2011年广东高考全真模拟试卷
理科数学（四）
注意事项：
1. 本试卷分第
卷和第
卷两部分，请将第
卷
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
的序号填涂在答题卡上，第
卷答案填写在答卷的相应位置上；
2. 本试卷共4页，21小题， 满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题， 共40分）
一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)
1. 已知全集
，集合
，
，那么集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 设变量
满足约束条件：
，则
的最小值（ ）A．
B．
C．
D．
3. 如果函数
上单调递减，则实数
满足的条件是（ ）A.
B．
C．
D．
4. 已知等比数列{
}的前
项和为
,且
，则数列
的公比
的值为( )A.
B.
C.
D.
5. 已知平面向量
,
, 且
, 则
( )
A.
B.
C.
D.
6. 曲线
在点（
处切线的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 给出如下三个命题：
①若“
且
”为假命题，则
、
均为假命题； ②命题“若
且
，则
”的否命题为“若
且
，则
”；
③在
中，“
”是“
”的充要条件.
其中不正确的命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数. 给出下列函数：
①
； ②
；
③
； ④
.
其中“互为生成”函数的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
第Ⅱ卷 (非选择题， 共110分)
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．考生作答6小题，每小题5分，满分30分）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9. 已知
，则
的最大值为 ．
10. 在
中，
，且
,则
的面积是
____________.
11. 已知双曲线
的两条渐近线方程为
，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
12. 右面是计算
的程序框图，图中的①、②分别
是 和_____________.
13. 设
是边长为
的正
内的一点，
点到三边的距离分别为
，则
；类比到空间，设
是棱长为
的空间正四面体
内的一点，则
点到四个面的距离之和
.
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.
14.（几何证明选讲选做题）如图，已知
的两条直角边
,
的长分别为
，
，以
为直径的圆与
交于点
，
则
＝
.
15. （坐标系与参数方程选做题）直线
截曲线
（
为参数）的弦长为_____ ______.
三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本小题满分12分）已知函数
.
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）若
,
, 求
的值.
17．（本小题满分12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到
四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
⑴、求甲、乙两人同时参加
岗位服务的概率；
⑵、求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
⑶、设随机变量
为这五名志愿者中参加
岗位服务的人数，求
的分布列．
18．（本小题满分14分）
如图所示的长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
是线段
的中点．（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
19．（本小题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值
（单位：万元，
）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成
的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
20．（本小题满分14分）已知椭圆
的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作
，其中圆心P的坐标为
．(1) 若FC是
的直径，求椭圆的离心率；
（2）若
的圆心在直线
上，求椭圆的方程．
21．（本小题满分14分）
设不等式组
所表示的平面区域为
，记
内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为
.
（1）求
的值及
的表达式；
（2）记
，试比较
的大小；若对于一切的正整数
，总有
成立，求实数
的取值范围；
（3）设
为数列
的前
项的和，其中
，问是否存在正整数
，使
成立？若存在，求出正整数
；若不存在，说明理由.
参考答案
一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
C
C
B
B
D
1.选 D．提示：因为
，
所以
.
2.选 D．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线
至点(-２,２)处取得最小值.
3.选 Ａ．提示：使得二次函数
的对称轴
即可.
4.选 Ｃ．提示：由
得
,解得
=
.
5.选 Ｃ．提示：由
有
,故得
,在求得
.
6.选 Ｂ．提示：
.
7.选 Ａ．提示：
①若“
且
”为假命题，
、
可能有一个为真命题.
②命题“若
且
，则
”的否命题应为“若
或
，则
”；
③在
中，“
”是“
”的必要非充分条件.
8.选 D．提示：其它的都需要拉伸变换才行.
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9.
.提示:利用基本不等式即可.
10. ６.提示:用三角形面积公式:
.
11.
. 提示:直接用点到直线的距离公式.
12.
,
（顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了.
13.
.提示:把棱长为
的空间正四面体
以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值.
14．
. 提示:用直角三角形的面积射影定理.
15．
.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为
,然后由弦长
得.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16. （本小题满分12分）
(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力)
（Ⅰ）∵
， ………3分
…………………5分
∴函数
的最小正周期为
.…………………6分
（Ⅱ）由
，
∴
, …………………7分
化简可得
, ………………9分
则
,
∴
…………………10分
由
,
∴
,
故
…………………12分
17. （本小题满分12分）
（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）
解：⑴、记甲、乙两人同时参加
岗位服务为事件
，那么
，
即甲、乙两人同时参加
岗位服务的概率是
．………………………4分
⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件
，
那么
，………………………6分
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
．8分
⑶、随机变量
可能取的值为1，2．事件“
”是指有两人同时参加
岗位服务，
则
． …………………………………10分
所以
，
的分布列是：
1
……… 12分
18. （本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
解:（Ⅰ）连接
，如图，
∵
、
分别是
、
的中点，
是矩形，
∴四边形
是平行四边形，
∴
． ………2分
∵
平面
，
平面
，
∴
平面
． ………… 4分
（Ⅱ）连接
，
∵正方形
的边长为
，
，
∴
，
，
，
则
，
∴
． ……………6分
∵在长方体
中，
，
，
∴
平面
，
又
平面
，
∴
，
又
，
∴
平面
． ………………………………8分
（Ⅲ）在平面
中过点
作
于
，
连结
，
∵
，
，
∴
平面
，
又
平面
， ……………………………9分
∴
，又
，且
，
∴
平面
，而
平面
， …………………10分
∴
．
∴
是二面角
的平面角． …………………12分
在
中，
，
∴
，
，
∴二面角
的大小为
． …………………………14分
解法2（坐标法）：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接
，
则点
、
，
∴
又点
，
，
∴
∴
，
且
与
不共线，
∴
．
又
平面
，
平面
，
∴
平面
． ……………………………4分
（Ⅱ）∵
，
∴
，
，
即
，
，
又
，
∴
平面
． …………………………8分
（Ⅲ）∵
，
，
∴
平面
，
∴
为平面
的法向量．
∵
，
，
∴
为平面
的法向量．
∴
，
∴
与
的夹角为
，
即二面角
的大小为
．………………14分
（Ⅲ）（法三）设二面角
的大小为
，
在平面
内的射影就是
，
根据射影面积公式可得
，
，
∴
，
∴二面角
的大小为
…………14分
19. （本小题满分14分）
（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：（1）设商品降价
万元，
则多卖的商品数为
，
若记商品在一个星期的获利为
，………………1分
则依题意有
， ………………4分
又由已知条件，
，
于是有
， ……5分
所以
．…………7分
（2）根据（1），
浙公网安备 33021202002483