高一数学中的恒成立问题
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1.任意,不等式恒成立,则a的范围是_______.
2.若不等式x+2≤a(x+y)对一切正数x,y恒成立,则正数a的最小值为 ( B )
A.1 B.2 C. D.2+1
. B由条件:2≤(a-1)x+ay恒成立,而(a-1)x+ay≥2,
令2=2 ,a(a-1)=2, ∴a=2.
3.不等式对一切实数x恒成立,则实数m的范围为______.
【解】当时不等式恒成立的充要条件是且,即m>1或m<-2;当m-1=0时不等式化为3>0,恒成立.综上m范围是.
4、已知两个正变量满足,则使不等式恒成立的实数的取值
范围是
5.已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
6、若对于一切正实数不等式>恒成立,则实数的取值范围是 a<
7.若不等式.在(0,)的范围内恒成立,则实数m的取值范围是____.
【解】 提示:利用数形结合讨论0
1两种情况
8.设y=x2+ax+b,当x=2时y=2,且对任意实数x都有y≥x恒成立,实数a、b的值为( B ).
A.a=-3 b=-4 B.a=-3 b=4 C a=3 b=4 D a=3 b=-4
9、当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是( D )
A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]
10.若不等式对任意正整数n恒成立。则实数a的取值范围是( A )
A B C D
11、若关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .
12.在R上定义运算若不等式对任意实数恒成立,则( C )
A. B. C.D.
13.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意实数x恒有
f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A. B. C. D.
16. 若x, y为非零实数,代数式的值恒为正,对吗?答 .
17、若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.
【解析】 若对任意x>0,≤a恒成立,只需求得y=的最大值即可.因为x>0,所以y==≤=,当且仅当x=1时取等号,
所以a的取值范围是[,+∞).
18、设x>0,y>0,不等式++≥0恒成立,则实数m的最小值是________.
【解析】 原问题等价于≥-(+)恒成立,
∵x>0,y>0,∴等价于m≥-(+)(x+y)的最大值,
而-(+)(x+y)=-2-(+)≤-2-2=-4,当且仅当x=y时取“=”,故m≥-4.
19、设函数f(x)=x-.对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则m的范围是________.
【解析】 由题知,mx-+mx-<0在[1,+∞)上恒成立,即2mx<(+m),显然m≠0.当m>0时,即>x2在[1,+∞)上恒成立,由于函数g(x)=x2无最大值,此时不存在满足题意的m;当m<0时,即1,
解得m<-1,即m的取值范围是(-∞,-1).
20、在这四个函数中,当时,使
恒成立的函数的个数是( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
21、若不等式对的所有实数都成立,求的取值范围.
(答:)
22.设函数,若
(1)对一切实数x,恒成立,求m的取值范围.
(2)若对于,恒成立,求x的取值范围.
解(1)要求恒成立。当m=0时显然成立;
当时,应有m<0,,解之得-41,且Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0。推得(2a-3)2≤0 ∴,∴f(x)=x2+x+1
易验证:x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立。
∴存在实数a=,b=1,c=1使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.
26.关于的不等式的解集是,求的取值范围.
解:
27.若关于的不等式的解为,求实数的取值范围
解:
28.已知a、b、c都是正实数,且满足log9(9a+b)=log3,求使4a+b≥c恒成立的c
的取值范围.
解析 因为a、b都是正实数,log9(9a+b)=log3,所以log3(9a+b)=log3(ab),
故9a+b=ab,故+=1,所以4a+b=(4a+b)(+)=13++≥13+2=25,
即4a+b≥25,当且仅当=,即b=6a时等号成立.
而c>0,所以要使4a+b≥c恒成立,c的取值范围为0
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