2013届高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

第1讲　任意角、弧度制及任意角的三角函数 【2013年高考会这样考】 1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定． 【复习指导】 从近几年的高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．  基础梳理 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． (3)弧度制 ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ② 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2. 2．任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT 为正切线 一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为. 两个技巧 (1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意 (1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． (2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 (  )． A．2kπ＋45°(k∈Z)          B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z)      D．kπ＋(k∈Z) 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 答案　C 2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(  )． A．第一或第三象限      B．第一或第二象限 C．第二或第四象限      D．第三或第四象限 解析　当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角； 当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角． 答案　A 3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是(  )． A．第一象限角      B．第二象限角 C．第三象限角      D．第四象限角 解析　由sin α＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 答案　C 4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为(  )． A．－        B.        C．－        D．－ 解析　由三角函数的定义可知，r＝，cos α＝＝－. 答案　A 5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________. 解析　根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sin θ＝＝－⇒y＝－8. 答案　－8   考向一　角的集合表示及象限角的判定 【例1】►(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合； (2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角； (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限． [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． 解　(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是， ∴终边在直线y＝x上的角的集合为 . (2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)． 依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z. ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，. (3)∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z. ∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z. ∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上． ∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z， 当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°； 当k＝2m＋1(m∈Z)时， m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°； ∴为第一或第三象限角． (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍． (2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为. 【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则(  )． A．α＝－β B．α＝180°＋β C．α＝k·360°＋β(k∈Z) D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z) 解析　对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k·360°±180°(k∈Z)． ∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)． 答案　D 考向二　三角函数的定义 【例2】►已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝ m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． [审题视点] 根据三角函数定义求m，再求cos θ和tan θ. 解　由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0， ∴m＝±， 故角θ是第二或第三象限角． 当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－. 当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝＝＝－，tan＝＝＝. 任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(  )． A．－    B．－      C.    D. 解析　取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. 答案　B 考向三　弧度制的应用 【例3】►已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值； (2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积． 解　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形， ∴α＝∠AOB＝60°＝. (2)由(1)可知α＝，r＝10， ∴弧长l＝α·r＝×10＝， ∴S扇形＝lr＝××10＝， 而S△AOB＝·AB·＝×10×＝， ∴S＝S扇形－S△AOB＝50. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式． 【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 解　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40， S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100. 当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100. ∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大． 考向四　三角函数线及其应用 【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥；　(2)cos α≤－. [审题视点] 作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解　 (1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为 . (2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为 . 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式． 【训练4】 求下列函数的定义域： (1)y＝；　 (2)y＝lg(3－4sin2x)． 解　(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． ∴定义域为(k∈Z)． (2)∵3－4sin2x＞0， ∴sin2x＜， ∴－＜sin x＜. 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴定义域为(k∈Z)．   规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】 三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r(r＝＞0)，则sin α＝、cos α＝、tan α＝分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程． 【解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 】 利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论． 【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，求sin α、tan α的值． 只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值． [解答示范] ∵P(x，－)(x≠0)， ∴P到原点的距离r＝，(2分) 又cos α＝x， ∴cos α＝＝x， ∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分) 当x＝时，P点坐标为(，－)， 由三角函数定义，有sin α＝－，tan α＝－；(9分) 当x＝－时，P点坐标为(－，－)， ∴sin α＝－，tan α＝.(12分) 当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况． 【试一试】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋tan α. [尝试解答]　取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，则|OP1|＝5，则sin α＝－，cos α＝，tan α＝－， 故sin α＋cos α＋tan α＝－＋＋× ＝－； 取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)， 则sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 故sin α＋cos α＋tan α＝－＋×＝－. 综上，sin α＋cos α＋tan α的值为－或－.  文档已经阅读完毕，请返回上一页！