2012年江苏省高考数学试卷

2012年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（2012?江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=　_________　． 2．（2012?江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　_________　名学生． 3．（2012?江苏）设a，b∈R，a+bi= （i为虚数单位），则a+b的值为　_________　． 4．（2012?江苏）图是一个算法 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图，则输出的k的值是　_________　． 5．（2012?江苏）函数f（x）= 的定义域为　_________　． 6．（2012?江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是　_________　． 7．（2012?江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为　_________　cm3． 8．（2012?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 的离心率为 ，则m的值为　_________　． 9．（2012?江苏）如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 = ，则 的值是　_________　． 10．（2012?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）= 其中a，b∈R．若 = ， 则a+3b的值为　_________　． 11．（2012?江苏）设a为锐角，若cos（a+ ）= ，则sin（2a+ ）的值为　_________　． 12．（2012?江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　_________　． 13．（2012?江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为　_________　． 14．（2012?江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是　_________　． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2012?江苏）在△ABC中，已知 ． （1）求证：tanB=3tanA； （2）若cosC= ，求A的值． 16．（2012?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直线A1F∥平面ADE． 17．（2012?江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣ （1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 18．（2012?江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点． （1）求a和b的值； （2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点； （3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数． 19．（2012?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e， ）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （i）若AF1﹣BF2= 求直线AF1的斜率； （ii）求证：PF1+PF2是定值． 20．（2012?江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1= ，n∈N*， （1）设bn+1=1+ ，n∈N*，，求证：数列 是等差数列； （2）设bn+1= ? ，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． 三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分） 21．（2012?江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲] 如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE． 求证：∠E=∠C． B．[选修4﹣2：矩阵与变换] 已知矩阵A的逆矩阵 ，求矩阵A的特征值． C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C经过点P（ ， ），圆心为直线ρsin（θ﹣ ）=﹣ 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． D．[选修4﹣5：不等式选讲] 已知实数x，y满足：|x+y|＜ ，|2x﹣y|＜ ，求证：|y|＜ ． 22．（2012?江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1． （1）求概率P（ξ=0）； （2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）． 23．（2012?江苏）设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数： ①A?Pn；②若x∈A，则2x?A；③若x∈ A，则2x? A． （1）求f（4）； （2）求f（n）的解析式（用n表示）． 2012年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（2012?江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=　{1，2，4，6}　． 考点： 并集及其运算。 专题： 计算题。 分析： 由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可 解答： 解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}， ∴A∪B={1，2，4，6} 故答案为{1，2，4，6} 点评： 本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义     2．（2012?江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　15　名学生． 考点： 分层抽样方法。 分析： 根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数． 解答： 解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4， ∴高二在总体中所占的比例是 = ， ∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本， ∴要从高二抽取 ， 故答案为：15 点评： 本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．     3．（2012?江苏）设a，b∈R，a+bi= （i为虚数单位），则a+b的值为　8　． 考点： 复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件。 专题： 计算题。 分析： 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案 解答： 解：由题，a，b∈R，a+bi= 所以a=5，b=3，故a+b=8 故答案为8 点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．     4．（2012?江苏）图是一个算法流程图，则输出的k的值是　5　． 考点： 循环结构。 专题： 计算题。 分析： 利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可． 解答： 解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件， 则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立， 所以结束循环， 输出k=5． 故答案为：5． 点评： 本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．     5．（2012?江苏）函数f（x）= 的定义域为　（0， ]　． 考点： 对数函数的定义域。 专题： 计算题。 分析： 根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果． 解答： 解：函数f（x）= 要满足1﹣2 ≥0，且x＞0 ∴ ，x＞0 ∴ ，x＞0， ∴ ，x＞0， ∴0 ， 故答案为：（0， ） 点评： 本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．     6．（2012?江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是　 　． 考点： 等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式。 专题： 计算题。 分析： 先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解 解答： 解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9 其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数 这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P= 故答案为： 点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题     7．（2012?江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为　6　cm3． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题： 计算题。 分析： 过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可． 解答： 解：过A作AO⊥BD于O，所以AO= = ， 所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V= =6． 故答案为：6． 点评： 本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．     8．（2012?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 的离心率为 ，则m的值为　2　．