高等数值分析主要
内容
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总结
1. 矩阵部分
(1) 矩阵变换
a) Householder 变换(反射变换/镜像变换)
定义设
是一个单位向量,令
(1)
则称
是一个Householder矩阵或Householder变换。
具有以下性质:
定理设
是一个单位向量,则对于任意的
,存在Householder矩阵
,使得
,其中
(
不唯一)。
当
时,
可任取;
当
时,取
;
当
时,应取
。
b) Givens变换(旋转变换)
定义设
,
,记
阶矩阵
(2)
称为Gives矩阵或初等旋转矩阵。Givens矩阵为酉矩阵,且
。
定理对于任意向量
,存在Givens变换
,使得
的第
个分量为非负实数,第
个分量为0,其余分量不变。
当
时,取
,
,则
。
当
时,取
,
。
(2) 矩阵分解-QR分解(正交三角分解/酉三角分解)
定义设
,如果存在
阶酉矩阵(酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广)
和
阶上三角矩阵
,使得
,则称
为
的QR分解。当
时,则称为
的正三角分解。
定理任意一个满秩实(复)矩阵
,都可唯一地分解为
。
a) Schmidt正交化方法
b) Householder变换法
c) Givens变换法
d) Hessenberg分解
任意一个
阶方阵
可以分解为
,其中
为酉矩阵,
的第一子对角线下的元素均为0,即
为Hessenberg矩阵。
(3) Newton迭代法-拟Newton迭代法
a) Newton迭代法
I. 基本思想:将非线性方程
线性化,以线性方程的解逼近非线性方程的解。
II. 基本原理:将
在
处做一阶Taylor展开:
(3)
认为
(4)
解此方程,构造迭代格式
(5)
式(5)即为Newton迭代法迭代格式,在真实根附近至少是平方收敛的。
几何意义
b) 拟Newton法
2. 微分方程
(1) 一阶常微分方程
常微分方程初值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(6)
a) Euler法
微商(导数)是差商的极限,差商是微商的近似。在式(6)中,用向前差商
代替微商
,忽略误差项,便得Euler法差分格式
(7)
从另一个角度出发,在区间
上积分常微分方程(6)可得
(8)
使用不同的数值积分公式,便得到不同的差分法。采用左矩形公式即可得Euler法,采用右矩形公式,可得到如下隐式Euler法:
(9)
采用梯形公式,可得到改进的Euler法:
(10)
以上为单步法。
预估校正法(多步法,避免隐式法迭代)
一般来说,多步法比单步法精度要高一些。
b) Runge-Kutta法
c) 总结
相容性:一个差分方法称为相容的,如果其截断误差至少是一阶的。
(2) 偏微分方程
a) 椭圆微分方程
b) 抛物微分方程
c) 一阶双曲微分方程
3. 数值逼近
(1) 一致逼近
(2) 平方逼近
(3) 样条逼近(略)
(4) 贝塞尔曲线(略)