微积分学基本定理•定积分计算(续)

微积分学基本定理•定积分计算(续) ?5微积分学基本定理?定积分计算(续) 教学目的与要求: 1. 理解并掌握微积分基本定理的内容及意义，具有应用微积分基本定理证明定积分有关问题的能力. 2. 掌握变限的定积分的概念;掌握换元积分法及分部积分法( 3. 较高要求:掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项( 教学重点: 微积分基本定理的内容及意义. 应用微积分基本定理证明定积分有关问题的能力. 教学难点: 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项( 教学内容: 当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题——在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一 变限积分与原函数的存在性 f(x)[a,b],x,[a,b]f(x)[a,x]设在上可积，则对，在上也可积，于是，由 xx,[a,b]， ,(x),f(t)dt,a x定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分(类似地，可定义变下限的定积分: bx,[a,b]， ,(x),f(t)dt,x ,(x),(x)和统称为变限积分( x注:在变限积分(1)与(2)中,不可再把积分变量写成x(例如)以免与积分上、下限的xf(x)dx,,a 相混淆. 变限积分所定义的函数有着重要的性质.由于 bx f(t)dt,,f(t)dt,,,xb 因此下面只讨论变上限积分的情形. xf(x)[a,b][a,b]定理9-9 若在上可积，则在上连续( ,(x),f(t)dt,a [a,b]xxab，,,[,]x证 对上任一确定的点,只要,按定义式(1)有 x，,xxx，,x ,,,f(t)dt,f(t)dt,f(t)dt.,,,aax ，，ft,M,t,,,a,b.f[a,b],,x0因在上有界,可设于是,当时有 x，,xx，,x ,,,f(t)dt,f(t)dt,M,x;,,xx ,,,M,x.,,x0当时则有由此得到 lim0,,,,,,x0 ,,[a,b]在点连续.由的任意性,在上处处连续. 即证得xx xf(x)[a,b][a,b]定理9.10 (原函数存在定理) 若函数在上连续，则在上处处,(x),f(t)dt,a xd,x,[a,b]可导，且，(导数为被积函数在上限的值)( ,(x),f(t)dt,f(x),adx [a,b]xxab，,,[,]证 对上任一确定的x,当,,x0且时,按定义式(1)和积分第一中值定理,有 xx，,,,1 f(t)dtf(xx),.,,，,,,,,01,xxx,, f(x)在点x连续,故有 由于 ,,, (x)limlimf(xx)f(x).,,，,,,,,,,,xx00x, ,[a,b][a,b]x由在上的任意性,证得是在上的一个原函数. 注 本定理沟通了导数和定积分这两个从 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面看去似不相干的概念之间的内在联系;同时也证明了 f(x)“连续函数必有原函数”这一基本结论,并以积分形式(1)给出了的一个原函数,正因为定理9.10 的重要作用而被誉为微积分学基本定理. 且可用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明( Ff(x)f(x)因的任意两个原函数只能相差一个常数,所以当为连续函数时,它的任一函数必满足 x F(x),f(t)dt，C.,a CFa,xa,若在此式中令,得到,从而有 ，， x f(t)dt,F(x),F(a).,a xb,再令,即得 b f(t)dt,F(b),F(a).,a Ff这是牛顿一菜布尼茨公式的又一证明.比照定理9.1,现在只需假设被积函数为连续函数,其原函数 的存在性已为定理9.10所保证,无需另作假设. 利用变限积分又能证明下述积分第二中值定理. f(x)[a,b]定理9.11 (积分第二中值定理) 设在上可积. g(x)[a,b]g(x),0，,,[a,b](i) 若函数在上单调递减，且，则，使得 b,( f(x)g(x)dx,g(a)f(x)dx,,aa g(x)[a,b]g(x),0，,,[a,b]ii) 若函数在上单调递增，且，则，使得 ( bb ( f(x)g(x)dx,g(b)f(x)dx,,,a 证 下面只证(i),类似地可证(ii).设 x Fxftdtxab,,,,.，，，，,,,a FxMf(x)[a,b][a,b]由于在上可积,因此在上连续,从而存在最大值和最小值m. ，， ga,0gxxab,,0,,,ab,,ga,0, 若,由假设则,此时对任何所证式子恒成立.下面设，，，，，，,,,, 这时所证式子即为 b,1F(,),f(t)dt,f(x)g(x)dx. ,,aag(a)我们可以利用介值定理所证等式，所以问题转化为只须证明 b1m,f(x)g(x)dx,M, ,ag(a)或证明 b mg(a),f(x)g(x)dx,Mg(a),,a下面就来证明这个不等式. fxLxab(),,;,,fg,,0由条件有界,设而必为可积,从而对任给的,必有分割，使 ,, ,g,,x. ,i,iL,1i b现把按积分区间可加性写成 I,f(x)g(x)dx,a nxiI,f(x)g(x)dx ,,x,1i,1i nnxxii,,，,，gxgxfxdxgxfxdxII()()()()() ,,,,,,1112ii,,xx,,11ii,,11ii I对于,必有 1 nnx,igIgxgxfxdxLxL,,,,,,,,,()()(). ,,,11,ii,,ix,1iL,,11ii FxFa,,0I对于,由于,和 ，，，，02 xxxiii,1 fxdxfxdxfxdxFxFx()()()()(),,,,,,1ii,,,xaai,1 可得 n IgxFxFx,,，，，，，，，，,211iii,,，，i,1 ,,，，,gxFxFxgxFxFx，，，，，，，，，，，，，，，，01011nnn,,，，，， ,,，，,，FxgxgxFxgxgxFxgx，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，1011211nnnnn,,,,，，，， n,1 ,,，FxgxgxFbgx，，，，，，，，，，，，iiin,,11,，，i,1 g(x),0且减,使得其中g(x),0,g(x),g(x),0,i,1,2,？,n,1.F(x),M,再由于是利用 n,1i,1ii i,,,n,12估计得 n,1 IMgxgxMgxMga,,，,()()()().,,,211iin,,i,1 Fxm,Imga,i,,,n,12同理由,，又有. ，，，，i2 IIIImgaIMga,，,,,,,()(),, 综合得到 121 ,,，mg(a),I,Mg(a)，,. ,由为任意小正数,这便证得 mg(a),I,mg(a), ,ab,,f(x)[a,b]g推论 设函数在上可积(若为单调函数，则存在，使得 ,, b,b f(x)g(x)dx,g(a)f(x)dx，g(b)f(x)dx.,,,aa, hxgxgb,,gh证 若为单调递减函数，令,则为非负、递减函数(由定理9.11(?),存，，，，，， 在 ,b,,,ab,f，，，，，，xhxdx,haf(x)dx，使得=由于 ,,g(a),g(b)f(x)dx.,,,,,aaa bbb f(x)h(x)dx,f(x)g(x)dx,g(b)f(x)dx,,,,aaa因此证得 bb, fxgxdxgbfxdxgagbfxdx,，,，，，，，，，，，，，，，，，，,,,，，aaa ,b ,，gafxdxgbfxdx，，，，，，，，,,a, hxgxga,,g为单调递增函数，只须令,并由定理9.11(ii),同样可证. 若，，，，，， 注 积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具. 二 换元积分法与分部积分法 对原函数的存在性有了正确的认识,就能顺利地把不定积分的换元积分法和分部积分法移植到定积分计算中来. f(x)[a,b],(x)[,,,]定理9.12 (定积分换元积分法) 若函数在上连续，在上连续可微，且满足 ,(,),a,(,),ba,,(t),bt,[,,,]，，，， b,,,则有定积分的换元积分公式:( fxdxfttdtftdt,,,,,，，，，，，，，，，，，，，,,,a,, Ff[a,b]证 由于所证式子两边的被积分函数都是连续函数,因此它们的原函数都存在.设是在上的一个原函数,由复合函数微分法 d F(,(t)),F'(,(t)),'(t),f(,(t)),'(t),dt Ft(()),f(,(t)),'(t)可见是的一个原函数.根据牛顿一菜布尼茨公式,证得 ,b fttdtFFaFbFafxdx(())'()()()()().,,,,,,,,,,，，，，，，,,,a 注:在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处( 从以上证明看到,在用换元法计算定积分时,一旦得到了用新变量表示的原函数后,不作变量还原,而只要用新的积分限代入并求其差值就可以了.这就是定积分换元积分法与不定积分法的区别,这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数,理应保留与原来相同的自变量;而定积分的计算结果是一确定的数,如果等式一边的定积分计算出来了,那么另一边的定积分自然也求得了. f,注 如果定理的条件中只假定为可积函数,但还要求是单调的,那么换元公式仍然成立. 12例1 计算 1,xdx.,0 ,,1x,sintx0t0xt,,,00解 令，当从变化到时，从变化到，(，，) xt,,,122 ,,122222 11sincoscos,,,,xdxttdttdt,,,000 ,,111,,,2(1cos2)sin2tdttt. ,，,，,2,,,02224,,0 ,22例2 计算 sintcostdt.,0 ,解 令，， xt,costx,,,01tx,,,02 ,,011222222 ,,,,,,sincoscoscos.ttdttdtxdxxdx,,,,00103 ,,,11223222注:. ,,,,,sincoscoscoscosttdttdtt,,00033 1ln(1)，x例3 计算 Jdx,.,201，x dx,解 令得到 xttxdt,,tan,0,01.当从变到时从增到于是由换元公式及241，x ,,cossintt，44ln(1tan)ln Jtdtdt,，,,,00cost ,2cos()t,,44lndt,,0cost ,,,,444ln2lncos()lncos.dttdttdt,，,,,,,0004 ,对最末第二个定积分作变换有 ,,t,,4 ,,0,44 lncos(,t)dt,lncos,(,d,),lncos,d,,,,,,0044 它与上面第三个定积分相消.故得 ,,4 Jdtln2ln2.,,,08 事实上,例3中的被积函数的原函数虽然存在,但难以用初等函数来表示,因此无法直接使用牛顿一菜布尼茨公式.可是像上面那样,利用定积分的性质和换元公式,消去了其中无法求出原函数的部分,最终得出这个积分的值. ,xt,,,,20cossinsinxtt,,,,22补例:dxdtdt,,,,. ,,,,,,00，，，sincossincos2sincos4xxtttt,,2 ,tx,,,,40,,,,1tanx,,,,44 ln(1tan)ln1tanln1，,,，,,，tdtxdxdx,,,,,,,,,,0041tan，x,,,,,,4 ,,4,,，,ln2ln1tanln2xdx ，，，，,08 ab,,(x),v(x)定理9.13 (定积分分部积分法) 若为上的连续可微函数,则有定积分分部积分,,公式: bbb,, ,(x)v(x)dx,,(x)v(x),,(x)v(x)dx.,,aaa ,,,证 因为及牛顿-莱布尼茨公式，有 ，，uxvxuxvxuxvx,，，，，，，，，，，，，，，， bbbb (x)v'(x)dx'(x)v(x)dx(x)v'(x)'(x)v(x)dx(x)v(x).,,,，,,,，,,,,,,aaaa bbb移项后即证，简记为 ,(x)dv(x),u(x)v(x),v(x)du(x).,,aaa e2例4 计算 xlnxdx.,1 eeeee111112332333解 xlnxdx,lnxd(x),(xlnx,xdx),(e,x),(2e，1).,,,1111133339 ,,nn22例5 计算 sincos,1,2,.xdxxdxn和,,,00 n,2解 当时,用分部积分求得 ,,,nnn,,12222Jxdxxxnxxdx,,,，,sinsincos(1)sincos 2n,,000 ,,n,2n22 ,(n,1)sinxdx,(n,1)sinxdx,,00 ,,,,(1)(1)nJnJ. nn,2 移项整理后得到递推公式: n,1. J,J,n,2nn,2n 由于 ,,,22JdxJxdx,,,,1,sin1, 01,,202 重复应用递推式(11)便得 21231(21)!!mmm,,,,,,J,,,,,.2m,22222(2)!!2mmm,, ,2222(2)!!mmm,,J,,,,1.，21m,21213(21)!!mmm，,，, ,令可得 x,,t,2 ,,0,nnn22 cosxdx,,cos(,t)dt,sinxdx.,,,,0022 因而这两个定积分是等值的( 三 泰勒公式的积分型余项 U(x)x,U(x)f(x)x设函数在点的某邻域内有n，1阶连续导数，令，则 000 xn(n)n,1(n,1)xn(n，1)[(x,t)f(t)，n(x,t)f(t)，？，n!f(t)] (x,t)f(t)dt,x0,x0 x,,n!f(x),n![f(x)，f(x)(x,x)，？ ，0,f(t)dt000,x0 n()f(x)n0 ( ，(x,x)],n!R(x)nn! x1(n，1)nR(x)f(x)R(x)n其中即为的泰勒公式的阶余项(由此可得， ,f(t)(x,t)dtnn,x0n! 即为泰勒公式的积分型余项( (n，1)n[x,x][x,x]f(t)(x,t)由于连续，在(或)上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定00 ，,,x，,(x,x)0,,,1理于积分型余项，可知，，，使得 00 x11(n，1)n(n，1)n，1R(x) ,f,()(x,t)dt,f(,)(x,x)( n0,x0n!(n，1)!即为拉格朗日型余项( 若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 1(1)n，nR(x) ， ,f(,)(x,,)(x,x)n0n! ,,x，,(x,x)0,,,1其中，( 00 nnnn，1(x,,)(x,x),[x,x,,(x,x)](x,x),(1,,)(x,x)而，故 0000 1(n，1)nn，1R(x)0,,,1 ，， ,f(x，,(x,x))(1,,)(x,x)n000n! 称为泰勒公式的柯西型余项( x,0 特别地，当时，柯西型余项变为: 0 1(n，1)nn，1R(x)0,,,1 ，( ,f(,x)(1,,)xnn!