作业06（质点动力学4）
1. 关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种说法，其中正确的是[ ]。
A． 不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒
B． 所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒
C． 不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒
D． 外力对一个系统做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒
答：［C］
解：如果系统不受外力作用，则动量肯定守恒；如果非保守内力做功不为零，则系统的机械能不守恒。例如，在水平桌面上的两个小球的非弹性相撞过程，不受外力作用（水平方向），系统的动量守恒，但系统的机械能不守恒。A错。
如果系统所受合外力为零，则动量肯定守恒；但和外力为零的系统，如果和外力做功不为零，即使系统不受非保守内力，系统的机械能也不守恒。系统的机械能守恒要求合外力以及非保守内力做功为零，而不是合外力为零。如图所示，
和
组成的系统，
和
受到的作用力大小相等、方向相反，系统和外力为零，但
和
的动能都在增加，势能不变，系统的机械能不守恒。B错。
外力对一个系统做的功为零，但如果非保守内力做功不为零，则系统的机械能不守恒；外力对一个系统做的功为零，不能保证系统的动量不变。例如，如图，上抛一个小球又落回原地，在此过程中，重力对小球做功为零（机械能不变），但过程开始和结束，小球的速度方向相反，动量（矢量）变化，不守恒。D错。
系统不受外力，合外力为零，动量肯定守恒；不受外力，外力的功肯定为零，内力都是保守力，非保守内力做功肯定为零，机械能必然守恒。C正确。
2.
3. 已知地球半径为
，质量为
，现有一质量为
的物体，在离地面高度为
处。以地球和物体为系统，若取地面为势能零点，则系统的引力势能为_________；若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为________。（万有引力常数为
）
答：
；
解：如图，物体受到地球的引力为
（1）若取地面为势能零点，
由势能的定义，物体的势能为
（2）若取无穷远处为势能零点，
由势能的定义，物体的势能为
4. 如图所示，一水平放置的轻弹簧，劲度系数为
，其一端固定，另一端系一质量为
的滑块A，A旁又有一质量相同的滑块B。设两滑块与桌面间无摩擦，若外力将A、B一起推压使弹簧压缩距离为
而静止，然后撤销外力，则B与A离时B的速度为_______。
答：
解：当弹簧恢复原长时，物体A开始受到弹簧的拉力，开始减速，而物体B还以此时的速度前进。因此，当弹簧恢复原长时，物体A和物体B开始分离。在物体A和物体B没有分离前，物体A对物体B的作用力与物体B对物体A的作用力大小相等、方向相反（外力），位移相同，外力做功和为零，机械能守恒
5. 如图所示，外力
通过不可伸长的绳子和一劲度系数
的轻弹簧缓慢地拉地面上物体，物体的质量
，忽略滑轮质量及摩擦，开始拉时弹簧为自由长度，则往下拉绳子，拉下
过程中
所做的功（取重力加速度
）。
解：整个过程分为两段：物体离开地面的前后。开始时，弹簧伸长小，弹力比物体的重力小，不足以拉起物体；当弹簧伸长到弹力与物体的重力大小相等时，物体开始离开地面；然后，弹簧不再伸长，一起上升。
设
为弹簧的最终伸长量，则
，
因此，物体开始离开地面后，弹簧一起上升高度为
如果以“地球＋物体＋弹簧”为系统，系统受到的外力为
；保守内力有“弹力＋重力”；非保守内力有“弹簧对物体的拉力＋地面对物体的支撑力＋物体对地面的压力＋物体对弹簧的拉力”。其中，在物体没有离开地面前，上述非保守内力的位移为零，做功为零；在物体离开地面后，“物体对地面的压力＋地面对物体的支撑力”为零，做功为零；“弹簧对物体的拉力”和“物体对弹簧的拉力”为大小相等、方向相反，位移相同，做功为零。可见，整个过程，非保守内力做功为零，由功能原理，外力做功为
6. 如图所示，静止在光滑面上的一质量为
的车上悬挂一长为
、质量为
的小球。开始时，摆线水平，摆球静止于
点，突然放手，求：当摆球运动到摆线呈铅直位置的瞬间，摆球相对地面的速度。
解：小球在下摆的过程中，受到绳子的拉力
，同时给车一个拉力
，这两个力时时大小相等、方向相反（在运动过程中，都在变化）
车在拉力
的作用下，启动并加速运动。如图，在
时间内，车的位移
；小球在这段时间内的位移由两部分组成：与车一起在水平方向上有位移
，小球沿圆弧方向的位移
其中，
。
在
时间内，
做功为
做功为
因此，在
时间内，
和
做功之和为
车还受到地面的支撑力
，但它与车的位移
垂直，不做功。
如果以“地球＋车＋小球”为系统，则非保守内力
、
、
做功和为零，不受其他外力，系统的机械能守恒。在整个过程中，车的重力势能不变，小球的重力势能变化。设小球到达最低点时的重力势能为零，此时小球的速度为
，车的速度为
，则
如果以“车＋小球”为系统，则系统在水平方向不受外力作用，因此系统在水平方向上动量守恒。小球到达最低点时，车与小球的速度方向均沿水平方向，所以
由此得到，小球到达最低点时，小球的速度的大小为
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