课时作业8 分段函数与映射
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是( )
①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；④像的集合就是集合B.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.
【答案】 B
2．已知函数f(x)＝
且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】 当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0?a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0?a＝－3，适合题意．
【答案】 A
3．函数y＝x＋
的图象是( )
【解析】 y＝x＋
＝
【答案】 D
4．a，b为实数，集合M＝
，N＝{a,0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a＋b＝( )
A．－2 B．0 C．2 D．±2
【解析】 由题意知M中元素
只能对应0,1只能对应a，所以
＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a＋b＝2，故选C.
【答案】 C
5．已知函数y＝
则使函数值为5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
【解析】 当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x>0时，－2x<0，不合题意．
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
【解析】由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2，
所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
【答案】 5
7．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)在此映射下的原像是(3,1)，则k＝________，b＝________.
【解析】 由题设得
?
.
【答案】 2 1
8. 设函数f(x)＝
若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，则方程f(x)＝x的解集为________．
【解析】 当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，因为f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，所以
解得
故f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，解得x＝－2或x＝1(1>0，舍去)．当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.
所以方程f(x)＝x的解集为{－2,2}．
【答案】 {－2,2}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,4，m2}，x∈A，y∈B，映射f：A→B使A中元素x和B中元素y＝2x对应，求实数m的值．
【解析】 由对应关系f可知，集合A中元素0,2分别和集合B中的元素0,4对应，所以集合A中的元素4和集合B中的元素m2对应．
于是m2＝2×4，解得m＝±2
.
10．已知f(x)＝
求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．
【解析】 ∵－1<0，∴f(－1)＝0，
∴f(f(－1))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．具有性质：f
＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－
；②y＝x＋
；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【解析】 对于①，f(x)＝x－
，f
＝
－x＝－f(x)，满足；对于②
，f
＝
＋x＝f(x)，不满足；对于③，f
＝
即f
＝
故f
＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
【答案】 B
12．从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1,0,1,2}，则B中至少有________个元素．
【解析】 根据映射的定义可得，x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5}，故集合B中至少有3个元素．
【答案】 3
13．已知(x，y)在映射f的作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)求(－2,3)在f作用下的像；
(2)若在f作用下的像是(2，－3)，求它的原像．
【解析】 (1)设f：(－2,3)→(x1，y1)，根据f：(x，y)→(x＋y，xy)有：
x1＝－2＋3＝1，y1＝(－2)×3＝－6，
∴(－2,3)在f作用下的像是(1，－6)．
(2)方法一：依题意得
解得
或
∴(2，－3)在f作用下的原像是(3，－1)或(－1,3)．
方法二：设f：(m，n)→(2，－3)，由f：(x，y)→(x＋y，xy)可知：
m，n是方程t2－2t－3＝0的两根，解得
或
∴(2，－3)在f作用下的原像是(3，－1)或(－1,3)．
14．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
【解析】 (1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
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