线性代数超强总结20140201

√ 等价关系 √ 行列式的计算： ? 按行（列）展开定理 ? 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积 若 都是方阵（不必同阶）,则 上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. 副对角线： 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式之和？ √ 矩阵性质 √ 转置、逆、伴随 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；           √ 逆矩阵的求法: ④     ⑤ ；（拉普拉斯） ；（拉普拉斯） √矩阵乘法 √设 的列向量为 , 的列向量为 ， 的列向量为 , √ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘 √ 矩阵方程的解法 设法化成 当 时, √ 线性方程组 线性方程组的矩阵式                        向量式  线性方程组解的性质： √ 和 同解（ 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等 ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断 是 的基础解系的条件： ① 线性无关； ② 是 的解； ③ . √ 线性组合、相关等 1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 3 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 4 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 5 两个向量线性相关 对应元素成比例； 6 两两正交的非零向量组线性无关. 7 向量组 中任一向量 ≤ ≤ 都是此向量组的线性组合. 8 向量组 线性相关 至少有一个向量可由其余 个向量线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示. 向量组 线性无关 每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示. 9 维列向量组 线性相关 ； 维列向量组 线性无关 . 10 . 11 线性无关， 线性相关,则 可由 线性表示. 12 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 13 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 14 矩阵 与 等价 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵 与 作为向量组等价 矩阵 与 等价. 15 向量组 可由向量组 线性表示 ≤ . 16 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关. 向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤ . 17 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价； 18 任一向量组和它的极大无关组等价. 19 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. 20 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 21 若 是 矩阵,则 , 若 ， 的行向量线性无关；若 ， 的列向量线性无关. √ 设 为 矩阵,若 ,则 ,从而 一定有解. 当 时,一定不是唯一解. ,则该向量组线性相关. 是 的上限. √ 矩阵的秩的性质 ① ② ≤ ? max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ③ ≤ ≤ ④ ⑤ ⑥ ≥ ⑦ ≤ ⑧ ⑨ ⑩ 且 在矩阵乘法中有左消去律: √ 特征值和特征向量 的特征矩阵  . 的特征多项式  . 的特征方程  的特征向量 的非零解 √ 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量. √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 个元素. √         √ 若 ,则 一定可分解为 = 、 , 的特征值为： ,    . √ 若 的特征值 ， 是多项式,则 的特征值为 √ 若n阶矩阵 满足 ，则 的特征值均满足： √ √ 与 相似    （ 为可逆阵）    记为： √ 相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量. 这时, 为 的特征向量拼成的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值. √ 可对角化的充要条件：     为 的（代数）重数. √ 若 阶矩阵 有 个互异的特征值,则 与对角阵相似. 与 正交相似    （ 为正交矩阵： ） √ 的性质：  ①   若 均可逆 ② ③     （ 为整数） ④ ,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 关于 的特征向量, 是 关于 的特征向量. （参考现代控制中的坐标变换） ⑤     即： 同时可逆或不可逆 ⑥ ⑦ √ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ； ③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④ 重特征值必定有 个线性无关的特征向量； ⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 个线性无关的特征向量, 可能有重的特征值,重数= ）. 可以相似对角化  与对角阵 相似.  记为：   （称 是 的相似标准型） √ 若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算） . √ 设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有： . √ 若 , ,则： . √ 若 ,则 , . √ 正交 标准正交基 个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量； 线性无关； ； ④ ； ⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示. . 是单位向量 . √ 内积的性质：  ① 正定性： ② 对称性： ③ 双线性： 施密特  线性无关, 单位化：         正交矩阵  . √ 是正交矩阵的充要条件： 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① ； ② ； ③ 是正交阵,则 （或 ）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1. √ 二次型 二次型      为对称矩阵    与 合同  .    记作：   （ ） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是： √ 两个矩阵合同的必要条件是： √ 经过 化为 标准型. √ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由 惟一确定的. √ 当标准型中的系数 为1，-1或0时,则为规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. √ 任一实对称矩阵 与惟一对角阵 合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形: 1 求出 的特征值、特征向量； 2 对 个特征向量单位化、正交化； 3 构造 （正交矩阵）, ； 4 作变换 ,新的二次型为 , 的主对角上的元素 即为 的特征值. 正定二次型  不全为零， . 正定矩阵  正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）： 1 正惯性指数为 ； 2 的特征值全大于 ； 3 的所有顺序主子式全大于 ； 4 合同于 ，即存在可逆矩阵 使 ； 5 存在可逆矩阵 ，使     （从而 ）； 6 存在正交矩阵，使     （ 大于 ）. √ 成为正定矩阵的必要条件：   ； . √ 一些概念： 向量组等价 设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示．若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价. 矩阵等价 经过有限次初等变换化为 .记作： 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B 数量矩阵 又称标量矩阵。设I是单位矩阵，k是任何数，则k*I称为数量矩阵。 主子式定义 n 阶行列式的 i 阶主子式为：在n 阶行列式中，任选 i 行（假设 i=3 阶，选取1、3、7行时），再选取相同行号的列（1、3、7 列）， 由上述选取的行列交汇处的元素所组成的新的行列式就称为“n 阶行列式的一个 i 阶主子式”。实际上，主子式的主对角线元素是原n阶行列式的主对角线元素的一部分，且顺序相同。 n 阶行列式的 i 阶顺序主子式定义： 上述 i 阶主子式中定义中，由1—i 行和1—i 列所确定的子式即为“n 阶行列式的i 阶顺序主子式”。 例如： 1阶时：取第1行，第1列 2阶时：取第1、2行，第1、2列 3阶时：取第1、2、3行，第1、2、3列 值得注意的是，根据定义，i 阶主子式是不唯一的，而i 阶顺序主子式是唯一的。