST市场价格高于X乙方就得利。综合起来乙方在时刻T净得随机收益为ST。因为乙方只能在最终时刻T做出选择所以这种期权是欧式期权。cSX,,max(,)TT此外乙方希望尽量大以便有更多的获利。也就是有选择权的乙方盼望股票上涨这ST就是看涨期权或者买权。由于这个合约能给乙方带来的随机收益cSX,,max(,)TT就需要乙方在t=时刻用钱从甲方购买。这个合约在t=时刻的价格称为它的贴水或保tT,的价格。这正是本文研究的问题。证金(premium)。问题关键是如何确定这个合约在时刻BlackScholes价格从来都是市场经济的核心内容价格是使市场上的交易双方达成交易的最重要的因素价格反映了市场上的供求关系。资产定价(assetvaluation)是现代财务学的一个基本问题。年芝加哥大学教授Black和MIT教授Scholes在美国“政治经济学报”(JournalofPoliticalEconomy)上发表了一篇题为“期权定价和公司负债”(ThepricingofOptionsandCorporateLiabilities)的论文同年哈佛大学教授Merton在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权的理性定价理论”(Theoryofrationaloptionpricing)奠定了期权定价的理论性基础为财务金融学开创了一个崭新的领域也拉开了万亿美元庞大市场的序幕。Scholes和Merton由于在期权定价方面的开拓性贡献被授予年诺贝尔经济学奖(Black教授年逝世未能享此殊誉但英名也永载史册)。现在期权理论与应用研究已经成为财务金融学领域最为活跃的分支本文的研究就是以著名的BlackScholes模型展开的。概念与基本假定BlackScholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为五个:标的资产市场价格Tt,X、执行价格、无风险利率r、标的资产价格波动率和距离到期时间。除此之外,St对于股票期权来说影响其价值的参数还包括股利支付D。在具体分析上述参数对期权价值的影响之前我们先讨论一下期权价值的构成问题。期权的价值等于内在价值和时间价值之和。其中期权的内在价值(intrinsicvalue)是指期权盈价的金额即期权的做多方从执行期权合同中得到的现金收入额。买权的内在价值表明由于期权损益结构的不对称性其内在价值不会为负至少等cSX,,max(,)Tt于。期权价值ttt时间价值图欧式看涨期权的价格(内在价值)ttt,,S对于一个欧式买T权、且现在时刻t离到期日T尚有一段时间Tt则不能简单地用现行市场价格减去执行价格X作为其内在价值St因为它们是发生在两个不同时刻的价值量考虑到货币的时间价值简单的算术加减是没有意义的而应当将未来T时刻的价值量X按无风险利率r贴现到当前时刻。因此欧式买权,,rTt()内在价值的计算公式应当调整为cSXe,,max(,)TtBlackScholes期权定价的基本思路期权定价的主要研究工具是随机过程的分支随机微分方程和鞅。随机微积分起源于马尔可夫过程结构的研究。日本数学家伊藤清在探讨马尔可夫过程的内部结构时认为布朗运动(又称维纳过程)是最基本的扩散过程能够用它来构造出一般的扩散运动。dStSdtSdBt()(),,,这里表示股票StBlackScholes考察一类特殊的扩散过程:价格股票预期收益率,及波动率均为常数t代表时间为标准布朗运动。,,(),Bt()在无交易成本、不分股利的假设涨期权价格F下得出欧式看t,,,,FFFFttttdFSSdtSdB,(),,,ttttt应满足如下微分方程(r为无,,,,tSSSttt风险利率):Black在年曾在一篇文章中介绍了得到BlackScholes模型的全部经过。他指出期权定价的核心在于设计一个套期组合策略使得期权市场投资风险为零这是对期权定价建模思路的高度概括。我们下面将详细讨论。利用偏微分方程的理论求出的方程解析解即著名的BlackScholes期权定价公式。下面列出了欧式买权解的表达式。,,rTt()FcSNdXeNd,,,()()ttt其中S,trTtln()()(),Xd,Tt(),,ddTt,,,(),从概率论的角度讲标的资产价格的变化是一个随机过程。因此了解和掌握这个随机过程的基本特征是期权定价理论首先要回答的基本问题。例如股票价格变动服从几何布朗运动或对数正态分布是Black和Scholes在推导BS期权定价模型时用到的最基本的假设。本节介绍与之相关的基本概念布朗运动、几何布朗运动、伊藤过程和伊藤定理等。在此基础上以股票为例讨论标的资产价格的概率模型。股票价格的变化行为常用著名的布朗运动来刻画。布朗运动是马尔柯夫过程的一种特殊形式。布朗运动最早起源于物理学物理学中把某个粒子的运动是受到大量小分子碰撞的结果成为布朗运动。股票价格的变化也是受着很多种因素的影响所以形象的说股票价格运动的轨迹类似于布朗运动。关于这一点假设文章中还会有比较详细的说明。定义布朗运动(维纳过程)随机过程Btt(),,称为布朗运动(维纳过程)如果它满足:,,()过程具有独立增量()正态增量即xtt(),,()是一个连续函数。,,从下图中布朗运动的轨迹看确实没有什么规律可言。图布朗运动的轨迹定义一般维纳过程设为Btt(),,,,布朗运动则称,为一般化的维纳过程(布朗运动)。称为瞬时期dStdtdBt()(),,,望漂移率(instantaneousexpecteddraftrate)为瞬时标准差它们都是给定的参,数是连续的维纳过程。Bt()一般化维纳过程是最常用来刻画基础金融变量特别是描述股票价格的变化的一种随机过程形式。影响股票价格变化的因素主要有以下两点:股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短后者至取决于布朗运动造成的随机波动。所以股票价格的变化可以看成是两个方向上的力共同决定的。具体地说如果我们不计算,B在内则dStdt(),,即这说明股票价格具有线性增SSt,,长的性质。如果我们考虑dB,B这种波动分为两个部分()即所谓白噪声(whitenoise)()它被放大了倍则有这说明股票价格S在线性增长,SStBt,,,()的同时还有随机波动的倾向两部分的叠加就获得了如图的一般维纳过程。图一般维纳过程最上边那条随机波动的蓝色曲线代表股票价格斜向上的红色直线代表不计随机波动影响的股票价格下面那条随机波动的绿色曲线代表没有线性增长趋势的股票价格的变动。真实的股票价格是由线性增长和随机波动两种因素共同影响而成。早在年巴舍利耶(Bachelier)就曾经假定股票价格运动服从维纳过程但这引起了一个矛盾即股票价格也有可能为负数这与现代公司有限负债前提相矛盾。而直接假设股票价格遵循一般维纳过程也忽略了一个事实即投资者往往要求股票的期望收益率是一个常数而不管股票价格的绝对水平是多少。因此现在通用的描述股价的适当形式应为:dStSdtSdBt()(),,,或写成dSt(),,,dtdBt()定义几何布朗运动S如果随机过程是布朗运动则称,,B(t),t,Bt()随机过程为几何布朗运动(geometricBrownmotion)如果xtet(),,,。xtt(),,,,下面将证明股票价格服从几何布朗运动。{S(t),t,}对于一般的金融资产瞬时预期回报率,和回报率标准差可能不是常数而是金融,资产价格和时间的某个函数即和因此该金融资产价格变化规律由,(,())tSt,(,())tSt下式表示dSt(),,,(,())(,())()tStdttStdBtS显然此式是更一般形式。由下可知这时的是一个伊藤过程。SttT(),,,,,定义伊藤过程如果过程可以表示为dSttStSdttStSdBt()(,())(,())(),,,SttT(),,,,,其中,,(,),(,)tsts是二元连续函数{(),}Btt,为布朗运动则称SttT(),,,,,为伊藤随机过程(简称伊藤过程)。伊藤定理设dSttStSdttStSdBt()(,())(,())(),,,SttT(),,,是由给出的伊藤过程,,ffst,(,)是二次可微连续函数具有连续偏导数,,,fff,,,,,tss则fStt((),)满足如下的伊藤微分方程,,,,ffffdfSSdtSdB,(),,,,,,,StSS有了伊藤定理这个有力工具我们就可以分析股票价格的概率分布性质了。若记ftSt()ln(),则对于dSt(),,,(,())(,())()tStdttStdBtS有,,,fff,,,,,,这样由伊藤定理有,,,tSSSS,,,,ffffdfSSdtSdB,(),,,,,,,StSS亦即(),,dtdB,,,dSdtdB(ln)(),,,,,,对上式两边在,t上积分即可得到tlnln()SStdB,,,,,,,t,dBtdt(),,是布朗运动因为所以而,~(,)NdBtNdt()~(,)。布朗运动的每一连续瞬间都是独立同分布的随机变量所以有,,dBNdt~(,)t,,dBNt~(,),因此ln()()()SStBt,,,,,,t或SStBt,,,exp{()()},,,t这是一个非常重要的结论它给出了在给定当前股价的条件下未来t时刻St(),股票价格服从的概率分布即它是一个对数正态随机变量。由于这个结果是在几何布朗St运动基础上推导出来的说明这是一个问题的两个不同表示形式。因此在研究股票价格变动规律时几何布朗运动和对数正态分布往往成为一个同义语尽管在数学上它们本来是两个不同的概念。在下文中我们不再加以区分。概率密度期望值图股票价格的概率密度分布:对数正态分布BlackScholesBlackScholes基本假设Black和Scholes在推导BlackScholes模型时做了以下条基本假设:()无风险利率r已知且为常数不随时间变化()有两种长期存在的证券一种是股票(标的资产)其价格S的变化为一几何布朗t运动即dSSdtSdBt,,,()ttt或者说SSStBt,,,exp{()()},,,服从对数正态分布tt另一种是无风险证券它的价格过程为。L,,LtrL,ttt()在衍生证券的有效期内标的股票没有红利支付()期权为欧式期权()对于股票市场、期权市场和资金借贷市场来说不存在交易费用且没有印花税()投资者可以自由借入和贷出资金借入利率和贷出利率相等均为无风险利率。而且所有证券都是高度可分的即投资者可以购买任意数量的标的股票()对卖空没有任何限制(如不设保证金)允许使用全部所得卖空衍生证券。符号在上述假设下记:标的资产(股票)的市场价格StX:买权合同的执行价格r:按连续复利计算的无风险利率,:标的资产价格波动率T:到期日t:当前定价日Tt,:距离到期时间。结论()在定价日欧式买权的价值为ttT(),ct,,rTt()cSNdXeNd,,()()tt其中S,tln()()(),rTtX,d(),,TtddTt,,,,()是标准正态变量的累积分布函数即Nx()NxPXxXN(){},~(,),,,,rTt()()由买权卖权平价公式:pcSXe,,ttt又由欧式卖权在定价日的价值NxNx()(),,,,rTt()pSNdXeNd,,,,()()ttBlackScholes我们按照Black和Scholes在年那篇奠定诺贝尔经济学奖的经典论文的思路来推导BlackScholes微分方程。假设是期权(或者其他衍生证券)的当前价格显然一定是标的股票当前市场FFtt价格和当前定价日t的某种函数。St注意到BlackScholes模型的基本假设股票价格遵循随机过程:StdSSdtSdB,,,tttt因此由伊藤定理期权价值是标的股票价格的函数应有:FStt,,,,FFFFttttdFSSdtSdB,(),,,ttttt,,,,tSSStttBlackScholes期权定价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析的技术。基本思路是套期保值即交易者为减少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略。在上述假设下采用一种动态交易策略复制欧式买权到期末的现金流。这一复制技术是在期初t,时购买一个有标的股票和一种无风险证券构成的证券组合然后不断地动态调整其头寸使之保持住无套利均衡关系一直到到期日tT,t,。这样现在时刻欧式期权的价值就一定等于复制组合在t,时刻的价值。这一动态过程有以下三个特点:()与复制一份欧式买权相对应股票的头寸始终小于股。()所对应的股票头寸大小成为套头比或期权的delta(,,)定义为,,,,FStt()套头比,不停地发生变化所以为了复制份期权需要随时调整复制组合中股票的头寸但这种调整是无成本的(自融资的)。具体地说这一动态复制过程就是用期权、标的股票和一种无风险证券来构筑一个无套利均衡的组合头寸。用,,,,FS份标的股票(股票价格为)的多头和无风险证券的空Sttt头来复制一份期权(价格为)。亦即构造如下的套期组合:在当前t时刻以买入标的FStt股票股同时以卖空份期权。无风险证券的空头价值记为。为使复制在全,,FSFLtttt过程中成立必须始终保证以下关系:,FtFSL,,ttt移项整理有,St,FtLFS,,tt,St经过一段微小时间,t两边的价值变为,FtLFS,,,,,ttt而伊藤过程刻画了伊藤定理刻画了于是将,S,F,Sttt前面的关系带入上式即可得到,FF,tt,,,LSt,,,()tt这是一个有趣的结果在上面的表达式右边,,tSt随机项不再出现。这意dB味着份期权的空头和t,,份股票的多头能实现风险的完全对冲而的大小是动态地调整的。所以右边这二者的组合和与之等价的无风险证券是完全等价的。(对于期权和股票的证券组合来说其瞬时收益率一定同其他短期无风险证券的收益率相同。如果该证券组合的收益率大些套利者就会卖出无风险证券然后购入证券组合获取无风险收益如果该证券组合的收益率小些套利者就会通过卖出该证券组合购买无风险证券来获得无风险收益。)即两者组合的收益率应当等于无风险收益率r因此,,LLrt,tt即有,,LtrL,tt令,t,并在上述关系式中展开和就得到著名的BlackScholes随机微分方程:,LLtt,,,FFFttt,rSSrF,ttt对于欧式看涨期权其边界条件为:,,,tSSttcFtTSX,,,,()max(,)T对于欧式看跌期权其边界条件为:pFtTXS,,,,()max(,)TBlackScholes风险中性定价解法方法利用了风险中性假设解法中具有比较深刻的金融学含义被现在的金融学研究者广泛采用。风险中性假设首先简要介绍在金融学中极为重要的风险中性假设。现实世界中的人往往分为风险厌恶型、风险中性型、风险喜好型。世纪著名数学家DanielBernoulli在研究赌博问题时发现人们往往对赌博可能输掉的钱看得比可能赢到的钱重。例如在一个掷硬币的赌博中假设硬币完全对称正面朝上可以赢得元反面朝上分钱也收不回要下多少钱的赌注人们才会来参加?所谓公平的赌博就是指赌博结果的预期只应当与入局前所持有的资金量相等我们学过的鞅就描述了公平赌博。因此花费,元入局是一场公平的赌局。但是对于许多人来说不愿意花元参加这场公平的赌局他们可能只愿意花元来入局实际上他们是要以元的预期收益作为承受风险的补偿。这些人是风险厌恶型的在没有风险补偿时风险厌恶型的人拒绝公平的赌博。定义风险中性如果有人愿意无条件地参加公平的赌博则这样的人被认为是风险中性的。风险中性者对风险采取无所谓的态度:他们对所有资产所要求的预期收益率都是一样的而不管其风险如何并不要求风险的补偿。因此对所有资产所要求的预期收益率也就同无风险资产的收益率相同。这就是说风险中性的投资者投资于任何资产所要求的收益率就是无风险收益率。在一个假想的风险中性的世界里所有的市场参与者都是风险中性的那么所有的资产不管其风险大小或是否有风险预期收益率都相同都等于无风险收益率。而且所有资产现在的市场均衡价格都应当等于其未来收益的预期值加上考虑到资金的时间价值就都是未来预期值用无风险利率折现后的现值。风险中性假设是和无套利均衡分析紧密联系在一起的。当无风险套利机会出现时所有的市场参与者就都会进行套利活动而不管其对风险的厌恶程度如何。由此出发可以得到这样一个推理结果:无套利均衡分析的过程和结果与市场参与者的风险偏好无关。风险中性假设如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界里进行分析所得的结果在真实的世界里也应当成立。利用风险中性假设可以大大简化问题的分析因为在风险中性的世界里对所有的资产都要求相同的收益率而且所有资产的均衡定价都可以按照风险中性概率算出未来收益的预期值再以无风险利率折现得到。最后将所得的结果放回真实的世界就获得有意义的结果。风险中性定价解法下面应用风险中性假设来分析BlackScholes微分方程。在BlackScholes微分方程中通过动态对冲的方法使风险由于完全的对冲而消除掉方程中不再含有随机项dBt除此之外也不再含有,这一点同样是意味深长的股票的预期收益率中含有风险补偿因而会与投资者的风险偏好有关。不含,,(是连续计算收益率的股票在单位时间内收益的自然对数的期望值即预期单位时间连续计息的复利收益率)说明问题与投资者的风险满足cT偏好无关。这样风险中性假设就可以应用了。由定义买权在到期日的价格cSX,,max(,)TT根据风险中性定价原则只要先求出T的期望值然后再将这一发生在未来时cEcTT刻的期望值按无风险利率贴现到当前时刻t就可以得到该买权在定价日t的价值,,rTt()ceEc,tT所以确定的关键问题在于如何计算。cEctT设P为的概率即。则由随机变量期望值的定义SX,PPSX,,()TTEcPESSXXPPESSXX{|}(){|},,,,,,,,,TTTTT因此最终归结为计算概率P和。下面分别来计算这两个量。ESSX|,TT()求解PPSX,,()T由有和即SX,,lnlnSX,lnlnlnlnSSXS,,,TTttTln()ln()SSXS,Ttt因此。PPSXPSSXS,,,,()(ln()ln())TTtt另一方面我们把求解BlackScholes微分方程的期权定价问题先放到一个“风险中性”的假设世界中去。在这个假想的世界里所有市场参与者都是风险中性的他们对于有风险资产的收益都是不需要风险的补偿。在这个假想的世界里所有资产的预期收益率都相等即都等于无风险收益率,,r即。因此由模型假设知服从正态分rln()SSTt布其期望值和方差分别为STErln()()(),,,,,,,,,StSTDln(),,,其中,,,Tt换元StS令Tln()()r,,,,S则可以化作标准正态分布形式有tz,,,zN~(,)因此SXTPP(ln()ln()),,SSttXln()(),,r,,StPz(),,,,若记Stln()()r,,,Xd,,,X则上式为ln()()r,,,,dd,,,,StPPz(),,,,()()PzdNd,,,,,,,,,,这样我们求出了第一个值即()()NdNd,,,,PPSXNd,,,()()T()求解ESSX|,TT由于SStBt,,,exp{()()},,,服从对数正态分布因此其密度函数Tt其中()LEL,fS()exp{},,TLS,ln(),,,,STT于是,,ELESSr()ln()ln(),,,,Tt,,,,T,,,DLDS()ln()ESSXSfSdS|(),,TTTTT,X,rtttTTT,,,SeSrSfSdSexp(ln)exp(ln)(),X,,rt()LEL,Ttexp{()}LELdS,,XT作变量替换,,Seexp(),,,S,,,,rtln()SEL,,,LEL,,(),TtT则有Xy,,()LEL,,,T,,SedSexp{},,,,S,,,dySdS,(),TT计算积分限当y,,时当时S,,SX,TTln()XEL,,,*yy,,,Stln()r,,X,,,,d因此,,,rt|exp()ESSXSeydy,,,TTt*,y,rtrt*(())(),,,,SeNySeNdttPPSX,,()至此T和均已求出则该期权价值ESSX|,TT,,,,rTtrTt()()ceEcePESSXX,,,,,,{|}tTTT,,rTt(){|},,,,,ePESSXPXTT,,,rTtrTt()(){()()},,eSeNdXNdt即为所求解毕。,,rTt()()(),,SNdXeNd关于风险中性解法的进一步t思考写出BlackScholes随机微分方程:,,,FFFttt,rSSrF,ttt可以看出BlackScholes微分方,,,tSStt程中包含的参数有,以及时间变量但是反映投资者风险偏好的瞬时期望收益率Sr,,,t却在推导的过程中被消掉了。这一点再次说明了风险中性假设的合理性。一般来说对于任何给定的金融资产投资者厌恶风险的程度越高其期望得到的收益就越大。如果该项资产不能提供足够高的期望收益率的话投资者要么望而却步要么不将其出售。这样资产的价格又会有所下降反过来又将提高收益率。资产价格与收益率之间的如此调整达到平衡后所对应的收益率即为瞬时期望收益率,。现在既然BlackScholes微分方程不包含反映风险偏好的参数风险偏好就不会对方程的解产生影响。因此在衍生工具定价时可以使用任何一种风险偏好假设其中最简单的当然是假设投资者是风险中性的。风险中性假设大大简化了衍生工具的定价过程因为在风险中性世界里有以下两个重要结论成立:任何可交易的基础金融资产的瞬时期望收益率均为无风险利率即恒有,,r任何一种衍生品当前t时刻的价值等于未来T时刻其价值的期望值按无风险利率贴现的现值。本文介绍了金融衍生品概况利用随机过程的知识系统研究了基于BlackScholes模型的欧式期权定价问题。文章推导出了标的资产的价格过程进而应用风险中性法详细解析了BlackScholes模型。参考文献Black,FischerandScholes,MyronThepricingofoptionsandcorporateliabilitiesJournalofPoliticalEconomy,~()~Black,FischerHowtouseholesintheBlackScholesJournalofAppliedCorporate,()FinanceHarrison,MJandPliska,SRMartingalesandstochasticintegralsinthetheoryofcontinoustradingStochasticProcessesandtheirApplications,ThomasMikoschElementaryStochasticCalculuswithFinanceinViewWorldScientific,Ross,SheldonMStochasticProcesses,ndeditionJohnWileyandSons,EdwardsPCKaoAnintroductiontoStochasticProcessesWadsworthPublishingCompany,林元烈应用随机过程北京:清华大学出版社林元烈梁宗霞随机数学引论北京:清华大学出版社钱敏平龚光鲁应用随机过程北京:北京大学出版社钱敏平龚光鲁应用随机过程教程及在算法和智能计算中的随机模型北京:清华大学出版社宋逢明金融工程原理无套利均衡分析北京:清华大学出版社邵宇微观金融学及其数学基础北京:清华大学出版社茅宁期权分析理论与应用南京:南京大学出版社郁洪良金融期货与实物期货比较与应用上海:上海财经大学出版社魏振祥期权投资北京:中国财政经济出版社张志强期权理论与公司理财北京:华夏出版社雍炯敏刘道百数学金融学上海:上海人民出版社弗兰克帕特诺伊(美)邵倓译泥鸽靶华尔街高等金融实录北京:当代中国出版社

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