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高考导数压轴题型归类总结.doc

高考导数压轴题型归类总结

Eden明发
2019-04-05 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考导数压轴题型归类总结doc》,可适用于高中教育领域

导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用()二、交点与根的分布()三、不等式证明()(一)作差证明不等式(二)变形构造函数证明不等式(三)替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围()(一)恒成立之最值的直接应用(二)恒成立之分离常数(三)恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用()六、导数应用题()七、导数结合三角函数()书中常用结论⑴sin,(,)xxxπ<∈,变形即为sinxx<,其几何意义为sin,(,)yxxπ=∈上的的点与原点连线斜率小于⑵xex>⑶ln()xx>⑷ln,xxxex<<>一、导数单调性、极值、最值的直接应用(切线)设函数axxf=)(()当=a时,求函数)()(xxfxg=在区间,上的最小值()当>a时,曲线)(xfy=在点)))((,(axxfxP>处的切线为l,l与x轴交于点),(xA求证:axx>>解:()=a时,xxxg=)(,由)(=='xxg,解得±=x所以当=x时,)(xg有最小值)(=g()证明:曲线)(xfy=在点),(axxP处的切线斜率)(xxfk='=曲线)(xfy=在点P处的切线方程为)()(xxxaxy=令=y,得xaxx=,∴xxaxxaxxx==∵ax>,∴<xxa,即xx<又∵xax≠,∴axaxxaxxaxx=>==所以axx>>(天津理,极值比较讨论)已知函数()()(),xfxxaxaaex=∈R其中a∈R⑴当a=时,求曲线()(,())yfxf=在点处的切线的斜率⑵当a≠时,求函数()fx的单调区间与极值解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。⑴)(')()(')(efexxxfexxfaxx====,故,时,当))(,()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线=⑵)()('xeaaxaxxf=)('≠≠===aaaaxaxxf知,由,或,解得令以下分两种情况讨论:①a若>,则a<a当x变化时,)()('xfxf,的变化情况如下表:)(所以xf)()()(aaeafafaxxf==,且处取得极大值在函数)()()()(==aeaafafaxxf,且处取得极小值在函数②a若<,则a>a,当x变化时,)()('xfxf,的变化情况如下表:所以)(xf)()()()(==aeaafafaxxf,且处取得极大值在函数)()()(aaeafafaxxf==,且处取得极小值在函数已知函数(),()lnfxxaxgxaxb==⑴设两曲线()()yfxygx==与有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>,试建立b关于a的函数关系式,并求b的最大值⑵若,,()()()()bhxfxgxabx∈=在(,)上为单调函数,求a的取值范围。(最值,按区间端点讨论)已知函数f(x)=lnxax()当a>时,判断f(x)在定义域上的单调性()若f(x)在,e上的最小值为,求a的值解:()由题得f(x)的定义域为(,∞),且f′(x)=xax=xax∵a>,∴f′(x)>,故f(x)在(,∞)上是单调递增函数()由()可知:f′(x)=xax,①若a≥,则xa≥,即f′(x)≥在,e上恒成立,此时f(x)在,e上为增函数,∴f(x)min=f()=a=,∴a=(舍去)②若a≤e,则xa≤,即f′(x)≤在,e上恒成立,此时f(x)在,e上为减函数,∴f(x)min=f(e)=ae=,∴a=e(舍去)③若e<a<,令f′(x)=,得x=a当<x<a时,f′(x)<,∴f(x)在(,a)上为减函数当a<x<e时,f′(x)>,∴f(x)在(a,e)上为增函数,∴f(x)min=f(a)=ln(a)=a综上可知:a(最值直接应用)已知函数)ln()(xaxxxf=,其中a∈R(Ⅰ)若x=是)(xf的极值点,求a的值(Ⅱ)求)(xf的单调区间(Ⅲ)若)(xf在,)∞上的最大值是,求a的取值范围解:(Ⅰ)()(),(,)xaaxfxxx'=∈∞依题意,令()f'=,解得a=经检验,a=时,符合题意(Ⅱ)解:①当=a时,()xfxx'=故)(xf的单调增区间是(,)∞单调减区间是),(②当a>时,令()fx'=,得x=,或xa=当<<a时,()fx与()fx'的情况如下:所以,()fx的单调增区间是(,)a单调减区间是),(和(,)a∞当=a时,)(xf的单调减区间是),(∞当a>时,x<<,()fx与()fx'的情况如下:所以,()fx的单调增区间是(,)a单调减区间是(,)a和(,)∞③当<a时,)(xf的单调增区间是(,)∞单调减区间是),(综上,当a≤时,)(xf的增区间是(,)∞,减区间是),(当<<a时,()fx的增区间是(,)a,减区间是),(和(,)a∞当=a时,)(xf的减区间是),(∞当a>时,()fx的增区间是(,)a减区间是(,)a和(,)∞(Ⅲ)由(Ⅱ)知a≤时,)(xf在(,)∞上单调递增,由)(=f,知不合题意当<<a时,)(xf在(,)∞的最大值是()fa,由()()ffa>=,知不合题意当≥a时,)(xf在(,)∞单调递减,可得)(xf在,)∞上的最大值是)(=f,符合题意所以,)(xf在,)∞上的最大值是时,a的取值范围是,)∞(北京理数)已知函数()fx=ln(x)xxx(k≥)(Ⅰ)当k=时,求曲线y=()fx在点(,f())处的切线方程(Ⅱ)求()fx的单调区间解:(I)当k=时,()ln()fxxxx=,'()fxxx=由于()lnf=,'()f=,所以曲线()yfx=在点(,())f处的切线方程为ln()yx=即lnxy=(II)()'()xkxkfxx=,(,)x∈∞当k=时,'()xfxx=所以,在区间(,)上,'()fx>在区间(,)∞上,'()fx<故()fx得单调递增区间是(,),单调递减区间是(,)∞当k<<时,由()'()xkxkfxx==,得x=,kxk=>所以,在区间(,)和(,)kk∞上,'()fx>在区间(,)kk上,'()fx<故()fx得单调递增区间是(,)和(,)kk∞,单调递减区间是(,)kk当k=时,'()xfxx=故()fx得单调递增区间是(,)∞当k>时,()'()xkxkfxx==,得(,)kxk=∈,x=所以没在区间(,)kk和(,)∞上,'()fx>在区间(,)kk上,'()fx<故()fx得单调递增区间是(,)kk和(,)∞,单调递减区间是(,)kk(山东文,单调性)已知函数()ln()afxxaxaRx=∈⑴当a=时,求曲线()yfx=在点(,())f处的切线方程⑵当a≤时,讨论()fx的单调性解:⑴lnxy=⑵因为ln)(=xaaxxxf,所以)('xaaxxf=xaxax=,),(∞∈x,令,)(axaxxg=),,(∞∈x(是一道设计巧妙的好题,同时用到e底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密)已知函数()ln,()xfxxgxe==⑴若函数φ(x)=f(x)xx,求函数φ(x)的单调区间⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x,f(x))处的切线,证明:在区间(,∞)上存在唯一的x,使得直线l与曲线y=g(x)相切解:(Ⅰ)()()xxfxx=ln=xxx,()()()=='xxxxxx∵x>且x≠,∴()x'>∴函数()x的单调递增区间为()()∞,和,(Ⅱ)∵()fxx'=,∴()fxx'=,∴切线l的方程为ln()yxxxx=,即lnyxxx=,①设直线l与曲线()ygx=相切于点(,)xxe,∵()xgxe'=,∴xex=,∴lnxx=,∴ln()xgxex==∴直线l也为()lnyxxxx=,即lnxyxxxx=,②由①②得lnlnxxxx=,∴lnxxx=由(Ⅰ)可知,()xln=xx在区间,∞()上递增又()lneeeee==<,()lneeeee==>,结合零点存在性定理,说明方程()x=唯一x,故结论成立(最值应用,转换变量)设函数()()ln()axfxaxax=<()讨论函数()fx在定义域内的单调性()当(,)a∈时,任意,,xx∈,(ln)ln|()()|mafxfx>恒成立,求实数m的取值范围解:⑴()afxaxx'=()axaxx=()()axxx=当a<时,a<,增区间为(,)a,减区间为(,)a,(,)∞当a=时,a=,减区间为(,)∞当a<<时,a>,增区间为(,)a,减区间为(,),(,)a∞⑵由⑴知,当(,)a∈时,()fx在,上单调递减,∴,,xx∈,|()()|fxfx≤()()ff()()lnaaa=,即|()()|fxfx≤()lnaa∵(ln)ln|()()|mafxfx>恒成立,∴(ln)lnma>()lnaa,即maa>,又a<,∴ma<∵(,)a∈,∴a<<,∴m≤(最值应用)已知二次函数()gx对xR∈都满足()()gxgxxx=且()g=,设函数()()lnfxgxmx=(mR∈,x>)(Ⅰ)求()gx的表达式(Ⅱ)若xR∈,使()fx≤成立,求实数m的取值范围(Ⅲ)设me<≤,()()()Hxfxmx=,求证:对于,xxm∈,,恒有|()()|HxHx<解:(Ⅰ)设()gxaxbxc=,于是()()()()gxgxaxcx==,所以ac==,又()g=,则b=所以()gxxx=…………分(Ⅱ)()()lnln()fxgxmxxmxmx==∈>R,当m>时,由对数函数性质,f(x)的值域为R…………分当m=时,()xfx=>对x>,()fx>恒成立…………分当m<时,由()mfxxxx'===,列表:min()mfxfm==这时,min()e<mmfxmm>><<,所以若x>,()fx>恒成立,则实数m的取值范围是(e,故x>使()fx≤成立,实数m的取值范围()(,e∞∞,…………分(Ⅲ)因为对xm∈,,()()()xxmHxx'=≤,所以()Hx在,m内单调递减于是|()()|()()lnHxHxHHmmmm≤=|()()|lnlnHxHxmmmmmm<<<记()ln(e)hmmmmm=<≤,则()()h'mmmm==>,所以函数()lnhmmmm=在(e,是单调增函数,所以()()eee()(e)eehmh≤==<,故命题成立…………分设x=是函数()()(),xfxxaxbexR=∈的一个极值点()求a与b的关系式(用a表示b),并求()fx的单调区间()设(),xagxae>=,若存在,,ξξ∈,使得()()fgξξ<成立,求a的取值范围解:()∵()()xfxxaxbe=∴()()()()''xxfxxaexaxbe=()xxaxbae=由题意得:()'f=,即()aba=,ba=∴()()xfxxaxae=且()()()'xfxxxae=令()'fx=得x=,xa=∵x=是函数()()(),xfxxaxbexR=∈的一个极值点∴xx≠,即a≠故a与b的关系式为(),baa=≠当a<时,xa=>,由()'fx>得单增区间为:(),a由()'fx<得单减区间为:(),∞和(),a∞当a>时,xa=<,由()'fx>得单增区间为:(),a由()'fx<得单减区间为:(),a∞和(),∞()由()知:当a>时,xa=<,()fx在,上单调递增,在,上单调递减,{},)()(),(min)(mineaffxf==()()maxfxfa==,∴()fx在,上的值域为,)(aea易知()xgxae=在,上是增函数,∴()gx在,上的值域为,aae由于()aaa=≥,又∵要存在,,ξξ∈,使得()()fgξξ<成立,∴必须且只须()aaa><解得:a<<所以,a的取值范围为,()()()xfxxaxbexR=∈()若,ab==,求函数()fx的极值()若x=是函数()fx的一个极值点,试求出a关于b的关系式(用a表示b),并确定()fx的单调区间()在()的条件下,设a>,函数()()xgxae=若存在,,∈λλ使得

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