高数第一章练习题答案

高数第一章练习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 答案 精品文档 高数第一章 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 答案 1?2一、 设f??x?0?，求f。 ???x??x?x? 二、 求极限: 思路与方法: 1、利用极限的运算法则求极限; 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质; 1?sinx??1，lim?1???e;、利用两个重要极限:limx?x???x?0xx 4、利用极限存在准则; 5、用等价无穷小替换。注意:用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现,0?,???等类型0? 的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、lim?n?1??n?2??n?3?n3n?? ?13????2、lim??1?x1?x?x?1? x23、limx?1x?? 1 / 37 精品文档 4、limarctanx xx?? 5、lim 6、lim1?cos2x x?0xsinxtanx?sinx sinx3 x?0 7、limln?2cos3x? x?? 9 x?1?2x?3?8、lim??2x?1x???? ?x2?1?三、 已知lim???ax?b???0,求常数a,b。 x?1?x????? 四、 讨论f?x??lim 五、 设f?x??lim 六、 求f?x??x?x2enx1?enx的连续性。 为连续函数，试确定a和b的值。 n??x2n?1?ax2?bxx2nn???11 x 1?e1?x的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数f?x?在闭区间?0,2a?上连续，且f?0??f?2a?，则在?0,a?上 至少有一点，使f?x??f?x?a?。 a?c?d?b，八、 设f?x?在?a,b?上连续，试证明:对任意正数p和q， 2 / 37 精品文档 至少有一点???a,b?，使 pf?c??qf?d???p?q?f??? 习 题 1-1 1(求下列函数的自然定义域: y? 11?x 2 ?; ?1?x2?0 解:依题意有?，则函数定义域D??x|x??2且x??1?( x?2?0? 2x?1 arccos y? ?2x?1 ?1? 3解:依题意有?，则函数定义域D???2 ?x?x?6?0 ( y?ln; 解:依题意有?x2?3x?2?0，则函数定义域D??x|1? 1 x?2? ( 3 / 37 精品文档 y?2; 解:依题意有x3?x?0，则函数定义域D??x|??? x?x 3 x???且x?0,?1?( 1? , x?1,?sin y?? x?1 ?2， x?1;? 解:依题意有定义域D??x|???y?arctan 1x? x???? ( 解:依题意有? ?x?0?3?x?0 ，则函数定义域D??x|x?3且x?0?( 2(已知f定义域为[0,1]，求f, f, f, f?f 的定义域( 解:因为f定义域为[0,1]，所以当0?x2?1时，得函数f的定义域为[?1,1]; 当0?sinx?1时，得函数f定义域为[2kπ,π]; 当 4 / 37 精品文档 0?x?a?1时，得函数f定义域为[?a,?a?1]; 当? ?0?x?a?1?0?x?a?1 12 时，得函数 12 若a?f?f定义域为: 12 12 x??a,1?a?;， 若a? 3 (设 ，x?;若a? ，x??( 求函数值 f,f( f? 1?1?2?x?? ,其中a?0,?f? 解:因为 f? 5 / 37 精品文档 f? 1? 1?2?x? ，则 ??0 ,a>1,?( ???,0 1??a?1 1???2?2 4a?a?2a ， 1?a?1 1?2?1?a?1? 4(设 |x|?1,?1? f??0|x|?1, ??1|x|?1.? g?2 x ，求f)与g)，并做出函数图形( 解: x ?12?1x?0?1??x x?0， f)??02?1，即f)??0 ??1 x?0?x 6 / 37 精品文档 ???1?1 ?21 ?0 g)??2 ??1?2 ??2? |x|?1，即g)??1 ?1 |x|?1? ?2 |x|?1 |x|?1|x|?1 |x|?1 ，函数图形略( 5(设 ?1?x, f?? ?1, x?0,x?0, 试证: ?2?x, f[f]?? ?1, 7 / 37 精品文档 x??1,x??1. ，得证( 证明: ?1?f,f?0 ，即f[f]?f[f]?? 1,f?0??2?x, ??1, x??1,x??1 6(下列各组函数中， f?ln f与g是否是同一函数,为什么, x,g??ln ?3 ? ; 不是，因为定义域和对应法则都不相同( f?g?; 是( f?2,g?sec2x?tan2x; 不是，因为对应法则不同( f?2lgx,g?lgx2; 不是，因为定义域不同( 7(确定下列函数在给定区间内的单调性: y?3x?lnx，x?; 解:当x?时，函数y1?3x单调递增，y2?lnx也是单调递增，则y?在内也是递增的( y?解: y2? 8 / 37 精品文档 1y1 ? y1?y2 ，x?( 1?x?x?11y???1? 1?x1?xx?11 ?x ，当x?时，函数y1?x?1单调递增，则 ?x1?x x?1 是单调递减的，故原函数y?是单调递减的( 8. 判定下列函数的奇偶性( y?lg?lg， 所以y?lg?0?f，所以y?0是偶函数( y?x2?2cosx?sinx?1; s?sxi?n解:因为f?2x?2cox，f1?f且f??f，所以 y?x?2cosx?sinx?1既非奇函数，又非偶函数( 2 y?解:因为 a?a 2 x?x . ?x 9 / 37 精品文档 f? a?a2 x ?f，所以函数y? a?a 2 x?x 是偶函数( 9(设f是定义在[?l,l]上的任意函数，证明: f?f 是偶函数，f?f是奇函数; f可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成偶函数与奇函数之和 的形式. 证明:令g?f?f,h?f?f，则 g?f?f?g,h?f?f??h，所 以数，f?f是奇函数( 任意函数偶函数， f?f 2 f? f?f 2 ? f?f 2 f?f是偶函 10 / 37 精品文档 ，由可知 f?f 2 是 是奇函数，所以命题得证( 10(证明:函数在区间I上有界的充分与必要条件是: 函数在I上既有上界又有下界. 证明:若函数f在区间I上有界，则存在正数M，使 得x?I，都有 f?M 成立，显然?M f ?f?M ，即证得函数上既有上界 f在区间I上既有上界又 M1 有下界 设函数 在区间 I M2 ，又有下界，即函数 11 / 37 精品文档 ，即有 f?M1且f?M2，取M?max{M1,M2}，则有f?M f 在区间I 上有界( 11(下列函数是否是周期函数,对于周期函数指出其周期: y?|sinx|; 周期函数，周期为π( y?1?sinπx; 周期函数，周期为2( y?xtanx; 不是周期函数( y?cos2x. 周期函数，周期为π( 12(求下列函数的反函数: y? 3 xx 3?1 ; ? yy?1 解:依题意，3x f ?1 ，则x?log3 12 / 37 精品文档 yy?1 ，所以反函数为 ?log3 ,x??( x?1 ax?b y?; cx?d b?dy 解:依题意，x?，则反函数f cy?a x ?1 ? b?dxcx?a ( y?lg?x? ; y ?y 解:依题意，x?y?3cos2x,解:依题意，x? 12 13 / 37 精品文档 ，所以反函数 f ?1 ? 12 ,x?R ( π??π ???x??( ??4 arccos 2 y3 ，所以反函数 ar ccos f ?1 x ,x?[0,3]( ? 2 13(在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数， 14 / 37 精品文档 并求这函数分别对应于 给定自变量值x1和x2的函数值: y?eu,u?x2，1,x1?0,x2?2; y?u2?1,u?ev?1,v?x?1,x1?1,x2 2 ??1( 解:y?f?ex?1,f?e,f?e5 y?f?2?1，f?e4?2e2?2，f?1( 14(在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为H(当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为V(试把h表示为V的函数，并指出其定义区间( 解:依题意有V ?πrh，则h? 2 Vπr 2 ,V?[0,πrH]( 2 15(某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法:每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元,吨计算(超过部分每吨以5倍价格收费(试建立每月用水费用与用水数 15 / 37 精品文档 量之间的函数关系(并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用( 解:依题意有 0?x?4.5?0.64x, ，所以 f?? 4.5?0.64??3.2,x?4.5? f?2.24元，f?2.88元，f?6.08元 ( 习 题 1-2 3n?1 222 求|a1?|,|a10?|,|a100?|的值; 333 1(设an ? 2n?1 ， 求N，使当n? 求N，使当n?解: |a1? |a100 ?2323|?||?|34 NN 时，不等式|an时，不等式|an 16 / 37 精品文档 |?2112|?, ?? 23 23 |?10|???23 ?4 成立; 成立( |?|2131?23|? 193, ? 23? |a10 1 201 3013903211 要使 |an?|?10?4, 即 ?4 3310 ( ，则只要n?成立( 99979 , 17 / 37 精品文档 取N ,? ?9997? ??1110,9?? 故当n>1110时，不等式|an ? 23 |?10 ?4 要使|an |an? 23|?? ? 23 |?? 成立，n?1?3?, 取N 9??1?3??????9?? ，那么当n? N 时， 成立. 2(根据数列极限的定义证明: 18 / 37 精品文档 lim 1n! n?? ?0 ;lim， 要使| N n n?? ?1( ?1??????? 解:?? ?0 1n! ?0|, 1n! ? 1n1n! ?? ， 只要取N ，则lim ? 22n 19 / 37 精品文档 2 ， 所以，对任意 ?1???0，存在N??? ??? ，当n?时，总有| ?1?| ?0|??1n! n?? ?0 . n? ?? N??0 ,要 使| n ?? , 即,只要 取 ?1|?? ,所以,对任意的?>0, 20 / 37 精品文档 存在N?, 当n? N , 总有| n , 则lim n n?? ?1. 3(若lim n?? xn?a，证明lim|xn|?|a|(并举例说明:如果数列?|xn|? n?? 有极限，但数 .不妨假 列?xn?未必有极限( 证明: 因为limxn n?? ?a , 所以?? ?0 21 / 37 精品文档 , ?N1, 当n?N1时, 有|xn ?a|?? 设a>0, 由收敛数列的保号性可知:?N2, 当n?N2时,有xn?0, 取N?max?N1,N2?, 则对???0, ?N,当n?N时, 有||xn|?|a||?|xn?a|??.故 lim|xn|?|a|. 同理可证a?0 n?? 时, lim|xn|?|a|成立. n?? 反之,如果数列?|xn|?有极限, 但数列?|xn|?未必有极限.如:数列xn |xn|?1， 显然lim|xn|?1, 但limxn n?? n?? ???1? n , 不存在( ?0 4(设数列?xn?有界，又limyn n?? (证明:limxnyn 22 / 37 精品文档 n?? ?0 ( n?? 证明: 依题意,存在M>0, 对一切n都有|xn|?M， 又 lim当n? N yn?0 , 对?? ?0 , , 存在N, 时, |yn?0|??, 因为对上述N, 当n? n?? N 时, |xnyn ?0|?|xnyn|?M|yn|?M? 由?的任意性, 则limxnyn ?0 ( ?π 2 23 / 37 精品文档 xn( ，求limn?? 5(设数列?x n?的一般项xn解: 因为lim x?? ?0, |cos π 2 |?1, 所以 lim x?? π 2 ?0 . ?A( ?0 6(对于数列?xn?，若x2k?1?证明: 由于limx2k?1 k?? A，x2k?A，证明:xn ?A, 所以, ???0 , ?N1 24 / 37 精品文档 ?0 , 当k>N1时，有|x2k?1?A|??, , 同理, ???0,?N2?0, 当k?N2时, 有|x2k?A|??(取N=max?N1,N2?, ?? 当n?N时, |xn?A|??成立, 故xn?A( 高等数学第一章 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 1. 设f?x?? 1 lg3?x?49?x2，则f?x?的定义域?7?x? 且 x?2 2. 设f?x????1?xx?0 ?1 1x ，则f?f?x???2?x x????0?1 x??1 3. lim? ?xsin1?1sinx???。 x?o? xx? x2sin 1 25 / 37 精品文档 4、lim 2的值为0x?0 sinx15设x f?x?? e?1则 1x?0 是 f?x? 的第 1 类中的跳跃 间ex?1 ? a?bx, x? 0 . 设 f?? ?sbxi,n 在 x ?0 处连续，则常数 a 与 b 应满足的关系 a?b .? ? x x? 0x 2x x?12x 7.设lim? ?2x?x?1 ??x?1?x?1? x?1 ?lim? 26 / 37 精品文档 x?1?x?1?x?1 x?1?x?1? ? ____________. 答案: limx?1??x?1? ? x?1??1?x?1?? ?e 极限limn2 .=2sin2 ? 22 8.n?? cos n _______________.答案: limn2 ? 1 ?lim ?2n?? n lim n?? 27 / 37 精品文档 n??1? 2 n2 n2 9.若limkx ?e6,则k?解:lim1x??kx?limx??[x]k?limx??[?x?3]? ?limx??[?x?3]?k? limx??]?e?k?1?e6，得k??6. 10.设f?x??lim x?x2enxn?? 1?enx ,则f?x?的连续区间为____ _______________。 11.2 limlncos?x?1?=???2??x?11?sin ???? 2 x 12.设f处处连续,且f?5,则lim tan3xx?0xf?二、单项选择题 1.当x?0时，变量 1x 2 sin1 x是 无穷小无穷大 有界的但不是无穷小 无界但不 28 / 37 精品文档 是无穷大.设f?x??2xln?1?x?,g?x??sin2 x,则当x?0时，f?x?是g?x?的 断点。 等价无穷小 同阶当非等价无穷小 高阶无穷小 低阶无穷小 1 等价的无穷小是 x 1?x11x?1 sinln ;;;。 x?1?x32 xx1?xx 3(当x???时，下列变量中与 4.无穷大量与有界量的关系是. A.无穷大量可能是有界量;B.有界量可能是无穷大量; C.无界量不一定是无穷大量;D.无界量一定是无穷大量. 解:无穷大量与有界量的关系是:无穷大量一定无界;无界量不一定是无穷大量. 5. 函数?f???x2 sin1,x?0 在x?0处 ?x?0, x?0 连续, 且可导; 连续, 不可导; 不连续; 导数连续 . ?1 29 / 37 精品文档 6.设sinxf???? x,x?0,则x?0是f的A. ??? xsin1x?1,x?0,A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点. 7、 若当x?x0时，??x?,??x?均为无穷小量???x??0? ，则当x?x0时，下列表示式哪一个不一定是无穷小。?x???x?2 ?x???2 ?x? ln???x???x?2?x??x 三、解下列各题 1 limnn5n?? 解: limn??n?lim n?? n?1?n?3 ? 2 221?2sinx limxx?sinx?x x?0 解: limx?0 ?limx?0 [1?] ?e?2 30 / 37 精品文档 3.2 2xxlim??? .? xlim ??? x2 ?x?x2 ?xlim 2?x ??? ?1 1? 1x??1x 14.lim?1?x?1?x?1 x??? ?xlim ??? ?xlim????1x2?1?x ?1?1x2 ?12 5(lim?sinx??tanxtanxx?1x?0x3 ?limx?0x3?lim =??tanx)?4x?0x31x 31 / 37 精品文档 =1?x2?x?1 x x?0 xlim?0 ?e 1x?0 x ?e 7.lim ln x2?x3 x?0 e x2 ??1 lim 3x?0 x2 ?3 ) .解:lim?lim?8.lim] 32 / 37 精品文档 cotx .解:lim[tan] cotx ?lim x?0 [ ? 1 tanx?1 ] 1tanx ?e?2 1?2 sinx?xcos?x,x?0,应当怎样选择数b,使得f在x?0处 连续. 11.设函数f??? 1?x)?ln?1,limf?f?b?1,所以b?2. f?lim?f?f,而lim 解:应有lim??? x?0 x?0 x?0 x?0 33 / 37 精品文档 1? a?xsin,x?0,?x 12.设函数f??x?0,问a,b为何值时，?2, 1? ?x,x?0,? f是上的连续函数。 f?lim?lim?f?f lim解:lim??? x?0 x?0 x?0 x?0 1 bx)x ?eb?2 1 limf?lim?a?f?b?ln2,a?2x?0?x?0?x 13: 设x1?10,xn?1?6?xn ,试证数列?xn?极限存并求此极限。 证: x1?10,x2?6?10?4,?x1?x假设xk?1?xk成立，则xk?1?6?xk?6?xk?1?xk， 故单减，xn?0有下界，故极限存在，设其为A 两边取极限A?6?AA?3,A??2 34 / 37 精品文档 1?sin,x?0?2 x?1? 四、求函数f?x??? 的间断点并判断其类型。 ?x2?1 ,x?0? ??cosx?2? x=,1时, limsin1 2 x??1 不存在，?x=,1是第二类中的振荡间断点 2x?six? 22 4 x?1为第一类中的可去点间 断 x?1 x=1时 2 limf?x??limx?1?lim x?1 x?1 cos 2 x 35 / 37 精品文档 x?1 ?? ? x=3,,,…时 x? ck?0 lim x2?1ox 2 ? ??， ?x=3,5,…为第二类中的无穷间断点 2 x=0时 limx?1??1. x?0?0 cos 2 x x?0?0 limsin 1x?1 2 36 / 37 精品文档 ??sin1 x?0是第一类中的跃跳 断点 37 / 37