2006年北京中考数学试卷

(考试时间120分钟，满分120分) 一、选择题(本题共32分，每小题4分.在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的) 1.-5的相反数是( ) A.5 B.-5 C. 　D.- 2.青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米.将2500000用科学记数法表示应为( ) A.0.25×107 B.2.5×107 　C.2.5×106 　D.25×105 3.在函数 中，自变量x的取值范围是( ) A.x≠3 　B.x≠0 　C.x＞3 　D.x≠-3 4.如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE=155°，则∠DBC的度数为( ) A.155° B.50° 　C.45° 　D.25° 5.小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到附近的7个社区帮助爷爷、奶奶们学习英语日常用语.他们 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是( ) A.32，31 B.32，32 C.3，31 D.3，32 6.把代数式xy2-9x分解因式，结果正确的是( ) A.x(y2-9) 　B.x(y+3)2 　 C.x(y+3)(y-3) 　D.x(y+9)(y-9) 7.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为( ) A. 　B. 　 C. 　D. 8.将如下图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是( ) 二、填空题(本题共16分，每小题4分) 9.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有实数根，则m的取值范围是____. 10.若 ，则m+n的值为____. 11.用“ ”定义新运算：对于任意实数a, b，都有a b=b2+1.例如，7 4=42+1=17，那么5 3=____；当m为实数时，m (m 2)=____. 12.如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM.若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为____cm2. 三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13.计算： . 14.解不等式组 15.解分式方程 . 16.已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC. 求证：BC=EF. 17.已知2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值. 18.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=2 . 求：BE的长. 四、解答题(本题共20分，第19题6分，第20题5分，第21题5分，第22题4分) 19.已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上， ，∠CAD=30°. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长. 20.根据北京市统计局公布的2000年、2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下： 2000年、2005年北京市常住人口中受教育程度情况统计表(人数单位：万人) 年份 大学程度人数 (指大专及以上) 高中程度人数 (含中专) 初中程度人数 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 程度人数 其他人数 2000年 233 320 475 234 120 2005年 362 372 476 212 114             请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题： (1)从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？ (2)2005年北京市常住人口中，少儿(0-14岁)人口约为多少万人？ (3)请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法. 21.在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线l.直线l与反比例函数 的图象的一个交点为A(a,3)，试确定反比例函数的解析式. 22.请阅读下列 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 ：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0).依题意，割补前后图形的面积相等，有 ，解得 .由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长.于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形.请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不要求写分析过程. 五、解答题(本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分) 23.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形. 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； (2)如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 24.已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3)，与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点. (1)求此抛物线的解析式； (2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式； (3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长. 25.我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题： (1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称； (2)探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论. 参考答案 一、选择题 1.A  2.C  3.A  4.D  5.B  6.C  7.D  8.B 二、填空题 9.m≤   10.2  11.10，26  12.30 三、解答题 13.解： ……4分 .  ……5分 14.解：由不等式3x-1＜5解得x＜2.  ……2分 由不等式2x+6＞0解得x＞-3.   ……4分 则不等式组的解集为-3＜x＜2.   ……5分 15.解：(x+1)+2x(x-1)=2(x+1)(x-1).   ……2分 x+1+2x2-2x=2x2-2.   ……3分 x=3.   ……4分 经检验x=3是原方程的解. 所以原方程的解是x=3.   ……5分 16.证明：因为AB∥ED， 则∠A=∠D.   ……1分 又AF=DC， 则AC=DF.   ……2分 在△ABC与△DEF中， ……3分 所以△ABC≌△DEF.   ……4分 所以BC=EF.   ……5分 17.解：x(x2-x)+x2(5-x)-9 =x3-x2+5x2-x3-9  ……2分 =4x2-9.   ……3分 当2x-3=0时， 原式=4x2-9=(2x+3)(2x-3)=0.   ……5分 18.解：如图，过点D作DF∥AB交BC于点F.   ……1分 因为AD∥BC， 所以，四边形ABFD是平行四边形.   ……2分 所以BF=AD=1. 由DF∥AB， 得∠DFC=∠ABC=90°. 在Rt△DFC中，∠C=45°，CD=2 ， ， 求得CF=2.   ……3分 所以BC=BF+FC=3.   ……4分 在△BEC中，∠BEC=90°， . 求得 .  ……5分 四、解答题 19.解：(1)证明：如图，连接OA. 因为 ， 所以∠B=30°. 故∠O=60°.   ……1分 又OA=OC， 所以△ACO是等边三角形. 故∠OAC=60°.   ……2分 因为∠CAD=30°. 所以∠OAD=90°. 所以AD是⊙O的切线.   ……3分 (2)解：因为OD⊥AB， 所以OC垂直平分AB. 则AC=BC=5.   ……4分 所以OA=5.   ……5分 在△OAD中，∠OAD=90°， 由正切定义，有 . 所以 .  ……6分 20.解：(1)1536-1382=154(万人).   ……1分 故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人. (2)1536×10.2%=156.672≈157(万人). 故2005年北京市常住人口中，少儿(0-14岁)人口约为157万人.   ……3分 (3)例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为16.86%，2005年受大学教育的人口比例为23.57%.可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高.   ……5分 21.解：依题意得，直线l的解析式为y=x.   ……2分 因为A(a,3)在直线y=x上，则a=3.   ……3分 即A(3,3). 又因为A(3,3)在 的图象上，可求得k=9.   ……4分 所以，反比例函数的解析式为 .  ……5分 22.解：所画图形如图所示. 说明：图4与图5中所画图形正确各得2分，分割方法不唯一，正确者相应给分. 五、解答题 23.解：图略.画图正确得1分. (1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.   ……2分 (2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立. 证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG.   ……3分 因为∠1=∠2，AF为公共边， 可证△AEF≌△AGF. 所以∠AFE=∠AFG，FE=FG.   ……4分 由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2+∠3=60°. 所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°. 所以∠CFG=60°.   ……5分 由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD. 所以FG=FD. 所以FE=FD.   ……6分 证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H.   ……3分 因为∠B=60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， 所以可得∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心.   ……4分 所以∠GEF=60°+∠1，FG=FH. 又因为∠HDF=∠B+∠1， 所以∠GEF=∠HDF.   ……5分 因此可证△EGF≌△DHF. 所以FE=FD.   ……6分 24.解：(1)根据题意，c=3， 所以 解得 所以，抛物线解析式为   ……2分 (2)依题意可得OA的三等分点分别为(0,1)，(0,2). 设直线CD的解析式为y=kx+b. 当点D的坐标为(0,1)时，直线CD的解析式为 ；  ……2分 当点D的坐标为(0,2)时，直线CD的解析式为 .  ……4分 (3)如图，由题意，可得M(0, ). 点M关于x轴的对称点为M′(0,- )， 点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A′(6,3). 连接A′M′. 根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是所求点P运动的最短总路径的长.   ……5分 所以A′M′与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点. 可求得直线A′M′的解析式为 . 可得E点坐标为(2,0)，F点坐标为(3, ).   ……7分 由勾股定理可求出A′M′= . 所以点P运动的最短路径(ME+EF+FA)的长为 .  ……8分 25.解：(1)略.写对一种图形的名称给1分，最多给2分. (2)结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.   ……3分 已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，且∠AOD=60°. 求证：BC+AD≥AC. 证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC. 连接CE、BE.   ……4分 故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形. 所以△BDE是等边三角形，CE=AD.   ……6分 所以DE=BE=AC. ①当BC与CE不在同一条直线上时(如图1)， 在△BEC中，有BC+CE＞BE. 所以BC+AD＞AC.   ……7分 ②当BC与CE在同一条直线上时(如图2)， 则BC+CE=BE. 因此BC+AD=AC.   ……8分 综合①、②得BC+AD≥AC. 即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长. 关闭窗口